工程科学学报，第39卷，第4期：593603,2017年4月 Chinese Journal of Engineering,Vol.39,No.4:593-603,April 2017 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2017.04.015:http://journals.ustb.edu.cn SI一FLAT板形仪检测原理的流固耦合振动分析 李 秾”，孔宁)四，李洪波”，张杰”，贾生晖”，褚玉刚，刘海军》 1)北京科技大学机械工程学院，北京1000832)武汉钢铁（集团）公司，武汉430083 ☒通信作者，E-mail:kongning(@usth.cdu.cm 摘要为从力学本质上揭示S一LAT非接触式板形仪的检测原理，基于薄板流固耦合振动理论，建立了薄板振幅与残余 应力关系的数学模型.在非协调Foppl-von Karman方程组的平衡方程中引入惯性项与流体压强项，利用气动载荷在时间上 的周期性将流体速度函数、流体压强函数、薄板挠度函数和薄板应力势函数的时间变量分离出来，得到描述S一FLAT板形仪 稳定工作状态的偏微分方程组。进一步利用分离变量法求解该方程组，最终建立起薄板振幅与残余应力的数学关系。同时 结合实测残余应力数据，利用Siemens提出的振幅一残余应力模型反算得到实际薄板振幅分布，并将其与流固耦合振动模型 计算的振幅进行对比，验证了提出的数学模型的可靠性.进一步利用流固耦合振动模型分析了气泵进风口流体速度、检测距 离和激振频率对振幅的影响，为S-FLAT板形仪科学合理的利用提供了理论依据. 关键词板形仪：残余应力：振动：薄板：流固耦合 分类号TG335.56 Analysis of fluid-structure interaction vibration based on the detection principle of SI-FLAT flatness measurement systems LI Nong'》,KONG Ning》a,LI Hong-bo',ZHANG Jie”,JIA Sheng-hui,CHU Yu-gang2,LN Hai-jun》 1)School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)Wuhan Iron and Steel (Group)Corporation,Wuhan 430083,China Corresponding author,E-mail:kongning@ustb.edu.cn ABSTRACT In order to reveal the mechanical essence of the detecting principle of SI-FLAT flatness measurement systems,the mathematical model of the relationship between amplitude and residual stress was established,based on the theory of fluid-structure interaction vibration of thin plates.The terms of inertia and fluid pressure were introduced to the equilibrium equation in incompatible Foppl-von Karman equations.The time variables were separated out from the velocity function of fluid,pressure function of fluid, deflection function of thin plates and stress potential function of thin plates with consideration of periodic aerodynamic load.Therefore, the partial differential equations aiming at steady state of SI-FLAT flatness measurement systems was obtained.Solving the equations by using the method of separation of variables,the mathematical relationship between amplitude and residual stress was established. Combined with measured residual stress,the distribution of actual amplitude of thin plates could be calculated by the Siemens'ampli- tude-residual stress model,which coincided with the amplitude calculated by the fluid-structure interaction vibration model.The influences of fluid velocity at air pump's inlet,detecting distance and excitation frequency on amplitude were analyzed by using the fluid-structure interaction vibration model,which provides a theoretical basis for application of SI-FLAT flatness measurement systems. KEY WORDS flatness measurement systems:residual stress:vibration:thin plates:fluid-structure interaction 收稿日期：2016-09-14 基金项目：中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(FRF-TP-15O16A3:“十二五”国家科技支撑计划资助项目(2015BAF30B01)
