第四讲(二)无穷级数 第7页 ★如果级数∑|un收敛,则称级数∑un绝对收敛.绝对收敛的级数一定是收敛的 un+1+an+2+…un+pl≤|un+1+|un+2+…+lun+pl 反之,一个收敛的级数,却不一定是绝对收敛的. ★绝对收敛级数的判别法 ★比较判别法若{un|<vn,而∑v收敛,则∑|un|收敛(即∑n绝对收敛) 若|un|>tn,而∑vn发散,则∑|an发散 ★比值判别法若存在与n无关的常数p,则 当<p<1时,级数∑n绝对收敛 当+>p>1时,级数∑|anl发散 n=0 比值判别法的优点:对于许多常用级数,分式un+1/u的形式往往要比un的形式简 单得多,因此应用比值判别法可以很快地判断∑lun的收敛性 p的存在性? 更方便的当然是使用它的极限形式,即d' Alembert判别法 ★ d' alembert判别法如果m|un+/un|=1<1,则∑vn绝对收敛 如果im|un+1/un|=l>1,则∑|n发散 d' Alembert判别法的优点:一般说来,求上下极限总要比求比值判别法中的ρ来得简 d' Alembert判别法的缺点:采用不同的标准判列级数的收敛和发散,即用imun+1/ur 判断级数∑l的收敛,而用皿|n/ul|判断级数的发散.因此对于 lim|uan+1/uan≥1及 lim un+1/unl≤1的情形就不能作出判断,除非 lim un +1/un= lim Jun+1/un lim un+1/ Cauchy判别法的优点就是根据同一判据mun来判断级数是否绝对收敛 ★ Cauchy判别法如果man}1<1,则级数∑|ul收敛; 如果m|nm>1,则级数∑vn发散Wu Chong-shi ￾✁✂ (➜) ➝ ➞ P ❖ ✟ 7 ✠ F ➀❪⑦✯ P∞ n=0 |un| ➅➆✰✽✩ ⑦✯ P∞ n=0 un ➟ ♥ ➅➆❄➟ ♥ ➅➆✩ ⑦✯ ✻◆✥➅➆✩❄ |un+1 + un+2 + · · · un+p| ≤ |un+1| + |un+2| + · · · + |un+p|. ❹❺✰ ✻➂➅➆✩ ⑦✯✰➠Ý ✻◆✥➟ ♥ ➅➆✩❄ F ➟ ♥ ➅➆⑦✯ ✩➡ ➥Ü❄ F ➢➤➥➦➧ ➨ |un|<vn ✰↕ P∞ n=0 vn ➅➆✰✽ P∞ n=0 |un| ➅➆ ￾ ❾ P∞ n=0 un➟ ♥ ➅➆
❄ ➨ |un| > vn, ↕ P∞ n=0 vn ➈➉✰✽ P∞ n=0 |un| ➈➉❄ F ➢➩➥➦➧ ➨✃ ❆❴ n ❜❝✩➫ ✯ ρ ✰✽ ➔    un+1 un    < ρ < 1 ❻ ✰⑦✯ P∞ n=0 un ➟ ♥ ➅➆✣ ➔    un+1 un    > ρ > 1 ❻ ✰⑦✯ P∞ n=0 |un| ➈➉❄ • s❅➭❩ ①ò➯➲➦ ❀❁❡ ❢➳❦❳ö✰➵ ❜ |un+1/un| ò❛❜➸➸❫s un ò❛❜ ➺ ❆➻ ❢✰ ìí➼❦s❅➭❩ ①➽ ➾➚➪➶➭➹ P|un| ò➘➴➷❄ • ρ ò ➏➐➷ ➬ • ➮✇➱ò ✃❐î➓ ❦❒ò❮❰❛❜✰Ï d’Alembert ➭ ❩ ①❄ F d’Alembert ➥➦➧ ➀❪ limn→∞ |un+1/un| = l < 1, ✽ P∞ n=0 un ➟ ♥ ➅➆✣ ➀❪ lim n→∞ |un+1/un| = l > 1, ✽ P∞ n=0 |un| ➈➉❄ • d’Alembert ➭ ❩ ①ò➯➲➦ ❞ÐÑÒ✰Ó ❂Ô❮❰Õ❫sÓ s❅➭❩ ① Öò ρ Ò➻ ➺ ❆❄ • d’Alembert ➭ ❩ ①ò×➲➦Ø ❦Ù ③òÚÛ➭❩❳ö ò➘➴✽ÜÝ✰Ï ❦ limn→∞ |un+1/un| ➭ ➹ ❳ ö P∞ n=0 |un| ò ➘ ➴ ✰Þ ❦ lim n→∞ |un+1/un| ➭ ➹ ❳ ö ò Ü Ý ❄ì í ❀ ❁ limn→∞ |un+1/un| ≥ 1 ß lim n→∞ |un+1/un| ≤ 1 òà❛áÙâã ä➭➹✰å æ limn→∞ |un+1/un| = lim n→∞ |un+1/un| = limn→∞ |un+1/un|. • Cauchy ➭ ❩ ①ò➯➲áîçè ③❞➭è limn→∞ |un| 1/n Ò➭➹❳ö îéê❀➘➴❄ F Cauchy ➥➦➧ ➀❪ limn→∞ |un| 1/n < 1, ✽⑦✯ P∞ n=0 |un| ➅➆✣ ➀❪ limn→∞ |un| 1/n > 1, ✽⑦✯ P∞ n=0 un ➈➉❄