准正交基下的矩阵是对角阵设过渡矩阵为T,则易证TA7(=T4T)是对角阵 推论n元实二次型经过适当的正交线性变数替换可以化为标准形 提示:n元实二次型的矩阵是实对称矩阵,由上一推论可得. 最后介绍用正交矩阵将实对称矩阵化成对角形的计算方法(亦即用正交线性变数替换将 n元实二次型化为标准形的计算方法)。 1)计算特征多项式,并求出他的全部根(两两不同者)λ,A,…,A 2)对每个A,求齐次线性方程组(AE-A)X=0的一个基础解系X1X12,…X它们 是解空间M,的一组基 3)在欧氏空间R"内将X1,X2,…Xa正交化,再单位化得M的一组标准正交基 Zn,Z2…Zn此时nk=(41,…,En)(=1.2…1)即为Vx的一组标准正交基而所寻 求的正交矩阵T应为;,E2…,En到 n1,…nm1,n21…,n2,…k1,…,nkt 的过渡矩阵,其列向量组应为 此时相应的对角矩阵D为 t1个λ1 t2个2 t个准正交基下的矩阵是对角阵.设过渡矩阵为 T,则易证 ( ) 1 T AT = TAT − 是对角阵. 推论 n 元实二次型经过适当的正交线性变数替换可以化为标准形. 提示: n 元实二次型的矩阵是实对称矩阵,由上一推论可得. 最后介绍用正交矩阵将实对称矩阵化成对角形的计算方法（亦即用正交线性变数替换将 n 元实二次型化为标准形的计算方法）。 1) 计算特征多项式,并求出他的全部根(两两不同者) 1，2，，k ; 2) 对每个 i ,求齐次线性方程组( i E-A)X=0 的一个基础解系 Xi1 ,Xi2 ,… i Xit .它们 是解空间 Mi 的一组基. 3）在欧氏空间 R n 内将 Xi1 , Xi2 ,… i Xit 正交化,再单位化,得 Mi 的一组标准正交基 1 2 , , , i Z Z Z i i it .此时 1 ( , , )    ik n ij = Z (j=1,2,…, i t ) 即为 V i 的一组标准正交基.而所寻 求的正交矩阵 T 应为 1 2 n  ， ，， 到 1 2 k1 ktk 11 1t 21 2t  ,  , , ,  , ,  ,  , 的过渡矩阵,其列向量组应为 1 2 k1 ktk Z11 ,  , Z1t , Z21 ,  , Z2t , Z ,  , Z 此时相应的对角矩阵 D 为 k k 2 2 1 1 k k 2 2 1 1 t t t D          个 个 个                                      =