工程科学学报，第 39 卷，第 4 期: 593--603，2017 年 4 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 39，No． 4: 593--603，April 2017 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2017． 04． 015; http: / /journals． ustb． edu． cn SI--FLAT 板形仪检测原理的流固耦合振动分析 李 秾1) ，孔 宁1) ，李洪波1) ，张 杰1) ，贾生晖2) ，褚玉刚2) ，刘海军2) 1) 北京科技大学机械工程学院，北京 100083 2) 武汉钢铁( 集团) 公司，武汉 430083 通信作者，E-mail: kongning@ ustb． edu． cn 摘 要 为从力学本质上揭示 SI--FLAT 非接触式板形仪的检测原理，基于薄板流固耦合振动理论，建立了薄板振幅与残余 应力关系的数学模型． 在非协调 Fppl--von Kármán 方程组的平衡方程中引入惯性项与流体压强项，利用气动载荷在时间上 的周期性将流体速度函数、流体压强函数、薄板挠度函数和薄板应力势函数的时间变量分离出来，得到描述 SI--FLAT 板形仪 稳定工作状态的偏微分方程组． 进一步利用分离变量法求解该方程组，最终建立起薄板振幅与残余应力的数学关系． 同时 结合实测残余应力数据，利用 Siemens 提出的振幅--残余应力模型反算得到实际薄板振幅分布，并将其与流固耦合振动模型 计算的振幅进行对比，验证了提出的数学模型的可靠性． 进一步利用流固耦合振动模型分析了气泵进风口流体速度、检测距 离和激振频率对振幅的影响，为 SI--FLAT 板形仪科学合理的利用提供了理论依据． 关键词 板形仪; 残余应力; 振动; 薄板; 流固耦合 分类号 TG335. 5 + 6 收稿日期: 2016--09--14 基金项目: 中央高校基本科研业务费专项资金资助项目 ( FＲF--TP--15--016A3) ; “十二五”国家科技支撑计划资助项目( 2015BAF30B01) Analysis of fluid--structure interaction vibration based on the detection principle of SI--FLAT flatness measurement systems LI Nong1) ，KONG Ning1) ，LI Hong-bo1) ，ZHANG Jie1) ，JIA Sheng-hui2) ，CHU Yu-gang2) ，LIU Hai-jun2) 1) School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 2) Wuhan Iron and Steel ( Group) Corporation，Wuhan 430083，China Corresponding author，E-mail: kongning@ ustb． edu． cn ABSTＲACT In order to reveal the mechanical essence of the detecting principle of SI--FLAT flatness measurement systems，the mathematical model of the relationship between amplitude and residual stress was established，based on the theory of fluid--structure interaction vibration of thin plates． The terms of inertia and fluid pressure were introduced to the equilibrium equation in incompatible Fppl--von Kármán equations． The time variables were separated out from the velocity function of fluid，pressure function of fluid， deflection function of thin plates and stress potential function of thin plates with consideration of periodic aerodynamic load． Therefore， the partial differential equations aiming at steady state of SI--FLAT flatness measurement systems was obtained． Solving the equations by using the method of separation of variables，the mathematical relationship between amplitude and residual stress was established． Combined with measured residual stress，the distribution of actual amplitude of thin plates could be calculated by the Siemens’amplitude--residual stress model，which coincided with the amplitude calculated by the fluid--structure interaction vibration model． The influences of fluid velocity at air pump’s inlet，detecting distance and excitation frequency on amplitude were analyzed by using the fluid--structure interaction vibration model，which provides a theoretical basis for application of SI--FLAT flatness measurement systems． KEY WOＲDS flatness measurement systems; residual stress; vibration; thin plates; fluid--structure interaction
