也可能发散 例如f(x)=2,x)=-(0<p<2),则 ∫(x)=0。显然有 ++(x) 「"f(x)收敛,而对于g(xt,则当1<p<2时收敛,当0<ps1时 发散。 设在+∞)上有f(x)20.(x)≥0,且m()=+0。则当 P(x) ∫"f(x)k收敛时,g(x)也收敛;但当∫"f(x)发散时,fn"o(x)r 可能发散,也可能收敛。 例如f()==,ax)=1(p>1),则m(x)=+∞。显然有 p(x) "f(发散,而对于(xM,则当<p≤1时发散,当p>1时收 敛。 2.证明 Cauchy判别法及其极限形式(定理8.2.3)。 证定理8.2.3( Cauchy判别法)设在[a,+∞)c0,+∞)上恒有f(x)≥0, K是正常数 )若(x)≤,且p>1,则“f(xM收敛 (2)若(2,且p≤1,则厂)发散。 推论( Cauchy判别法的极限形式)设在[a,+∞)c0,+∞)上恒有 x)≥0,且 f(x)=l 则 ()若0≤/<+∞,且px1,则∫f(x)收敛也可能发散。 例如 2 1 ( ) x f x = ， (0 2) 1 ( ) = < p < x x p ϕ ，则 0 ( ) ( ) lim = →+∞ x f x x ϕ 。显然有 ∫ +∞ 1 f (x)dx收敛，而对于∫1 +∞ ϕ(x)dx ，则当1 < p < 2时收敛，当0 < p ≤ 1时 发散。 设 在 [ , a + ∞) 上 有 f (x) ≥ 0,ϕ(x) ≥ 0 ， 且 = +∞ →+∞ ( ) ( ) lim x f x x ϕ 。则当 收敛时，∫ 也收敛；但当 发散时，∫ 可能发散，也可能收敛。 ∫ +∞ a f (x)dx +∞ a ϕ(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx +∞ a ϕ(x)dx 例如 x f x 1 ( ) = ， ) 2 1 ( 1 ( ) = p > x x p ϕ ，则 = +∞ →+∞ ( ) ( ) lim x f x x ϕ 。显然有 ∫ +∞ 1 f (x)dx发散，而对于∫1 +∞ ϕ(x)dx ，则当 1 2 1 < p ≤ 时发散，当 时收 敛。 p > 1 ⒉ 证明 Cauchy 判别法及其极限形式（定理 8.2.3）。 证 定理 8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[ , a + ∞) ⊂ ( , 0 + ∞)上恒有 f x( ) ≥ 0， K 是正常数。 ⑴ 若 f x K x p ( ) ≤ ，且 p > 1，则 收敛； ∫ +∞ a f (x)dx ⑵ 若 f x K x p ( ) ≥ ，且 p ≤ 1，则 发散。 ∫ +∞ a f (x)dx 推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在 [ , a + ∞) ⊂ + ( , 0 ∞) 上恒有 f x( ) ≥ 0，且 lim ( ) x p x f x l →+∞ = ， 则 ⑴ 若0 ≤ l < +∞ ，且 p > 1，则 收敛； ∫ +∞ a f (x)dx 279