(2)若0< 且ps1,则「f(x)发散。 证直接应用定理8.2.2(比较判别法)及其推论(比较判别法的极 限形式),将函数∞(x)取为 3.讨论下列非负函数反常积分的敛散性: Inx +1 dx(p,q∈R 1+x sin x I 解(1)当x→+∞时, Inx+1 所以积分∫ dx收敛。 (2)当x→+∞时, arctan 所以积分∫x在收敛 (3)因为当x≥0时有 > 1+xsin 而积分,发散,所以积分 dx发散 (4)当x→+∞时⑵ 若0 < l ≤ +∞ ，且 p ≤ 1，则 发散。 ∫ +∞ a f (x)dx 证 直接应用定理 8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极 限形式），将函数ϕ(x)取为 p x 1 。 ⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性： ⑴ 1 1 1 3 2 x e x dx x − + + − +∞ ∫ ln ; ⑵ ∫ +∞ 1 + 3 1 arc tan dx x x ; ⑶ 1 1 0 + +∞ ∫ x x dx |sin | ; ⑷ x x dx q p 1 1 + +∞ ∫ （ ）. + p,q ∈ R 解 （1）当 x → +∞时， ln 1 1 3 2 − + + − x e x x ～ 2 3 1 x ， 所以积分 1 1 1 3 2 x e x dx x − + + − +∞ ∫ ln 收敛。 （2）当 x → +∞时， 3 1 arctan x x + ～ 3 2x π ， 所以积分∫ +∞ 1 + 3 1 arc tan dx x x 收敛。 （3）因为当 x ≥ 0时有 x x + x ≥ + 1 1 1 sin 1 ， 而积分 dx x ∫ +∞ + 0 1 1 发散，所以积分 1 1 0 + +∞ ∫ x x dx |sin | 发散。 （4）当 x → +∞时， p q x x 1+ ～ p q x − 1 ， 280