232· 北京科技大学学报 2003年第3期 解，在式(33)求b时，开方应取负根.这样，由特 [da=cin =-han ci=-hs di=chm t=h lci=hi (44) 征方程(20)和(21)的解，可以得到常微分方程(19) 的解的具体形式为： d当m-0且d.=2元-含取正 A(z)=checos(bz)+cme"sin(bz)+ 值)或m-7m0且ai.B血-受62取负值)时 21bm chrecos(bz)+ciesin(ba z)+(ci+cz)e (35) d=c22=-2c2=hn 其中c,C,Ca,CC,c,为任意常数，而由式 ldi=chns=h ch=h (45) (15),有： 对于F,G形式的这组方程，注意到此时 D(z)=dine"cos(bz)+desin(b2)+ Bm-yn=0,解得有： decos(bz)+diesin(b)+(d+dz)e(36) (e) dn=can品n=-Rn dn=c.=0V点.=-h-0 (46) 其中dn,d,d,dn,d,dn分别与chnc2ncn (4)数学模型的解析解.综合以上各种情况的 Chm Chm C%有关. 分析，并将Am(z,B(z),C(2),D()的表达式代 (2)求解B(2),C(2以.同理由式(17)，(18)有： 入到式(6)中，且考虑到各系数间的关系，最后得 [P(EFC-.(-2mnj∬c@=0 (37) 到C(x,y,z)的解为： 此式与式(19)类型相同，因而C(z)与Am(z)有相 同类型的解，即 0x小 C(z)=hiecos(bz)+hie"sin(bz)+ 点a.amb.oo7} hecos(bz)+hesin(bz)+(e (38) ncos(sin()esin hm,,h,,hn为任意常数 而由式(18)，有： 三on优小co-学头 B(z)=jiecos(bz)+jiesin(bz)+ .cos62H,sin6z小sin-"四）》+ jecos(bz)+jesin(bz+)e (39) 其中j点n,j流，品，j点，jn分别与h从mhn,hnh 三comjLcol吧-学 hm有关. (47) (3)确定An(z),B(z,C(z),D(z)各系数关 由条件Cx,y,0)=f八xy),可以得到式(47)中的 系.将An(z),Bn(z,Cm(z),D()的表达式(35)， 待定系数： (36),(38),(39)代入到式(11(14)中，则对式(11) a2∫∫x,td (48) (14)中的每个式子都有如下形式的等式： 咖osm+平h (49) [F.cos(b.z)+Gsin(bz)Je+[Fmcos(bz)+ Gsin(b)Je+(F+G)e=0 (40) 么2J∫x,)sin+lad (50) 由三角函数的正交性，并且上方程组中的z≥0， c2e.2J∫x咖osT-平hdy61 有 [F=0 F=0 F=0 k=.」」x,sin"平-"四hd52) G=0G=0 IGIAC=0 (41) 对于F,G形式的这组方程，解得： 3 一个具体的例子 @当a二-m-号(b取正值)时， 21b.m ∫dn=-c以n=-hn (chn=-hi 考虑一个在x,y坐标轴方向上以2π为周期 d,=-ci=-hin lci=ha (42) 的边界条件下的一个具体例子： r-受(b取负值)时， b)当a=2b OCOCv.OC-0 o器器+s8+S dh=-cim L=hi [ch=hin (43) C(x,y,z)=C(x+2l,y,2) d=-ci=hnci=-hhn C(x,y,2)=C(x,y+21,z) 对于F,G形式的这组方程，解得有： limC()=0 (回当m-m0且c-受6航取正 C(x,y,0)=cos(2x)cos(3y) 值)成者m-m0且ci.受取负值） 取L=π，B=y,并且将C(x,y,0)=cos(2x)cos(3y)代 时， 入式(47)，则可得到一系列的参数值：北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 解 ， 在式 求 戈 。 时 ， 开 方应取负 根 这样 ， 由特 征 方程 和 的解 ， 可 以 得 到 常微分方程 的解 的具体形 式 为 ， 。 以声“ ， 声 二 ， 声 。 ， 声 众 ， 声吮 二 ， 声 柔 ， 。 