·594· 工程科学学报，第39卷，第4期 冷轧带钢残余应力的检测是实现板形自动控制和 对带钢振幅大小的影响.对于以上所有问题，可将S- 消除板形缺陷的前提，故检测结果的准确程度直接影 FLAT板形仪的检测机理问题抽象为带残余应力弹性 响成品板形质量.对带钢残余应力的检测是通过板形 薄板的流固耦合振动问题加以解决 仪实现的，其中，Siemens公司研发的采用气流激振一 带有残余应力（非协调变形）弹性薄板流固耦 涡流测幅原理的SI-FLAT非接触式板形仪得到了比 合振动问题的研究尚未见于公开发表的文献中，但是 较普遍的应用网.该板形仪利用气泵产生的周期性 关于弹性结构流固耦合振动问题的研究-围以及关于 空气负压作为激振载荷，驱动受足够大张应力（使带 带有残余应力弹性结构振动问题的研究切已分别 钢不发生在线屈曲)的在线运动带钢进行受迫振动， 有一些成果 通过涡流传感器检测带钢在法向的位移，进而得到带 对于弹性结构流固耦合振动问题的研究，主要有 钢振幅在宽度方向上的分布，最后利用Siemens公司 解析一半解析法-W与有限单元法2.郑哲敏与马 提出的一套基于带张力梁振动理论的振幅一残余应力 宗魁图采用纯解析法、Rayleigh法和小参数摄动法分 模型计算带钢的残余应力，并利用基础目标曲 析了等截面悬臂梁一侧受到流体作用时的流固耦合自 线习对结果进行修正 由振动模态，进一步采用Rayleigh法对变截面悬臂梁 长期以来，关于S-FLAT板形仪检测原理的研究 进行了类似的分析：ln等四研究了中等雷诺数(Re= 主要是基于Siemens公司提出的振幅-残余应力模型 30)情形下固定平板在带有攻角来流下周围的流场， 展开的.黄桥宝网与杨光辉等0采用与Siemens公司 以涡量（涡旋矢量垂直于平面的分量）表示的二维 相同思路的分条离散化解析模型，将带钢沿轧制方向 Navier-Stokes方程为控制方程，通过Laurent级数展 切分为相互独立的窄条，并将气动载荷简化为集中载 开处理涡量在板边缘尖端的奇异性，在远离尖端以及 荷，基于梁的振动理论研究了带钢振幅一残余应力的 边界层的外场部分采用有限差分法进行涡量分析，并 关系，再采用有限元模型修正气动载荷分布规律，并 与尖端部分的涡量进行匹配得到全场解：郝亚娟@ 与Siemens公司提出的振幅-残余应力模型进行对比： 采用相容Lagrange-Euler法，较为系统地分析了弹性 包仁人利用有限元软件建立了固壁在狭窄均匀来流 薄板在理想不可压缩势流定常绕流下的小变形力学行 喷吹下的三维模型，对SI-FLAT板形仪的测量准确性 为，给出了相应的算例，同时利用有限元软件对同一 及误差分布形式进行了分析，解释了误差形成机理， 算例进行数值模拟进行对比验证，分析了误差产生的 同时给出了相应的补偿量计算方法，其结果与Sie- 原因：胡世良等山对流场与平板之间的耦合运动进 mens给出的基础目标曲线相吻合.杨光辉等圆在实 行了有限元仿真，基于流体的有限体积法求解任意 际生产数据的基础上提出了气动载荷激振频率的设置 Lagrange-Euler描述下不可压缩Navier一Stokes方程的 原则，并利用有限元模型分析了具有几种典型残余应 理论，同时考虑到有限单元法离散求解Lagrange坐标 力分布形式的带钢在不同宽度、厚度、张应力等情况下 下弹性动力学方程，计算了在静止流场中弹性薄板的 的固有频率对振幅的影响. 自由振动和方柱后部平板的涡激振动问题，分析了流 总结Siemens公司提供的振幅-残余应力模型以 体与固体的不同物性参数对于平板耦合运动的影响： 及上述学者的工作可以得出以下几点：模型将板带沿 吕坤等四利用ANSYS和CX软件的双向流固耦合功 轧制方向进行了分条离散化，进而采用带张力梁的模 能模拟大空间中薄平板在一定攻角不同来流下的流固 型分析梁的振幅与张应力关系，未将金属带钢作为连 耦合特性，控制方程为非定常Reynolds平均Navier一 续的薄板处理：将气动载荷作为均布集中载荷处理， Stokes方程，利用动网格计算得到大Reynolds数带攻 载荷大小人为给定，且未考虑到流体与固体间的耦合 角均匀来流平板的振动特性以及平板周围流场的非定 关系，与实际情况不符.以上两点所带来的误差Sie- 常流动特性；Vaziri与Hutchinson国研究了金属夹芯 mens公司通过基础目标曲线进行消除，但该曲线的机 板构成的工字钢结构在高强度气流冲击下的流固耦合 理并未明确.有限元仿真分析SI-FLAT的检测机理则 作用，但是将气体激波的传播与固体结构做解耦处 未能考虑到带钢的残余应力，或仅考虑到几种典型的 理，重点研究了两种不同的加载方式：随时间变化的 残余应力分布形式，并且将带钢简化为固壁，没有进 压力载荷与强制不变的初始速度 行真正的流固耦合振动分析，无法对生产实际进行指 对于带有残余应力弹性结构振动问题的研究较 导.另一方面，SI-FLAT板形仪采用的涡流测距传感 少，主要以半解析法为主.高永毅等n利用Tapk阳 器检测振幅在0.15mm左右网，否则无法保证检测结 方法计算了具有给定形式残余应力四边简支薄板的固 果的准确性，故有必要考虑检测距离（检测平台与带 有频率，并与无残余应力的情况进行了比较：Dudarev 钢底面距离)与进风口处空气速度（或气泵风机流量） 等的研究了带有残余应力管的稳态径向振动问题
