第十九讲球数( 第3页 这说明,除了一个常数倍外,1(z)在z=±1附近的行为,和 1 完全相同.因此,1(2)在z=±1对数发散,z=±1是u1(2)的枝点,如果把 Legendre方程在 z=0的第一解1(2)解析延拓到全平面上,它一定是一个多值函数 对于m2(2),当n足够大时,也有 C2n+1=22n r(n-v- r(n+1 (2n+1) (2n+2)2an+3/2e-(2n+2)√2n en+-1)/2v2(n+1+2)+(u+n)/21-m/√2元 =常数 所以,除了一个常数倍外,u2(z)在z=±1附近的行为,和 2n+1 2n+1 完全相同,因此,U2(2)在2=±1也对数发散.z=士1也是2(2)的枝点,把 Legendre方程在 z=0的第二解u2(2)解析延拓到全平面上,它也是一个多值函数 ★还可以在z=1(或z=-1)点的邻域内求解 Legendre方程 由于z=±1是方程的正则奇点,方程在环域0<|z-1<2内有两个正则解,故可设 u(2)=(z-1)∑cn(z-1), 代入 Legendre方程,就可以得到在z=1点的指标方程 P-1)+p=0 所以,p=P2=0,这说明 Legendre方程在z=1点邻域内的第一解实际上是在圆域|z-1<2 内解析的,而第二解则一定含有对数项,以z=1(和z=-1)为枝点 按照常微分方程级数解法的标准步骤,可以求出 Legendre方程在z=1点邻域内的第一解 P()=>1r(+n+1/2-1 Eo (n!-T(v-n+Wu Chong-shi ➬➮➱✃ ❐ ❒ ❮ (❰) ❇ 3 ❈ ❛ ➫ Ï✕ ✈✇➯ ❦ ⑩➀Ð③ ✕ w1(z) ⑤ z = ±1 ÑÒ❝Ó❷ ✕♥ ln 1 1 − z 2 = X∞ n=1 1 n z 2n Ô ⑥ÕÖ❂t✉✕ w1(z) ⑤ z = ±1 ➾ ➀×Ø❂ z = ±1 ❞ w1(z) ❝Ù♠❂➡Ú➒ Legendre ❴❵⑤ z = 0 ❝➁ ➯④ w1(z) ④⑨➔→↔⑥⑦⑧➧ ✕➏➯➲❞➯❦ÛÜÝ➀❂ ➾➚ w2(z) ✕➪ n ➶➹➘➴✕Þ✐ c2n+1 = 2 2n (2n + 1)! Γ  n − ν − 1 2  Γ  n + 1 + ν 2  Γ  − ν − 1 2  Γ  1 + ν 2  ∼ 2 2n (2n + 2)2n+3/2e−(2n+2)√ 2π ×  n − ν − 1 2 n−ν/2 e −n+(ν−1)/2 √ 2π Γ  − ν − 1 2   n + 1 + ν 2 n+(ν+1)/2 e −n−1−ν/2 √ 2π Γ  1 + ν 2  =⑩➀ × 1 2n + 1 . ß ❶✕✈✇➯ ❦ ⑩➀Ð③ ✕ w2(z) ⑤ z = ±1 ÑÒ❝Ó❷ ✕♥ ln 1 + z 1 − z = X∞ n=1 2 2n + 1 z 2n+1 Ô ⑥ÕÖ❂t✉✕ w2(z) ⑤ z = ±1 Þ ➾ ➀×Ø❂ z = ±1 Þ❞ w2(z) ❝Ù♠❂➒ Legendre ❴❵⑤ z = 0 ❝➁à④ w2(z) ④⑨➔→↔⑥⑦⑧➧ ✕➏Þ❞➯❦ÛÜÝ➀❂ F á ① ❶⑤ z = 1(â z = −1) ♠ ❝ã➛ ❼➇ ④ Legendre ❴❵❂ ä➚ z = ±1 ❞❴❵❝rs❧♠✕❴❵⑤å➛ 0 < |z − 1| < 2 ❼ ✐➉❦rs④✕æ①ç w(z) = (z − 1)ρ X∞ n=0 cn(z − 1)n , èé Legendre ❴❵✕ê① ❶➣↔⑤ z = 1 ♠ ❝ëì❴❵ ρ(ρ − 1) + ρ = 0. ß ❶✕ ρ1 = ρ2 = 0 ❂ ❛ ➫ Ï Legendre ❴❵⑤ z = 1 ♠ ã ➛ ❼❝➁ ➯④íî➧ ❞⑤ ❸➛ |z − 1| < 2 ❼④⑨❝✕ï➁à④s➯➲ð✐➾➀ñ✕❶ z = 1(♥ z = −1) ❷ Ù ♠❂ òó⑩ôõ❴❵❿➀④ö❝ì÷øù✕① ❶➇➈ Legendre ❴❵⑤ z = 1 ♠ ã ➛ ❼❝➁ ➯④ Pν(z) = X∞ n=0 1 (n!)2 Γ (ν + n + 1) Γ (ν − n + 1)  z − 1 2 n