(3)函数定义域为(-∞,0)U(0,+∞),∵(-x)sin=xsin-,故函数为偶函 (-x) 数 (4)函数定义域为R,∵e-2n)-e1-2)+sin(-x)=-(e2x-e-2x+sinx),故函数 为奇函数 7.证明 (1)两个偶函数之和是偶函数,两个奇函数之和是奇函数 (2)两个偶函数之积是偶函数,两个奇函数之积是偶函数,偶函数与奇函数之 积是奇函数 证(1)设f(x)和g(x)为偶函数,则 f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x), 故f(x)+g(x)为偶函数 设f(x)和g(x)为奇函数,则 f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x) 故f(x)+g(x)为奇函数 (2)设f(x)和g(x)为偶函数,则 f(-x)·g(-x)=f(x)·g(x), 故f(x)·g(x)为偶函数; 设f(x)和g(x)为奇函数,则 f(-x)·g(-x)=[-f(x)]·[g(x)=f(x)·g(x) 故f(x)·g(x)为偶函数; 设f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,则 f(-x)·g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)·g(x) 故f(x)·g(x)为奇函数 8.证明:若对任何x均有f(a+x)=f(a-x)(a为常数,则f(x)关于x=a对 称 证设点P(x,y)是函数y=f(x)图像上任一点,由 f(x)=f(a+(x-a)=f(a-(x-a))=f(2a-x)=y 知,点P(2a-x,y)也在函数图像上,而点P(x,y)与点P(2a-x,y)关于x=a对称, 故f(x)关于x=a对称 (1)两个单调递增(递减)的函数之和是单调递增(递减)的 (2)两个单调递增(递减)的正值函数之积是单调递增(递减)的; 证(1)设f(x),g(x)为单调递增函数,则x,x2,x>x2,有 f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2), 故∫(x)+g(x)是单调递增函数.即两个单调递增函数之和是单调递增的,类似可证4 (3) 函数定义域为 ( , 0) (0, ) −∞ + ∞ ∪ , 1 1 ( )sin sin ( ) x x x x − = − ∵ , 故函数为偶函 数. (4) 函数定义域为 R , (2) (2) 2 2 e e sin( ) (e e sin ) x x xx x x − −− − ∵ − + − =− − + , 故函数 为奇函数. 7. 证明: (1) 两个偶函数之和是偶函数, 两个奇函数之和是奇函数; (2) 两个偶函数之积是偶函数, 两个奇函数之积是偶函数, 偶函数与奇函数之 积是奇函数. 证 (1) 设 f ( ) x 和 g( ) x 为偶函数, 则 f ( ) ( ) () () −x g x f x gx +−= + , 故 f ( ) x +g( ) x 为偶函数; 设 f ( ) x 和 g( ) x 为奇函数, 则 f ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] − + − =− − =− + x g x f x gx f x gx , 故 f ( ) x +g( ) x 为奇函数. (2) 设 f ( ) x 和 g( ) x 为偶函数, 则 f ( ) ( ) () () −x g x f x gx ⋅−= ⋅ , 故 f () () x gx ⋅ 为偶函数; 设 f ( ) x 和 g( ) x 为奇函数, 则 f ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) − ⋅ − =− ⋅− = ⋅ x g x f x gx f x gx , 故 f () () x gx ⋅ 为偶函数; 设 f ( ) x 为偶函数, () g x 为奇函数, 则 f ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) − ⋅ − = ⋅ − =− ⋅ x g x f x gx f x gx , 故 f () () x gx ⋅ 为奇函数. 8. 证明: 若对任何 x 均有 f ( )( ) a x fa x + = − ( a 为常数), 则 f ( ) x 关于 x = a 对 称. 证 设点 P(, ) x y 是函数 y fx = ( ) 图像上任一点, 由 f ( ) ( ( )) x fa x a = +− = f ( ( )) a xa − − = f (2 ) ax y − = , 知, 点 P′(2 , ) a xy − 也在函数图像上, 而点 P(, ) x y 与点 P′(2 , ) a xy − 关于 x = a 对称, 故 f ( ) x 关于 x = a 对称. 9. 证明: (1) 两个单调递增(递减)的函数之和是单调递增(递减)的; (2) 两个单调递增(递减)的正值函数之积是单调递增(递减)的; 证 (1) 设 f ( ), ( ) x gx 为单调递增函数, 则 1 2 ∀ x , x , 1 2 x > x ,有 11 2 2 f () () ( ) ( ) x gx f x gx +> + , 故 f () () x gx + 是单调递增函数. 即两个单调递增函数之和是单调递增的, 类似可证