定理的证明只要注意到对任意可行解x,有L(x,A)=f(x),故由上一章定理7 L(, 2)>L(x, 2)=f(x) 故当x为可行解时上式亦成立。 定理2中关于Hese矩阵H(x,)正定的要求太强,很难满足,其实只需要求H(x,)在集合 D={y|wh,(x')y=0,j=1…l} 上正定即可。即若对于y∈D,y≠0有yH(xx)y>0,则x是(1)的严格局部最优解(证 明略,可参见文献[34]) 例1研究问题minf=x1x2-x2xxx St.1+x2+X3= 容易求得稳定点为x’=(1,1,1),x=2。在这种情况下,L(x,x)的H(x,x)阵变为(视λ 为常数,只考虑对x的导数): H=-10 它既不是正定,也不是负定,但在子空间D={y|y+y2+y3=0}上,注意 yhy=-y(y2+y3)-y2(y1+y2)-y2(+y2)=y2+y2+y2>0 于是H在D上是正定的,所以ⅹ至少是问题的局部极小点 下面讨论把 Botsko一阶充分条件用于等式约束(1)的情形以下总假定f(x)及h(x)(k=1,2.1) 于点x的某邻域OXx,)内可微,且可从(1)的约束条件中解出(这只需满足隐函数存在定理的条 件) x=x(x1,…,xm)=x,(x,i=n-l+1…n (4) 这里x=(x1…,xn)2 将(4)代入目标函数f(x)中,可得 F(x)=f(x,…xn-1,xn+(x,…Xn-1)…Xn(x,…Xn-1)]=f(菜,x=+(x)…(x) 于是 Botsko一阶充分条件(上一章()式)变成 (x-x VF(x)>0 其中ⅴF(x)等于零或不存在,x=(x1,…x灬),x=(x1…x),∈O(x,δ) 这时,利用复合函数求导,则上一章(13)式变成192 定理的证明只要注意到对任意可行解 x，有 L(x,) = f (x) ，故由上一章定理 7 ( , ) ( , ) ( ) * * * L x   L x  = f x 故当 x 为可行解时上式亦成立。 定理 2 中关于 Hesse 矩阵 H(x* , *  )正定的要求太强，很难满足，其实只需要求 H(x* , *  )在集合 D={y ︱ ( ) 0, 1, } * h x y j l T  j = =  上正定即可。即若对于 y  D, y  0 有 T y H(x* , *  ) y  0 ，则 * x 是（1）的严格局部最优解（证 明略，可参见文献[34]）。 例 1 研究问题 min f=-x1x2-x2x3-x1x3 s.t. x1+x2+x3=3 容易求得稳定点为 x *=（1，1，1）T， *  =2。在这种情况下， L(x,) 的 H(x* , *  )阵变为（视  为常数，只考虑对 x 的导数）： H=           − − − − − − 1 1 0 1 0 1 0 1 1 它既不是正定，也不是负定，但在子空间 D = {y ︱ 0} y1 + y2 + y3 = 上，注意 ( ) ( ) ( ) 0 2 3 2 2 2 y Hy = −y1 y2 + y3 − y2 y1 + y3 − y3 y1 + y2 = y1 + y + y  T 于是 H 在 D 上是正定的，所以 x *至少是问题的局部极小点。 下面讨论把 Botsko 一阶充分条件用于等式约束(1)的情形.以下总假定 f(x)及 hk(x)(k=1,2…l ) 于点 x *的某邻域 O(x* , ) 内可微，且可从（1）的约束条件中解出（这只需满足隐函数存在定理的条 件）： xi xi x  xn l xi (x),i n l 1, n ~ ( , , ) ~ = 1 − = = − + （4） 这里 x = （ T n l x , , x ) 1  − 。 将（4）代入目标函数 f(x)中，可得 F( x) = f [( x1,..x n − l , ( ~ n−l+1 x x1,..x n − l )… n x ~ ( x1,..x n − l )]= ( ), ( )) ~ ( , 1 f x x x x x n−l+  n 于是 Botsko 一阶充分条件(上一章(9)式)变成 ( ) ( ) 0 * x − x F x  T (5) 其中 F(x ) , x  * 等于零或不存在 =( T n l x , , x ) 1  − , x = x x − x  T n l ( , , ) , * * 1 *  O( * x , ) 。 这时，利用复合函数求导，则上一章（13）式变成