(3)星形线x3+y3=a3(a>0); (4)圆的渐开线x=a(cost+tsin),y=a(sint- t cos t)(a>0)。 18.求曲线y=lnx在点(1,0)处的曲率圆方程 19.设曲线的极坐标方程为r=r(0),b∈[a,(c[0,2z]),且r()二阶可导。证明它 在点(r,)处的曲率为 习题7.5 1.一根10米长的轴,密度分布为p(x)=03x+6千克/米(0≤x≤10),求轴的质量 2.已知抛物线状电缆y=x2(-1≤x≤1)上的任一点处的电荷线密度与该点到y轴的 距离成正比,在(11)处的密度为q,求此电缆上的总电量。 3.水库的闸门是一个等腰梯形,上底36米,下底24米,高16米,水平面距上底4米, 求闸门所受到的水压力(水的比重为1000千克/米3)。 个弹簧满足圆柱螺线方程 x= a cos t y=asin, t>0(a>0, b>0), z=b1, 其上任一点处的密度与它到Oy平面的距离成正比,试求其第一圈的质量。 5.一个圆柱形水池半径10米,高30米,内有一半的水,求将水全部抽干所要做的功 6.半径为r的球恰好没于水中,球的比重为p,现在要将球吊出水面,最少要做多少功? 7.半径为r密度为p的球壳以角速度O绕其直径旋转,求它的动能。 8.使某个自由长度为1米的弹簧伸长2.5厘米需费力15牛顿,现将它从1.1米拉至1.2 米,问要做多少功? 9.一物体的运动规律为s=3t3-t,介质的阻力与速度的平方成正比,求物体从t=1运 动至t=T时阻力所做的功。 10.半径为1米,高为2米的直立的圆柱形容器中充满水,拔去底部的一个半径为1厘米的 塞子后水开始流出,试导出水面高度h随时间变化的规律,并求水完全流空所需的时间。 (水面比出水口高h时,出水速度v=06×√2gh。) l.上题中的圆柱形容器改为何种旋转体容器,才能使水流出时水面高度下降是匀速的 12.镭的衰变速度与它的现存量成正比,设l0时有镭Q克,经1600年它的量减少了一半, 求镭的衰变规律 13.将A物质转化为B物质的化学反应速度与B物质的浓度成反比,设反应开始时有B物 质20%,半小时后有B物质25%,求B物质的浓度的变化规律。 14.设[,+d中的人口增长量与Pnmx-p(1)成正比,试导出相应的人口模型,画出人口 变化情况的草图并与 Malthus和 Verhulst人口模型加以比较。 I5.核反应堆中,t时刻中子的增加速度与当时的数量N(n)成正比。设N(0)=No,证明 16.一个1000米的大厅中的空气内含有a%的废气,现以1米/分钟注入新鲜空气,混合 后的空气又以同样的速率排出,求I时刻空气内含有的废气浓度,并求使废气浓度减少 半所需的时间。 计算实习题（3） 星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a （ a > 0 ）； （4） 圆的渐开线 x = a(cost + tsin t), y = a(sin t − t cost) （ a > 0 ）。 18. 求曲线 y = ln x 在点(1,0) 处的曲率圆方程。 19. 设曲线的极坐标方程为 r = r(θ ) ，θ ∈[α, β ] (⊂ [0,2π ]) ，且 r(θ ) 二阶可导。证明它 在点(r,θ )处的曲率为 2 2 3 / 2 2 2 ( ) 2 r r r r rr K + ′ + ′ − ′′ = . 习 题 7.5 ⒈ 一根 10 米长的轴，密度分布为ρ( ) x = 0 3. x + 6 千克/米（0 ≤ x ≤ 10 ），求轴的质量。 ⒉ 已知抛物线状电缆 y = x 2 （ −1 ≤ x ≤ 1）上的任一点处的电荷线密度与该点到 轴的 距离成正比，在 处的密度为 q，求此电缆上的总电量。 y ( , 11) ⒊ 水库的闸门是一个等腰梯形，上底 36 米，下底 24 米，高 16 米，水平面距上底 4 米， 求闸门所受到的水压力（水的比重为 1000 千克/米3 ）。 ⒋ 一个弹簧满足圆柱螺线方程 x a t y a t z bt = = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ cos , sin , , t > 0 （ a > 0,b > 0）， 其上任一点处的密度与它到 Oxy 平面的距离成正比，试求其第一圈的质量。 ⒌ 一个圆柱形水池半径 10 米，高 30 米，内有一半的水，求将水全部抽干所要做的功。 ⒍ 半径为r 的球恰好没于水中，球的比重为ρ ，现在要将球吊出水面，最少要做多少功？ ⒎ 半径为r 密度为ρ 的球壳以角速度ω 绕其直径旋转，求它的动能。 ⒏ 使某个自由长度为 1 米的弹簧伸长 2.5 厘米需费力 15 牛顿，现将它从 1.1 米拉至 1.2 米，问要做多少功？ ⒐ 一物体的运动规律为 ，介质的阻力与速度的平方成正比，求物体从t 运 动至t s t = 3 −3 t = 1 = T 时阻力所做的功。 ⒑ 半径为 1 米，高为 2 米的直立的圆柱形容器中充满水，拔去底部的一个半径为 1 厘米的 塞子后水开始流出，试导出水面高度 随时间变化的规律，并求水完全流空所需的时间。 （水面比出水口高 时，出水速度 h h v g = × 0 6. 2 h 。） ⒒ 上题中的圆柱形容器改为何种旋转体容器，才能使水流出时水面高度下降是匀速的。 ⒓ 镭的衰变速度与它的现存量成正比，设 时有镭Q 克，经 1600 年它的量减少了一半， 求镭的衰变规律。 t0 0 ⒔ 将 A 物质转化为 B 物质的化学反应速度与 B 物质的浓度成反比，设反应开始时有 B 物 质 20%，半小时后有 B 物质 25%，求 B 物质的浓度的变化规律。 ⒕ 设[t,t + dt]中的人口增长量与 pmax − p t( ) 成正比，试导出相应的人口模型，画出人口 变化情况的草图并与 Malthus 和 Verhulst 人口模型加以比较。 ⒖ 核反应堆中，t 时刻中子的增加速度与当时的数量 N t( ) 成正比。设 N( ) 0 = N0 ，证明 [ ] 1 0 2 ( ) t N N t [ ] 2 0 1 ( ) t N N t = 。 ⒗ 一个 1000 米3 的大厅中的空气内含有a %的废气，现以 1 米3 ／分钟注入新鲜空气，混合 后的空气又以同样的速率排出，求 t 时刻空气内含有的废气浓度，并求使废气浓度减少 一半所需的时间。 计 算 实 习 题 8