1、行列式 1.n行列式共有n2个元素,展开后有n!项,可分解为2行列式; 2.代数余子式的性质: ①、A和a的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0 ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为|A 3.代数余子式和余子式的关系:M=(-1) A=(-1)M 4.设n行列式D n(n-1) 将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D1,则D1=(-1)2D m- 将D顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为D2,则D2=(-1)2D; 将D主对角线翻转后(转置),所得行列式为D3,则D3=D; 将D主副角线翻转后,所得行列式为D4,则D4=D; 5.行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积 ②、副对角行列式:副对角元素的乘积x(-1)2;积 ③、上、下三角行列式(=):主对角元素的乘 ④、和|:副对角元素的乘积×(-1)2 AC= OB ⑤、拉普拉斯展开式:BB C A A =(-1) ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6.对于n阶行列式,恒有:e-A=xn+-1s-,其中S为k阶主子式 7.证明|A=0的方法: ①、A=-| ②、反证法 ③、构造齐次方程组Ax=0,证明其有非零解 ④、利用秩,证明r(A)<n; ⑤、证明0是其特征值; 2、矩阵 1.A是n阶可逆矩阵: ≠0(是非奇异矩阵) r(A=n(是满秩矩阵) A的行(列)向量组线性无关; 齐次方程组Ax=0有非零解 b∈r,Ax=b总有唯一解 A与E等价 A可表示成若干个初等矩阵的乘积; A的特征值全不为0 AA是正定矩阵;1 1、行列式 1. n 行列式共有 2 n 个元素，展开后有 n! 项，可分解为 2 n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、 Aij 和 ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ； 3. 代数余子式和余子式的关系： ( 1) ( 1) i j i j M A A M ij ij ij ij + + = − = − 4. 设 n 行列式 D ： 将 D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 D1 ，则 ( 1) 2 1 ( 1) n n D D − = − ； 将 D 顺时针或逆时针旋转 90 ，所得行列式为 D2 ，则 ( 1) 2 2 ( 1) n n D D − = − ； 将 D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 D3 ，则 D D 3 = ； 将 D 主副角线翻转后，所得行列式为 D4 ，则 D D 4 = ； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积 ( 1) 2 ( 1) n n−  − ； ③、上、下三角行列式（ = ◥ ◣ ）：主对角元素的乘积； ④、 ◤ 和 ◢ ：副对角元素的乘积 ( 1) 2 ( 1) n n−  − ； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B = = 、 ( 1) C A O A m n A B B O B C = = − ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于 n 阶行列式 A ，恒有： 1 ( 1) n n k n k k k    E A S − = − = + −  ，其中 Sk 为 k 阶主子式； 7. 证明 A = 0 的方法： ①、 A A =− ； ②、反证法； ③、构造齐次方程组 Ax = 0 ，证明其有非零解； ④、利用秩，证明 r A n ( )  ； ⑤、证明 0 是其特征值； 2、矩阵 1. A 是 n 阶可逆矩阵：  A  0 （是非奇异矩阵）；  r A n ( ) = （是满秩矩阵）  A 的行（列）向量组线性无关；  齐次方程组 Ax = 0 有非零解；  n  b R ， Ax b = 总有唯一解；  A 与 E 等价；  A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；  A 的特征值全不为 0；  T A A 是正定矩阵；