319.1 Legendre方程的解 在求出 方程的解的具体形式之前,根据常微分方程的解析理论(见第六讲) 事先就可以对 Legendre方程的解的解析性作出判断 ★ Legendre方程(这里的z是复变量! (1 +Au=0. 有三个奇点,z=±1和z=∞,并且都是正则奇点,因此,除了这三个点可能是奇点外, Legendre 方程的解在全平面解析 ★z=0点是 Legendre方程的常点,因此,方程的解在以z=0点为圆心的单位圆|z<1内解 析,可以展开为 Taylor级数.第六讲中已经求出了两个线性无关的特解,它们是 (2n)! (2)= r(2)r(+2) 其中 1) 把这两个特解作解析延拓,可以得到 Legendre方程的解在其他区域内的表达式,但是,无论如何, 在级数解收敛圆的圆周上,确切说,在z=±1这两点,方程的级数解总一定不解析.这从上面写 出的解的具体形式可以看出 对于m1(2),当n足够大时,其系数 (n Tn+ e-n+/2v2(n+ (2n+1)2n+1e-2n+y2元 常数Wu Chong-shi §19.1 Legendre ❃❄❅❆ ❇ 2 ❈ §19.1 Legendre ❉❊❋● ☛❍ ■ Legendre ✠✡✣✸✣❏❑✧▲▼◆✕ ❖P◗❘✑✠✡✣✸❙❚✴ (❯ ❱❲❳) ✕ ❨❩❬✖ ✛❭ Legendre ✠✡✣✸✣✸❙✻★ ■❪❫❂ F Legendre ❴❵ (❛❜❝ z ❞❡❢❣ ❤) d dz  ￾ 1 − z 2
dw dz  + λw = 0. ✐❥❦❧♠✕z = ±1 ♥ z = ∞ ✕ ♦♣q❞rs❧♠❂t✉✕ ✈✇❛ ❥❦♠①②❞ ❧♠③✕Legendre ❴❵❝④⑤⑥⑦⑧④⑨❂ F z = 0 ♠ ❞ Legendre ❴❵❝⑩♠ ✕ t✉✕❴❵❝④⑤❶ z = 0 ♠❷ ❸❹❝❺❻ ❸ |z| < 1 ❼④ ⑨✕① ❶❽❾❷ Taylor ❿➀❂➁➂➃ ➄➅➆➇➈✇➉❦➊➋➌➍❝➎④✕➏➐❞ w1(z) = X∞ n=0 2 2n (2n)! Γ  n − ν 2  Γ  n + ν + 1 2  Γ  − ν 2  Γ  ν + 1 2  z 2n , w2(z) = X∞ n=0 2 2n (2n + 1)! Γ  n − ν − 1 2  Γ  n + 1 + ν 2  Γ  − ν − 1 2  Γ  1 + ν 2  z 2n+1 , ➑ ➄ ν(ν + 1) = λ. ➒ ❛ ➉❦➎④➓④⑨➔→✕① ❶➣↔ Legendre ❴❵❝④⑤➑↕➙➛ ❼❝➜➝➞❂➟ ❞✕➌➠➡➢✕ ⑤❿➀④➤➥ ❸ ❝ ❸➦➧✕ ➨➩➫✕⑤ z = ±1 ❛ ➉♠✕❴❵❝❿➀④➭➯➲➳④⑨❂ ❛➵➧ ⑧➸ ➈ ❝④❝➺➻➼➞① ❶➽➈❂ ➾➚ w1(z) ✕➪ n ➶➹➘➴✕➑➷➀ c2n = 2 2n (2n)! Γ  n − ν 2  Γ  n + ν + 1 2  Γ  − ν 2  Γ  ν + 1 2  ∼ 2 2n (2n + 1)2n+1/2e−(2n+1)√ 2π  n − ν 2 n−(ν+1)/2 e −n+ν/2 √ 2π Γ  − ν 2   n + ν + 1 2 n+ν/2 e −n−(ν+1)/2 √ 2π Γ  ν + 1 2  =⑩➀ × 1 n