工程科学学报，第 39 卷，第 4 期 冷轧带钢残余应力的检测是实现板形自动控制和 消除板形缺陷的前提，故检测结果的准确程度直接影 响成品板形质量． 对带钢残余应力的检测是通过板形 仪实现的，其中，Siemens 公司研发的采用气流激振-- 涡流测幅原理的 SI--FLAT 非接触式板形仪得到了比 较普遍的应用［1--2］． 该板形仪利用气泵产生的周期性 空气负压作为激振载荷，驱动受足够大张应力( 使带 钢不发生在线屈曲) 的在线运动带钢进行受迫振动， 通过涡流传感器检测带钢在法向的位移，进而得到带 钢振幅在宽度方向上的分布，最后利用 Siemens 公司 提出的一套基于带张力梁振动理论的振幅--残余应力 模型［3--4］计算 带 钢 的 残 余 应 力，并利用基础目标曲 线［3，5］对结果进行修正． 长期以来，关于 SI--FLAT 板形仪检测原理的研究 主要是基于 Siemens 公司提出的振幅--残余应力模型 展开的． 黄桥宝［3］与杨光辉等［4］采用与 Siemens 公司 相同思路的分条离散化解析模型，将带钢沿轧制方向 切分为相互独立的窄条，并将气动载荷简化为集中载 荷，基于梁的振动理论研究了带钢振幅--残余应力的 关系，再采用有限元模型修正气动载荷分布规律，并 与 Siemens 公司提出的振幅--残余应力模型进行对比; 包仁人［5］利用有限元软件建立了固壁在狭窄均匀来流 喷吹下的三维模型，对 SI--FLAT 板形仪的测量准确性 及误差分布形式进行了分析，解释了误差形成机理， 同时给出了相应的补偿量计算方法，其结果与 Siemens 给出的基础目标曲线相吻合． 杨光辉等［6］ 在实 际生产数据的基础上提出了气动载荷激振频率的设置 原则，并利用有限元模型分析了具有几种典型残余应 力分布形式的带钢在不同宽度、厚度、张应力等情况下 的固有频率对振幅的影响． 总结 Siemens 公司提供的振幅--残余应力模型以 及上述学者的工作可以得出以下几点: 模型将板带沿 轧制方向进行了分条离散化，进而采用带张力梁的模 型分析梁的振幅与张应力关系，未将金属带钢作为连 续的薄板处理; 将气动载荷作为均布集中载荷处理， 载荷大小人为给定，且未考虑到流体与固体间的耦合 关系，与实际情况不符． 以上两点所带来的误差 Siemens 公司通过基础目标曲线进行消除，但该曲线的机 理并未明确． 有限元仿真分析 SI--FLAT 的检测机理则 未能考虑到带钢的残余应力，或仅考虑到几种典型的 残余应力分布形式，并且将带钢简化为固壁，没有进 行真正的流固耦合振动分析，无法对生产实际进行指 导． 另一方面，SI--FLAT 板形仪采用的涡流测距传感 器检测振幅在 0. 15 mm 左右［2］，否则无法保证检测结 果的准确性，故有必要考虑检测距离( 检测平台与带 钢底面距离) 与进风口处空气速度( 或气泵风机流量) 对带钢振幅大小的影响． 对于以上所有问题，可将 SI- -FLAT 板形仪的检测机理问题抽象为带残余应力弹性 薄板的流固耦合振动问题加以解决． 带有残余应力( 非协调变形［7］) 弹性薄板流固耦 合振动问题的研究尚未见于公开发表的文献中，但是 关于弹性结构流固耦合振动问题的研究［8--13］以及关于 带有残余应力弹性结构振动问题的研究［14--17］已分别 有一些成果． 对于弹性结构流固耦合振动问题的研究，主要有 解析--半解析法［8--11］与有限单元法［12--13］． 郑哲敏与马 宗魁［8］采用纯解析法、Ｒayleigh 法和小参数摄动法分 析了等截面悬臂梁一侧受到流体作用时的流固耦合自 由振动模态，进一步采用 Ｒayleigh 法对变截面悬臂梁 进行了类似的分析; In 等［9］研究了中等雷诺数( Ｒe = 30) 情形下固定平板在带有攻角来流下周围的流场， 以涡量( 涡旋矢量垂直于平面的分量) 表 示 的 二 维 Navier--Stokes 方程为控制方程，通过 Laurent 级数展 开处理涡量在板边缘尖端的奇异性，在远离尖端以及 边界层的外场部分采用有限差分法进行涡量分析，并 与尖端部分的涡量进行匹配得到全场解; 郝亚娟［10］ 采用相容 Lagrange--Euler 法，较为系统地分析了弹性 薄板在理想不可压缩势流定常绕流下的小变形力学行 为，给出了相应的算例，同时利用有限元软件对同一 算例进行数值模拟进行对比验证，分析了误差产生的 原因; 胡世良等［11］对流场与平板之间的耦合运动进 行了有限元仿真，基于流体的有限体积法求解任意 Lagrange--Euler 描述下不可压缩 Navier--Stokes 方程的 理论，同时考虑到有限单元法离散求解 Lagrange 坐标 下弹性动力学方程，计算了在静止流场中弹性薄板的 自由振动和方柱后部平板的涡激振动问题，分析了流 体与固体的不同物性参数对于平板耦合运动的影响; 吕坤等［12］利用 ANSYS 和 CFX 软件的双向流固耦合功 能模拟大空间中薄平板在一定攻角不同来流下的流固 耦合特性，控制方程为非定常 Ｒeynolds 平均 Navier-- Stokes 方程，利用动网格计算得到大 Ｒeynolds 数带攻 角均匀来流平板的振动特性以及平板周围流场的非定 常流动特性; Vaziri 与 Hutchinson［13］研究了金属夹芯 板构成的工字钢结构在高强度气流冲击下的流固耦合 作用，但是将气体激波的传播与固体结构做解耦处 理，重点研究了两种不同的加载方式: 随时间变化的 压力载荷与强制不变的初始速度． 对于带有残余应力弹性结构振动问题的研究较 少，主要以半解析法为主． 高永毅等［14］利用 Галёркин 方法计算了具有给定形式残余应力四边简支薄板的固 有频率，并与无残余应力的情况进行了比较; Dudarev 等［15］研究了带有残余应力管的稳态径向振动问题， · 495 ·
李秾等：S-FLAT板形仪检测原理的流固耦合振动分析 595 残余应力由管道内压卸载后引起，将系统量纲一和线 化.因此，若只研究SI-FLAT板形仪在稳定工作状态 性化后导出了依赖残余应力大小的固有频率形式： (对应于轧机的稳定轧制阶段、带钢残余应力沿轧制 Gorb与Walton基于大变形理论建立了分析带有残 方向不变)的检测机理，可以忽略带钢的运动而将其 余应力弹性体叠加在大变形基础上的微幅振动模型， 作为具有静态的对边简支对边自由边界条件的薄板， 并将其应用于血管内超声成像技术，算例对比了在不 检测平台轧机末机架工作辊， 同血压下残余应力对血管径向振动本征频率的影响： Jiag等切研究了残余应力与局部的几何非线性对压 金属带材 电纳米线振动特性的影响，基于Hamilton原理推导出 张力辊进风口 涡流测距传感器 动力学方程，并将残余应力与表面效应同时进行考 调凝器 虑，在给定电压下计算出纳米线的振动频率并与零残 余应力状态下Young--Laplace模型进行对比. 