习题8.2反常积分的收敛判别法 1.(1)证明比较判别法(定理8.2.2); (2)举例说明,当比较判别法的极限形式中l=0或+∞时, o(x)和∫。f(x)t的敛散性可以产生各种不同的的情况 解(1)定理8.2.2(比较判别法)设在[a,+∞)上恒有0≤f(x)≤Ko(x), 其中K是正常数。则 当(x)t收敛时∫f(x)k也收敛; 当∫f(x)发散时∫”o(xk也发散。 证当∫o(x)收敛时,应用反常积分的 Cauchy收敛原理, vE>0,342a,ⅥA,A≥4:4以(x)d<。 于是 f(xdxsKo(x)dx<a 所以∫f(x)也收敛 当∫。fxk发散时,应用反常积分的 Cauchy收敛原理, 36>0,VA62a,3A,24:Af(x)≥kE。 于是 x)ax 所以∫。q(x)tx也发散。 (2)设在,+)上有f(x)200x)20,且 lim /(xr)=0。则当fx x→+∞Q(x) 发散时,∫。q(x)tx也发散;但当∫f(x)收敛时,∫。q(xtx可能收敛,习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理 8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l = 0 或 时， 和 的敛散性可以产生各种不同的的情况。 + ∞ ∫ +∞ a ϕ(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx 解 （1）定理 8.2.2（比较判别法） 设在[ , a + ∞)上恒有0 ≤ f (x) ≤ Kϕ(x)， 其中 K 是正常数。则 当∫ 收敛时 也收敛； +∞ a ϕ(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx 当∫ 发散时 也发散。 +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a ϕ(x)dx 证 当∫a +∞ ϕ(x)dx 收敛时，应用反常积分的 Cauchy 收敛原理， ∀ε > 0 ，∃A0 ≥ a， 0 ∀A, A′ ≥ A ： K x dx A A ε ∫ ϕ < ′ ( ) 。 于是 ∫ ≤ A′ A f (x)dx ϕ < ε ∫ A′ A K (x)dx ， 所以∫ 也收敛； +∞ a f (x)dx 当∫ 发散时，应用反常积分的 Cauchy 收敛原理， +∞ a f (x)dx ∃ε 0 > 0，∀A0 ≥ a， 0 ∃A, A′ ≥ A ： f x dx Kε A A∫ ≥ ′ ( ) 。 于是 ∫ ≥ A′ A ϕ(x)dx 0 ( ) 1 ≥ ε ∫ A′ A f x dx K ， 所以∫ 也发散。 +∞ a ϕ(x)dx （2）设在[ , a + ∞)上有 f (x) ≥ 0,ϕ(x) ≥ 0，且 0 ( ) ( ) lim = →+∞ x f x x ϕ 。则当 发散时，∫ 也发散；但当 收敛时，∫ 可能收敛， ∫ +∞ a f (x)dx +∞ a ϕ(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx +∞ a ϕ(x)dx 278