从前面的线形变换(1)的逆变换(2)也能看出 A-1=B=(b7) 4 A A 定义:当A=0时,A称为奇异矩阵( Singular matrix),当A≠0时,A称 31矩阵 2矩阵的运算 为非奇异矩阵( Nonsingular Matrix) 53逆矩阵 定理1和定理2结合有:A是可逆矩阵的充要条件是4≠0.或说A是可逆 §4矩阵分块法 本章总结 矩阵的充要条件是A是非奇异矩阵 推论对于同阶方阵A和B,若AB=E(或BA=E),则B=A-1 主讲:张少 证AB=E=|4·|B|=|酬=1→|4≠0=A-1存在.于 标题页 是B=EB=(4-1A)B=A-1(AB)=A-1E=A-1 44 实数域R n阶实矩阵集合 实数a可逆兮3使mb==1矩阵A可逆兮彐B,使AB=BA=En 第10页共36页 a≠0 detA≠0 →b=a →B=A 全屏显示 结论:若A可逆,则A*|=|AP 证A可逆→>AA*=AA=|AE=→|AA=|AE=→|4·|A 1A四E|=A=>|A|=|A1n天津师范大学 §1 Ý ✡ §2 Ý ✡ ✛ ✩ ➂ §3 ❴ Ý ✡ §4 Ý ✡ ➞ ➡ ④ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 10 ➄ ✁ 36 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❧❝→✛❶✴❈❺(1)✛❴❈❺(2)➃❯✇Ñ A −1 = B = (bij) = ( 1 |A| Aji) = 1 |A| (Aji) = 1 |A| A ∗ . ➼➶➭✟|A| = 0➒➜A→➃Û➱Ý✡(Singular Matrix)➜✟|A| 6= 0➒➜A→ ➃➎Û➱Ý✡(Nonsingular Matrix)✧ ➼♥1Ú➼♥2✭Ü❦➭A➫➀❴Ý✡✛➾❻❫❻➫|A| 6= 0. ➼❵A➫➀❴ Ý✡✛➾❻❫❻➫A➫➎Û➱Ý✡✧ íØ é✉Ó✣➄✡AÚB➜❡AB = E (➼BA = E), ❑B = A−1 . ② AB = E =⇒ |A| · |B| = |E| = 1 =⇒ |A| 6= 0 =⇒ A−1⑧✸. ✉ ➫B = EB = (A−1A)B = A−1 (AB) = A−1E = A−1 . ➣ê➁R n✣➣Ý✡✽Ü ➣êa ➀❴⇔ ∃b ➛ab = ba = 1 Ý✡A➀❴⇔ ∃B, ➛AB = BA = En ⇔ a 6= 0 ⇔ detA 6= 0 ⇒ b = a −1 ⇒ B = A−1 ✂✭Ø➭❡A➀❴➜❑|A∗ | = |A| n−1 . ② A➀❴=⇒ AA∗ = A∗A = |A|E =⇒ |AA∗ | = ||A|E| =⇒ |A| · |A∗ | = |A| n |E| = |A| n =⇒ |A∗ | = |A| n−1 .