借鉴以上工作的思路，本文将结构流固耦合振动 风机 问题的研究与带有残余应力结构振动问题的研究相结 卷取机 合，联立带有惯性项和流体压强载荷的非协调Foppl-一 口气流 von Karman方程组以及不可压缩流体方程组，得到问 图2SI-FLAT板形仪检测示意图 题的基本控制方程组，并根据实际工程背景分别给出 Fig.2 Diagram of detection principle of SI-FLAT 结构、流体的边界条件以及它们之间的连接条件，进 为便于进一步分析，在检测区域附近建立三维直 而形成相应边值问题，利用分离变量法与级数展开法 角坐标系.如图1所示，坐标原点0在带钢一条边界 对该边值问题求解，形成描述SI-LAT板形仪振幅一 上，且位于轧机末机架工作辊与带钢相接触处（近似 残余应力关系的流固耦合振动模型，用于指导实际应 认为是线接触)的正下方，同时原点O还在带钢的中 用与自主开发 曲面上，x轴平行于带钢宽度方向，y轴平行于轧制方 1流固耦合振动分析的物理模型 向（带钢运动方向），进而xOy平面与带钢中面重合， z轴由右手定则确定.设检测区域内的带钢占据0< SI-FLAT板形仪的实物图与检测原理示意图分别 x<b,0<y<l,-h/2<z<h2,其中，b为带钢宽度， 如图1和图2所示.带有残余应力的带钢沿轧制方向 1为工作辊一带钢接触线与张力辊一带钢接触线间的距 运动，布置了位移传感器与气泵出口的检测平台位于 离（即检测区域沿轧制方向长度），为带钢厚度：检 张力辊与轧机末机架之间的检测区域，可认为任意时 测平台位于平面z=-H-h2,其上的气泵进风口占 刻带钢在检测区域具有轧制方向两侧对边简支，宽度 据区域-d<x<b+d,L<y<L+a,其中，d为气泵进 方向两侧对边自由的边界条件，同时受到下方气泵周 风口比带钢两侧各多出的距离（进风口沿宽度方向长 期性抽真空造成的“吸力”作用而进行受迫振动，带钢 度为b+2),L为进风口靠近轧机工作辊一侧的边界 离开检测区域后最终进入卷取机.虽然带钢沿轧制方 与工作辊-带钢接触线在xOy平面的投影距离，a为 向运动，但由于其残余应力张量的唯一非零分量（轧 气泵进风口沿轧制方向长度. 制方向正应力分量)沿轧制方向几乎不变5，刀，故带 2流固耦合振动分析的数学模型 钢在激振频率、激振力不变情况下的受迫振动响应 (振幅分布和振动频率)也应保持稳定而不随时间变 2.1流固耦合振动边值问题的建立 首先建立描述SI-FLAT板形仪检测机理的基本 控制方程组，该方程组由描述薄板大变形的方程组与 描述Newton流体低速运动的方程组两部分组成.在 第1节建立的三维直角坐标系中，设i、和k代表坐 标轴xy和z的单位矢量.记二维Laplace算子△=子/ ax2+子/ay2,三维Hamilton算子V=a/ari+a/ay+a/ zk,二元算子L(A,B)=8A/ax2·a2B/y2+8B/ax2· 2A/ay2-2aA/ary·aB/xy.用以描述带有残余 应力薄板受迫振动的具有惯性项与流体压强项的非协 调Fppl-von Karman方程组为 图1SI-FLAT板形仪 Fig.1 Photograph of SI-FLAT x02e-L(Φ，、刀 h
李 秾等: SI--FLAT 板形仪检测原理的流固耦合振动分析 残余应力由管道内压卸载后引起，将系统量纲一和线 性化后导出了依赖残余应力大小的固有频率形式; Gorb 与 Walton［16］基于大变形理论建立了分析带有残 余应力弹性体叠加在大变形基础上的微幅振动模型， 并将其应用于血管内超声成像技术，算例对比了在不 同血压下残余应力对血管径向振动本征频率的影响; Jiang 等［17］研究了残余应力与局部的几何非线性对压 电纳米线振动特性的影响，基于 Hamilton 原理推导出 动力学方程，并将残余应力与表面效应同时进行考 虑，在给定电压下计算出纳米线的振动频率并与零残 余应力状态下 Young--Laplace 模型进行对比． 借鉴以上工作的思路，本文将结构流固耦合振动 问题的研究与带有残余应力结构振动问题的研究相结 合，联立带有惯性项和流体压强载荷的非协调 Fppl-- von Kármán 方程组以及不可压缩流体方程组，得到问 题的基本控制方程组，并根据实际工程背景分别给出 结构、流体的边界条件以及它们之间的连接条件，进 而形成相应边值问题，利用分离变量法与级数展开法 对该边值问题求解，形成描述 SI--FLAT 板形仪振幅-- 残余应力关系的流固耦合振动模型，用于指导实际应 用与自主开发． 1 流固耦合振动分析的物理模型 SI--FLAT 板形仪的实物图与检测原理示意图分别 图 1 SI--FLAT 板形仪 Fig． 1 Photograph of SI--FLAT 如图 1 和图 2 所示． 带有残余应力的带钢沿轧制方向 运动，布置了位移传感器与气泵出口的检测平台位于 张力辊与轧机末机架之间的检测区域，可认为任意时 刻带钢在检测区域具有轧制方向两侧对边简支，宽度 方向两侧对边自由的边界条件，同时受到下方气泵周 期性抽真空造成的“吸力”作用而进行受迫振动，带钢 离开检测区域后最终进入卷取机． 虽然带钢沿轧制方 向运动，但由于其残余应力张量的唯一非零分量( 轧 制方向正应力分量) 沿轧制方向几乎不变［5，7］，故带 钢在激振频率、激振力不变情况下的受迫振动响应 ( 振幅分布和振动频率) 也应保持稳定而不随时间变 化． 因此，若只研究 SI--FLAT 板形仪在稳定工作状态 ( 对应于轧机的稳定轧制阶段、带钢残余应力沿轧制 方向不变) 的检测机理，可以忽略带钢的运动而将其 作为具有静态的对边简支对边自由边界条件的薄板． 图 2 SI--FLAT 板形仪检测示意图 Fig． 2 Diagram of detection principle of SI--FLAT 为便于进一步分析，在检测区域附近建立三维直 角坐标系． 如图 1 所示，坐标原点 O 在带钢一条边界 上，且位于轧机末机架工作辊与带钢相接触处( 近似 认为是线接触) 的正下方，同时原点 O 还在带钢的中 曲面上，x 轴平行于带钢宽度方向，y 轴平行于轧制方 向( 带钢运动方向) ，进而 xOy 平面与带钢中面重合， z 轴由右手定则确定． 