所以在p-q>1时,积分 ax收敛,在其余情况下积分 1+ 「"1+女发散 4.证明:对非负函数f(x),(cp)」f(x)收敛与」f(x)dk收敛是等 价的 证显然,由」∫(x)a收敛可推出(cpv)」二f(x)dk收敛,现证明当 f(x)≥0时可由(cep)」∫(x)收敛推出」f(x)收敛。 由于(cp)∫二f(x)t收敛,可知极限 lim F(A) 存在而且有限,由 Cauchy收敛原理, E>0,34>0,VA,A≥4:|F(A)-F() 于是vA,A≥A与B,B≥A,成立 ∫f(x)bsF(4)-F()<6与B/(x(B)-F(B)<, 这说明积分tf(x)k与0f(x)都收敛,所以积分∫f(x)收敛 5.讨论下列反常积分的敛散性(包括绝对收敛、条件收敛和发散, 下同): In In x (p∈R+) +op sin x arc tan x d(p∈R);(4)∫"sin(x2)dk; (pn(x)和q(x)分别是m和n次多项式 q, (x) qn(x)在x∈[a,+∞)范围无零点。) 解(1)因为F(4=smxk有界,如x在[2+)单调,且lmx=0 nx 由 Dirichlet判别法,积分∫2 In In x sin xdx收敛;所以在 p − q > 1时，积分 x x dx q p 1 1 + +∞ ∫ 收敛，在其余情况下积分 x x dx q p 1 1 + +∞ ∫ 发散。 ⒋ 证明：对非负函数 ， 收敛与 收敛是等 价的。 f x( ) (cpv) f x( )dx −∞ +∞ ∫ f x( )dx −∞ +∞ ∫ 证 显然，由 收敛可推出 收敛，现证明当 时可由 收敛推出 收敛。 f x( )dx −∞ +∞ ∫ (cpv) f x( )dx −∞ +∞ ∫ f (x) ≥ 0 (cpv) f x( )dx −∞ +∞ ∫ f x( )dx −∞ +∞ ∫ 由于(cpv) f x( )dx 收敛，可知极限 −∞ +∞ ∫ A→+∞ lim F(A) = A→+∞ lim ∫− A A f (x)dx 存在而且有限，由 Cauchy 收敛原理， ∀ε > 0，∃A0 > 0， 0 ∀A, A′ ≥ A ： F(A) − F(A') < ε ， 于是∀A, A′ ≥ A0与∀B, B'≥ A0 ，成立 ∫ ≤ A′ A f (x)dx F(A) − F(A') < ε 与 ∫ ≤ − − B B f x dx ' ( ) F(B) − F(B') < ε ， 这说明积分∫0 +∞ f (x)dx与∫− 0 ∞ f (x)dx 都收敛，所以积分 −∞ f x( )dx 收敛。 +∞ ∫ ⒌ 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散， 下同）： ⑴ ln ln ln sin x x xdx 2 +∞ ∫ ; ⑵ sin x x dx 1 p +∞ ∫ （ ）; + p ∈ R ⑶ ∫ +∞ 1 sin arc tan dx x x x p （ ）; + p ∈ R ⑷ sin(x )dx 2 0 +∞ ∫ ; ⑸ ∫ +∞ a n m xdx q x p x sin ( ) ( ) （ pm (x)和qn (x)分别是m和n次多项式， q (x) n 在 x ∈[a,+∞)范围无零点。） 解（1）因为 = ∫ 有界， A F A xdx 2 ( ) sin x x ln ln ln 在[2,+∞) 单调，且 0 ln ln ln lim = →+∞ x x x ， 由 Dirichlet 判别法，积分 ln ln ln sin x x xdx 2 +∞ ∫ 收敛； 281