心 二 ， 声 几 ，， 比 ， 声 ‘ ， 其 中 比 ， ， 谧 。 ， ， ， 硫 ，， ， 。 ， ， 。 为任意 常数 ， 而 由式 ， 有 ， 礁 ，。 ， 。 ， 声 瞬 ，， “ ‘ 。 ， 声 嵘 ， ‘ 允 众声 武声心 况习 嵘 刀 十礁 ， ， 其 中 嵘 ， ， 吸 。 ， 礁 ， ， ， ， ， 嵘 。 ， 碟 ， 分 别 与 ， 。 ， ， ， ， 。 嵘 ，， 。 补 ， 。 氛 ， 有关 求解 氏 。 ， 。 同理 由式 ， 有 〔 。 〕 。 · 一 、 降 ’ ’ 。 ， 一 。 此式 与式 类 型 相 同 ， 因而 ，。 与态 刀 有 相 同类 型 的解 ， 即 ， 篇 ， “ ， 。 ， 声 乙 ，。 “ 。 ， 声 几 ， 声心 二 ， 声 二 ， “ 二 ， 声 二 ， 汁 象 ， 声 心‘ ， 。 ， ， 。 ， 礁 ， ， ， ， ， 。 ， ， 。 为任意 常数 而 由式 ， 有 。 。 勺孟 ， “ ， 。 ， 声 ， 。 ‘ 。 ， 习 尤 ， 心 二 ， 声 ，， 心 二 ， 产 优 ， 。 。 砂 ‘ 其 中 琳 ， ，， 。 ，， 。 ，， 。 ，， 。 ，， ， 分 别 与， ， ， ， ， ， ，， ， 礁 ，， 欣 ， 。 有关 确 定态众 ， 氏 ， 众 ， 刀 ， 。 ， 各 系 数 关 系 将态 ， 众 ， 凡 ， ， ， ， 氏 ， 众 的 表 达 式 ， ， ， 代 人 到式 中 ， 则 对 式 中的每个式 子 都有 如下 形 式 的 等式 凡 ， 。 。 声 氏 ，， 。 ， 声 “ ， 凡 二 吼声 二力 “ 十 尺二 嵘习砂 声 二 由三 角 函 数 的 正 交性 ， 并 且 上 方 程 组 中的 之 ， 有 ， 一 嘛 外一 ”蒜 武 ，， 嵘 ，， 以 ， 。 二 一 众 ， 当加 一 且晾产一 嵘 ，， 一 之 ， 众 ， 二 众 。 卜 一 洲 二 二 ， 一李况 · 取正 值 域、 一 。 且 蠕严 一李、 ，。 取 负值 时 ， 众 ， 。 。 众 ，。 长 “ 一 众 ， ‘ 一 之 ， ， ， 鱿 ， 嵘 ， 一 众 ， 武嵘 对 于凡二 ， 嵘 ， 形 式 的这 组 方程 ， 注 意 到此 时 刀阴 一 卿 ， 解 得 有 。 武 ， 一 。 ， 。 武 ，。 嵘 ， 行 旗 一 众 。 二 一 轰 。 数学模 型 的解 析解 综合 以上各种情况 的 分析 ， 并 将态众 ， 凡 ，。 ， ， ， 氏 ， 的表 达式 代 人 到 式 中 ， 且 考 虑 到各 系数 间 的关 系 ， 最后 得 到 ， ， 的解 为 ，， ， 卜军 十 底 · 一 ， 。 ， 声 一‘· ‘” 。 ， 声，」一弋。 呼军罕 。 ，， 。 。 。 。 ， 二 。 一 · ” 。 ， 二」一 ‘ · 华 十平 裳 ， · ，， 。 。 ， ， 二 · ， ‘ ”二 ， 二」一华 一罕 。 ，， 一 ，二 ， 二 ·入 ， 一 · 。 小 ‘· 呼 一罕 · 澡 · ，， 一华 一 罕 · ，·砂一呼 一罕 由条件 以 ， ， 二 刀卑 ，力 ， 可 以得 到式 中的 待定 系数 赚 靡 赚 。 。 箭 ， ，，， 伽 ‘ ， · ，， 箭 ， ，， 。 。 塑笋 十罕 、 从 ， 箭 ， ， ， ， 一瑞 、 试罕嘿 箭买 ， ， ， 、 呼 一罕 ， ， 一硫谕买 ， ， ， 加 呼 一罕 、 对 于凡 ，。 ， 氏 ， 。 形 式 的这组 方程 ， 解 得 当‘ ， 户一 加 卿 二 ， 一 誉 纵 ， 取正值 时 ， ‘ 寡二洽 一 个 具体 的例 子 考 虑 一 个 在 ， 坐 标 轴 方 向上 以 为周 期 的边 界条件下 的一 个具体例子 答 纵 。 取 负值 时 ， ‘ 昏器等 带带 蘸于己劫当 、卜卜 伪 心 一 “ 舔 外 一 ”标 筛 一 ”蒜 嵘 。 一 嵘 ，， 以 ，。 众 。 嵘 ，， 一 盆 。 对 于凡 产 ， 吼 ，。 形 式 的这组 方程 ， 解 得 有 当加 一 且呱户一 巨 一 二 二 。 一鲁 况 ， 取 正 ‘ 值 域者， 一 且偏 ‘鸟黔 一 李，派负值 ， ， 十 ， ， ， ， ， ， ，夕 ， ，夕 ， 取 渭 夕 ， 并 且 将 ， ， 七 代 入式 ， 则 可 得 到一 系列 的参数值