设检测区域内的带钢占据 0 ＜ x ＜ b，0 ＜ y ＜ l，－ h /2 ＜ z ＜ h /2，其中，b 为带钢宽度， l 为工作辊--带钢接触线与张力辊--带钢接触线间的距 离( 即检测区域沿轧制方向长度) ，h 为带钢厚度; 检 测平台位于平面 z = － H － h /2，其上的气泵进风口占 据区域 － d ＜ x ＜ b + d，L ＜ y ＜ L + a，其中，d 为气泵进 风口比带钢两侧各多出的距离( 进风口沿宽度方向长 度为 b + 2d) ，L 为进风口靠近轧机工作辊一侧的边界 与工作辊--带钢接触线在 xOy 平面的投影距离，a 为 气泵进风口沿轧制方向长度． 2 流固耦合振动分析的数学模型 2. 1 流固耦合振动边值问题的建立 首先建立描述 SI--FLAT 板形仪检测机理的基本 控制方程组，该方程组由描述薄板大变形的方程组与 描述 Newton 流体低速运动的方程组两部分组成． 在 第 1 节建立的三维直角坐标系中，设 i、j 和 k 代表坐 标轴 x、y 和 z 的单位矢量． 记二维 Laplace 算子 Δ = 2 / x 2 + 2 / y 2 ，三维 Hamilton 算子 Δ = / xi + / yj + / zk，二元算子 L( A，B) = 2 A / x 2 · 2 B / y 2 + 2 B / x 2 · 2 A / y 2 － 2 2 A / x y· 2 B / x y． 用以描述带有残余 应力薄板受迫振动的具有惯性项与流体压强项的非协 调 Fppl--von Kármán 方程组［18］为 ρs 2 w t 2 + D h Δ2 w － L( Φ，w) － T0 2 w y 2 = · 595 ·
·596· 工程科学学报，第39卷，第4期 (1) 其进行简化并将时间变量分离出来以形成只含有坐标 变量的边值问题 4+，=式 (2) 由于薄板处于微幅低频振动状态，且薄板上侧空 气压强接近大气压强P,因，故可将(1)和(12)两式 其中，t为时间变量，w=w(x,y,t)为薄板受迫振动的 分别近似为 挠度函数（横向位移），中=中(x,y,）为薄板的薄膜应 力势函数，p=p(x,y,z,)为板形仪附近空气的压力函 辛+只4-1m-亲 P. 数，，=可(x)为薄板残余应力张量的轧制方向正应 (13) 力分量囚，广为其对坐标x的二阶导数，P,为薄板的 (pl 密度，D=Eh/12(1-2)为薄板的弯曲刚度，E为薄 ul. (14) 板弹性模量，v为薄板Poisson比，h为薄板厚度，T。 为张力辊对薄板施加的张应力.另一方面，用以描述 由边界条件(11)，设板形仪附近空气运动的速度矢量 板形仪附近空气低速运动的不可压缩流体控制方程 函数具有如下形式 组9为 u=U°(x,y,z）+U(x,y,z）sin wt.. (15) 7u=0, (3) 由式(4)和(15)，板形仪附近空气压力函数应具有如 +a)=-k-[p-(a+是)小 下形式 p=po+P(x,y,2)cos ot+P'(x,y,z)cos2at.(16) (4) 由(14)和(15)两式，薄板挠度函数应具有如下形式 其中，u=u(x,y,z,t)为板形仪附近空气的速度矢量 0=W'(x,y）+W(x,y）cos wt. (17) 函数，g为重力加速度，P.为空气密度，4为空气的动 由(2)和(17)两式，薄板应力函数应具有如下形式 力学黏性系数. Φ=山(x,y）+(x,y）cos ot+*(x,y）cos2al. 然后分别给出薄板变形与板形仪附近空气运动应 (18) 满足的边界条件.对边简支对边自由薄板应满足的边 将式(15)~(18)代入式(2)~(4)与式(13)，并将与 界条件为 时间变量1有关的部分分离后可得 +) 7U°=0. (19) =0 2/ x=0, 7U=0. (20) [+- =0 (5) a ay 2 x=0,b .()(()v. l,o1=0,00| =0. (6) (21) (22) Φ =0, Φ1 ap,U=-VP. 2 =0 (7) x=0,b 0r0dyx=0,& a子中 Φ )u.(3) =0 (8) x2y0. =a,+T。,时，o4 p.U(VU)=VP'. (24) 板形仪附近空气应满足的边界条件为 4=g国-号1(，r). (25) pl.-+4=Po' (9) △2=-EL(W,W), pl,-0l=Po’ (10) (26) ul:--u-=uoH(y-L)H(L+a-y)(sin ot -1)k. w*=-51(w,m. (27) (11) 其中，和w分别为气泵进风口处空气速度大小周期 名4'w-T。W-L(w,w)=0. (28) 性变化的幅度和圆频率，H(x)为Heaviside函数. 最后给出薄板与板形仪附近空气间的连接条件. ip.W- 0产+L(,助+ 考虑到速度场在薄板底面的连续性网，薄板与流体 (29) 间应有连接条件 L(w,r)+Pn=0. (12) Lw,0+L,F)+7Pa=0.(30) 至此，描述SI-LAT板形仪检测机理的基本偏微分方 L(w**,W)=0 (31) 程组及相应边界条件(1)~(12)已经建立，进一步对 边界条件式(5)~(8)化为
工程科学学报，第 39 卷，第 4 期 1 h ( p | z = w － h/2 － p | z = w + h/2 ) ， ( 1) 1 E Δ2 Φ + 1 2 L( w，w) = 1 E σ槇″ y ． ( 2) 其中，t 为时间变量，w = w( x，y，t) 为薄板受迫振动的 挠度函数( 横向位移) ，Φ = Φ( x，y，t) 为薄板的薄膜应 力势函数，p = p( x，y，z，t) 为板形仪附近空气的压力函 数，σ槇y = σ槇y ( x) 为薄板残余应力张量的轧制方向正应 力分量［5］，σ槇″ y 为其对坐标 x 的二阶导数，ρs 为薄板的 密度，D = Eh3 /12( 1 － v 2 ) 为薄板的弯曲刚度，E 为薄 板弹性模量，v 为薄板 Poisson 比，h 为薄板厚度，T0 为张力辊对薄板施加的张应力． 另一方面，用以描述 板形仪附近空气低速运动的不可压缩流体控制方程 组［19］为 Δ u = 0， ( 3) u t + u( Δ u) = － gk － 1 ρ [ a Δ p － μ ( Δ + 2 z 2 ) ] u ． ( 4) 其中，u = u( x，y，z，t) 为板形仪附近空气的速度矢量 函数，g 为重力加速度，ρa 为空气密度，μ 为空气的动 力学黏性系数． 