李秾等：S-FLAT板形仪检测原理的流固耦合振动分析 597· 子W.W =0, ap =uowp,H (y-L)H(L+a-y). dy x=0,b :-H-k2 +(2-)取 (53) =0. (32) dx dy 0.k aP =w'p.W. (54) 0z:-2 a+o =0, y2x0.6 另一方面，由(36)、(39)与(51)三式可得 a'w +(2-)01 0 (33) 中=山(x), (55) ax ay x=0,b "=0,+T。 (56) w W1,0.1=0, =0. (34) 8y2,-0.1 考虑到式(50)，将式(56)代入式(29)消去业而得到 只含有W与P的式(57)，并与仅含P的控制方程式 W10.1=0， =0. (35) (52)、边界条件式(32)、(34)、(42)、(44)和(53)以及 y=0,1 正山 a 连接条件式(54)构成描述处于稳定工作状态时SI一 =0, =0. (36) x=0.b ax dy I:m0.6 FLAT板形仪检测原理的流固耦合振动边值问题 山 =0, 业 =0. 2 (37) 会sp-a+r-on.即-Pla=0, dx dy l :-0. 山** =0,业* (57) =0. (38) 0y2 x=0, ox dy x=0.6 a子山 a业 (a+是)P=0. y0.1 =,+To ax ayo =0. (39) =0, 山 =0, o'u" （r+子W)| =0. (40) dx dy l y-o.1 +(2-)即11 [aw =0, 业* =0,0业* d 3 =0. (41) ax" 0.1 ax ay y=0,1 1,1=0,0| =0, 边界条件式(9)~(11)化为 ay2 y-0.1 Pl-d6+d=0. (42) Pl.-dB4=0, pl=0. (43) P八y01=0, Pl,01=0. (44) a =-uopH(y-L）H(L+a-y）, :▣-H-k2 P1,o1=0. (45) aP U1:.-H-n=-,Hy-)H(L+a-y）k.(46) dz:-2 =wp.W Ul..-n-kn=uoH(y-L)H(L+a-y)k.(47) 其中，W与P之间的双向耦合特性体现在控制方程式 简化的连接条件(14)式化为 (57)与连接条件式(54)中.由于W=0,由式(17) Ul-b2=0. (48) 可以看出W即代表薄板的振幅，故上述边值问题涉及 Ul.-h2=-ωWk. (49) 到三个物理量：薄板的振幅W、板形仪附近空气压力 其中，(25)和(28)两式代表的控制方程组与式(33)、 函数以角频率ω周期性波动的幅值P和薄板的残余 (35)、(36)和(39)这些边界条件构成了关于W与山 应力分布.SI-LAT板形仪检测机理的核心即为W 的带有残余应力与张应力的薄板屈曲问题，由于张应 与，间的关系，求解该边值问题的过程中应设法将 力足够大使得带钢不发生在线屈曲，故有 P消去. W=0. (50) 2.2流固耦合振动边值问题的求解 △2山= (51) 现采用分离变量法求解流固耦合振动边值问题. 另一方面，由式(19)~(31)以及式(50)，与残余 首先需要找到满足边界条件(32)和(34)的本征函数 应力分布直接有关的物理量仅为U、P、W与山，故只 族Wn(x,y）,m=0,1,2,3,…,n=1,2,3,…,为此需 需考虑控制方程(20)、(22)和(29)，边界条件(32)、 求解对边简支对边自由薄板（无残余应力与张应力） (34)、(36)、(42)、(44)和(47)以及连接条件(49)即 的自由振动问题 可.考虑到(20)式，可将未知函数0消去，故式 △2Wn-wp.W=0 (58) (22)、(47)与(49)分别化为 (52) =0,李 秾等: SI--FLAT 板形仪检测原理的流固耦合振动分析 (  2 W x 2 + v  2 W y 2 ) x = 0，b = 0 [ ，  3 W x 3 + ( 2 － v)  3 W x y 2 ] x = 0，b = 0． ( 32 ( )  2 W* x 2 + v  2 W* y 2 ) x = 0，b = 0 [ ，  3 W* x 3 + ( 2 － v)  3 W* x y 2 ] x = 0，b = 0． ( 33) W| y = 0，l = 0， 2 W y 2 y = 0，l = 0． ( 34) W* | y = 0，l = 0， 2 W* y 2 y = 0，l = 0． ( 35)  2 ψ y 2 x = 0，b = 0， 2 ψ x y x = 0，b = 0． ( 36)  2 ψ* y 2 x = 0，b = 0， 2 ψ* x y x = 0，b = 0． ( 37)  2 ψ＊＊ y 2 x = 0，b = 0， 2 ψ＊＊ x y x = 0，b = 0． ( 38)  2 ψ x 2 y = 0，l = σ槇y + T0， 2 ψ x y y = 0，l = 0． ( 39)  2 ψ* x 2 y = 0，l = 0， 2 ψ* x y y = 0，l = 0． ( 40)  2 ψ＊＊ x 2 y = 0，l = 0， 2 ψ＊＊ x y y = 0，l = 0． ( 41) 边界条件式( 9) ～ ( 11) 化为 P| x = － d，b + d = 0． ( 42) P* | x = － d，b + d = 0． ( 43) P| y = 0，l = 0． ( 44) P* | y = 0，l = 0． ( 45) U* | z = － H － h/2 = － u0H( y － L) H( L + a － y) k． ( 46) U| z = － H － h/2 = u0H( y － L) H( L + a － y) k． ( 47) 简化的连接条件( 14) 式化为 U* | z = － h/2 = 0． ( 48) U| z = － h/2 = － ωWk． ( 49) 其中，( 25) 和( 28) 两式代表的控制方程组与式( 33) 、 ( 35) 、( 36) 和( 39) 这些边界条件构成了关于 W* 与 ψ 的带有残余应力与张应力的薄板屈曲问题，由于张应 力足够大使得带钢不发生在线屈曲，故有 W* ≡0． ( 50) Δ2 ψ = σ槇″ y ( 51) 另一方面，由式( 19) ～ ( 31) 以及式( 50) ，与残余 应力分布直接有关的物理量仅为 U、P、W 与 ψ，故只 需考虑控制方程( 20) 、( 22) 和( 29) ，边界条件( 32) 、 ( 34) 、( 36) 、( 42) 、( 44) 和( 47) 以及连接条件( 49) 即 可． 考 虑 到 ( 20 ) 式，可 将 未 知 函 数 U 消 去，故 式 ( 22) 、( 47) 与( 49) ( 分别化为 Δ +  2 z 2 ) P = 0． ( 52) P z z = － H － h/2 = － u0ωρaH( y － L) H( L + a － y) ． ( 53) P z z = － h/2 = ω2 ρaW． ( 54) 另一方面，由( 36) 、( 39) 与( 51) 三式可得 ψ = ψ( x) ， ( 55) ψ″ = σ槇y + T0 ． ( 56) 考虑到式( 50) ，将式( 56) 代入式( 29) 消去 ψ 而得到 只含有 W 与 P 的式( 57) ，并与仅含 P 的控制方程式 ( 52) 、边界条件式( 32) 、( 34) 、( 42) 、( 44) 和( 53) 以及 连接条件式( 54) 构成描述处于稳定工作状态时 SI-- FLAT 板形仪检测原理的流固耦合振动边值问题 D h Δ2 W － ( σ槇y + T0 )  2 W y 2 － ω2 ρsW － 1 h P| z = － h/2 = 0， ( 57 ( ) Δ +  2 z 2 ) P = 0 ( ，  2 W x 2 + v  2 W y 2 ) x = 0，b = 0 [ ，  3 W x 3 + ( 2 － v)  3 W x y 2 ] x = 0，b = 0， W| y = 0，l = 0， 2 W y 2 y = 0，l = 0， P| x = － d，b + d = 0， P| y = 0，l = 0， P z z = － H － h/2 = － u0ωρaH( y － L) H( L + a － y) ， P z z = － h/2 = ω2 ρaW． 其中，W 与 P 之间的双向耦合特性体现在控制方程式 ( 57) 与连接条件式( 54) 中． 由于 W* ≡0，由式( 17) 可以看出 W 即代表薄板的振幅，故上述边值问题涉及 到三个物理量: 薄板的振幅 W、板形仪附近空气压力 函数以角频率 ω 周期性波动的幅值 P 和薄板的残余 应力分布 σ槇y ． SI--FLAT 板形仪检测机理的核心即为 W 与 σ槇y 间的关系，求解该边值问题的过程中应设法将 P 消去． 2. 2 流固耦合振动边值问题的求解 现采用分离变量法求解流固耦合振动边值问题． 首先需要找到满足边界条件( 32) 和( 34) 的本征函数 族 Wmn ( x，y) ，m = 0，1，2，3，…，n = 1，2，3，…，为此需 求解对边简支对边自由薄板( 无残余应力与张应力) 的自由振动问题 D h Δ2 Wmn － ω2 mn ρsWmn = 0． ( 58 ( )  2 Wmn x 2 + ν  2 Wmn y 2 ) x = 0，b = 0， · 795 ·