第96讲傅里叶级数 433 l≤x<0 或 g(x)= 0 然后将偶延拓或奇延拓后的函数展开成傅里叶级数.那么,利用偶延拓的方法得到的 f(x)的傅里叶级数必定是余弦级数,而利用奇延拓的方法得到的f(x)的傅里叶级数,必定 是正弦级数 求定义在[0,]上的函数f(x)的正弦(余弦)级数时,不必写出奇(偶)延拓后的函数 g(x)的具体表达式这是因为计算傅里叶系数时,只要在区间[0,门上对f(x)cos"(或 f(x)sin")进行积分即可 t、周期与非周期函数傅里叶级数一览表(见表96-1) 八、例题选讲 例2将函数f(x)=2+|x|(-1≤x≤1)展成以2为周期 的傅里叶级数,并由此求级数∑的和 解f(x)=2+|x|为偶函数,只能展成余弦级数,即 aIo ix 0 (2+x)dx=5 2 T.(2+r)cos(ntI )dr= 2 .rcosnnxdr 图96-1 2(cosnTT-1 (n=1,2,…), n 因为所给函数在[-1,1]上满足狄氏收敛定理 故2+{x1=5+∑ 2(cosn丌-1) cos(nx)[-1,1] n 54、cos(2k+1)x (2k+1) 号一a 当x=0时,上式为2=2 即 (2k+1) 又 (2k+1) (2k+1) 图96-2 5n=3(2k+1)=了×=x 故∑ 6 例3将函数f(x)=x-1,(0≤x≤2)展成周期为4的余弦函数(见图96-2) 解既然是将f(x)展成余弦函数所以就必须对f(x)进行偶延拓 a