然后分别给出薄板变形与板形仪附近空气运动应 满足的边界条件． 对边简支对边自由薄板应满足的边 ( 界条件为 2 w x 2 + v 2 w y 2 ) x = 0，b = 0 [ ， 3 w x 3 + ( 2 － v) 3 w x y 2 ] x = 0，b = 0． ( 5) w| y = 0，l = 0， 2 w y 2 y = 0，l = 0． ( 6) 2 Φ y 2 x = 0，b = 0， 2 Φ x y x = 0，b = 0． ( 7) 2 Φ x 2 y = 0，l = σ槇y + T0， 2 Φ x y y = 0，l = 0． ( 8) 板形仪附近空气应满足的边界条件为 p | x = － d，b + d = p0， ( 9) p | y = 0，l = p0， ( 10) u | z = － H － h/2 = u0H( y － L) H( L + a － y) ( sin ωt － 1) k． ( 11) 其中，u0 和 ω 分别为气泵进风口处空气速度大小周期 性变化的幅度和圆频率，H( x) 为 Heaviside 函数． 最后给出薄板与板形仪附近空气间的连接条件． 考虑到速度场在薄板底面的连续性［19］，薄板与流体 间应有连接条件 u | z = w － h/2 = w t k． ( 12) 至此，描述 SI--FLAT 板形仪检测机理的基本偏微分方 程组及相应边界条件( 1) ～ ( 12) 已经建立，进一步对 其进行简化并将时间变量分离出来以形成只含有坐标 变量的边值问题． 由于薄板处于微幅低频振动状态，且薄板上侧空 气压强接近大气压强 p0 ［11--12］，故可将( 1) 和( 12) 两式 分别近似为 ρs 2 w t 2 + D h Δ2 w － L( Φ，w) － T0 2 w y 2 = 1 h ( p | z = － h/2 － p0 ) ， ( 13) u | z = － h/2 = w t k． ( 14) 由边界条件( 11) ，设板形仪附近空气运动的速度矢量 函数具有如下形式 u = U* ( x，y，z) + U( x，y，z) sin ωt． ( 15) 由式( 4) 和( 15) ，板形仪附近空气压力函数应具有如 下形式 p = p0 + P( x，y，z) cos ωt + P* ( x，y，z) cos2 ωt． ( 16) 由( 14) 和( 15) 两式，薄板挠度函数应具有如下形式 w = W* ( x，y) + W( x，y) cos ωt． ( 17) 由( 2) 和( 17) 两式，薄板应力函数应具有如下形式 Φ = ψ( x，y) + ψ* ( x，y) cos ωt + ψ＊＊ ( x，y) cos2 ωt． ( 18) 将式( 15) ～ ( 18) 代入式( 2) ～ ( 4) 与式( 13) ，并将与 时间变量 t 有关的部分分离后可得 Δ U* = 0． ( 19) Δ U = 0． ( 20) ρa ［U* ( Δ U* ) + U( Δ U) ］= － ρagk + μ ( Δ + 2 z 2 ) U* ． ( 21) ωρaU = － Δ P． ( 22) ρa ［U( Δ U* ) + U* ( Δ U) ］= μ ( Δ + 2 z 2 ) U． ( 23) ρaU( Δ U) = Δ P* ． ( 24) Δ2 ψ = σ槇″ y ( x) － E 2 L( W，W* ) ． ( 25) Δ2 ψ* = － EL( W，W* ) ， ( 26) Δ2 ψ＊＊ = － E 2 L( W，W) ． ( 27) D h Δ2 W* － T0 2 W* y 2 － L( ψ，W* ) = 0． ( 28) ω2 ρsW － D h Δ2 W + T0 2 W y 2 + L( ψ，W) + L( ψ* ，W* ) + 1 h P| z = － h/2 = 0． ( 29) L( ψ* ，W) + L( ψ＊＊ ，W* ) + 1 h P* | z = － h/2 = 0． ( 30) L( ψ＊＊ ，W) = 0． ( 31) 边界条件式( 5) ～ ( 8) 化为 · 695 ·
李秾等：S-FLAT板形仪检测原理的流固耦合振动分析 597· 子W.W =0, ap =uowp,H (y-L)H(L+a-y). dy x=0,b :-H-k2 +(2-)取 (53) =0. (32) dx dy 0.k aP =w'p.W. (54) 0z:-2 a+o =0, y2x0.6 另一方面，由(36)、(39)与(51)三式可得 a'w +(2-)01 0 (33) 中=山(x), (55) ax ay x=0,b "=0,+T。 (56) w W1,0.1=0, =0. (34) 8y2,-0.1 考虑到式(50)，将式(56)代入式(29)消去业而得到 只含有W与P的式(57)，并与仅含P的控制方程式 W10.1=0， =0. (35) (52)、边界条件式(32)、(34)、(42)、(44)和(53)以及 y=0,1 正山 a 连接条件式(54)构成描述处于稳定工作状态时SI一 =0, =0. (36) x=0.b ax dy I:m0.6 FLAT板形仪检测原理的流固耦合振动边值问题 山 =0, 业 =0. 2 (37) 会sp-a+r-on.即-Pla=0, dx dy l :-0. 山** =0,业* (57) =0. (38) 0y2 x=0, ox dy x=0.6 a子山 a业 (a+是)P=0. y0.1 =,+To ax ayo =0. (39) =0, 山 =0, o'u" （r+子W)| =0. (40) dx dy l y-o.1 +(2-)即11 [aw =0, 业* =0,0业* d 3 =0. (41) ax" 0.1 ax ay y=0,1 1,1=0,0| =0, 边界条件式(9)~(11)化为 ay2 y-0.1 Pl-d6+d=0. (42) Pl.-dB4=0, pl=0. (43) P八y01=0, Pl,01=0. (44) a =-uopH(y-L）H(L+a-y）, :▣-H-k2 P1,o1=0. (45) aP U1:.-H-n=-,Hy-)H(L+a-y）k.(46) dz:-2 =wp.W Ul..-n-kn=uoH(y-L)H(L+a-y)k.(47) 其中，W与P之间的双向耦合特性体现在控制方程式 简化的连接条件(14)式化为 (57)与连接条件式(54)中.由于W=0,由式(17) Ul-b2=0. (48) 可以看出W即代表薄板的振幅，故上述边值问题涉及 Ul.-h2=-ωWk. (49) 到三个物理量：薄板的振幅W、板形仪附近空气压力 其中，(25)和(28)两式代表的控制方程组与式(33)、 函数以角频率ω周期性波动的幅值P和薄板的残余 (35)、(36)和(39)这些边界条件构成了关于W与山 应力分布.SI-LAT板形仪检测机理的核心即为W 的带有残余应力与张应力的薄板屈曲问题，由于张应 与，间的关系，求解该边值问题的过程中应设法将 力足够大使得带钢不发生在线屈曲，故有 P消去. W=0. (50) 2.2流固耦合振动边值问题的求解 △2山= (51) 现采用分离变量法求解流固耦合振动边值问题. 另一方面，由式(19)~(31)以及式(50)，与残余 首先需要找到满足边界条件(32)和(34)的本征函数 应力分布直接有关的物理量仅为U、P、W与山，故只 族Wn(x,y）,m=0,1,2,3,…,n=1,2,3,…,为此需 需考虑控制方程(20)、(22)和(29)，边界条件(32)、 求解对边简支对边自由薄板（无残余应力与张应力） (34)、(36)、(42)、(44)和(47)以及连接条件(49)即 的自由振动问题 可.考虑到(20)式，可将未知函数0消去，故式 △2Wn-wp.W=0 (58) (22)、(47)与(49)分别化为 (52) =0
李 秾等: SI--FLAT 板形仪检测原理的流固耦合振动分析 ( 2 W x 2 + v 2 W y 2 ) x = 0，b = 0 [ ， 3 W x 3 + ( 2 － v) 3 W x y 2 ] x = 0，b = 0． ( 32 ( ) 2 W* x 2 + v 2 W* y 2 ) x = 0，b = 0 [ ， 3 W* x 3 + ( 2 － v) 3 W* x y 2 ] x = 0，b = 0． ( 33) W| y = 0，l = 0， 2 W y 2 y = 0，l = 0． ( 34) W* | y = 0，l = 0， 2 W* y 2 y = 0，l = 0． ( 35) 2 ψ y 2 x = 0，b = 0， 2 ψ x y x = 0，b = 0． ( 36) 2 ψ* y 2 x = 0，b = 0， 2 ψ* x y x = 0，b = 0． ( 37) 2 ψ＊＊ y 2 x = 0，b = 0， 2 ψ＊＊ x y x = 0，b = 0． ( 38) 2 ψ x 2 y = 0，l = σ槇y + T0， 2 ψ x y y = 0，l = 0． ( 39) 2 ψ* x 2 y = 0，l = 0， 2 ψ* x y y = 0，l = 0． ( 40) 2 ψ＊＊ x 2 y = 0，l = 0， 2 ψ＊＊ x y y = 0，l = 0． ( 41) 边界条件式( 9) ～ ( 11) 化为 P| x = － d，b + d = 0． ( 42) P* | x = － d，b + d = 0． ( 43) P| y = 0，l = 0． ( 44) P* | y = 0，l = 0． ( 45) U* | z = － H － h/2 = － u0H( y － L) H( L + a － y) k． ( 46) U| z = － H － h/2 = u0H( y － L) H( L + a － y) k． ( 47) 简化的连接条件( 14) 式化为 U* | z = － h/2 = 0． ( 48) U| z = － h/2 = － ωWk． ( 49) 其中，( 25) 和( 28) 两式代表的控制方程组与式( 33) 、 ( 35) 、( 36) 和( 39) 这些边界条件构成了关于 W* 与 ψ 的带有残余应力与张应力的薄板屈曲问题，由于张应 力足够大使得带钢不发生在线屈曲，故有 W* ≡0． ( 50) Δ2 ψ = σ槇″ y ( 51) 另一方面，由式( 19) ～ ( 31) 以及式( 50) ，与残余 应力分布直接有关的物理量仅为 U、P、W 与 ψ，故只 需考虑控制方程( 20) 、( 22) 和( 29) ，边界条件( 32) 、 ( 34) 、( 36) 、( 42) 、( 44) 和( 47) 以及连接条件( 49) 即 可． 考 虑 到 ( 20 ) 式，可 将 未 知 函 数 U 消 去，故 式 ( 22) 、( 47) 与( 49) ( 分别化为 Δ + 2 z 2 ) P = 0． ( 52) P z z = － H － h/2 = － u0ωρaH( y － L) H( L + a － y) ． ( 53) P z z = － h/2 = ω2 ρaW． ( 54) 另一方面，由( 36) 、( 39) 与( 51) 三式可得 ψ = ψ( x) ， ( 55) ψ″ = σ槇y + T0 ． ( 56) 考虑到式( 50) ，将式( 56) 代入式( 29) 消去 ψ 而得到 只含有 W 与 P 的式( 57) ，并与仅含 P 的控制方程式 ( 52) 、边界条件式( 32) 、( 34) 、( 42) 、( 44) 和( 53) 以及 连接条件式( 54) 构成描述处于稳定工作状态时 SI-- FLAT 板形仪检测原理的流固耦合振动边值问题 D h Δ2 W － ( σ槇y + T0 ) 2 W y 2 － ω2 ρsW － 1 h P| z = － h/2 = 0， ( 57 ( ) Δ + 2 z 2 ) P = 0 ( ， 2 W x 2 + v 2 W y 2 ) x = 0，b = 0 [ ， 3 W x 3 + ( 2 － v) 3 W x y 2 ] x = 0，b = 0， W| y = 0，l = 0， 2 W y 2 y = 0，l = 0， P| x = － d，b + d = 0， P| y = 0，l = 0， P z z = － H － h/2 = － u0ωρaH( y － L) H( L + a － y) ， P z z = － h/2 = ω2 ρaW． 其中，W 与 P 之间的双向耦合特性体现在控制方程式 ( 57) 与连接条件式( 54) 中． 由于 W* ≡0，由式( 17) 可以看出 W 即代表薄板的振幅，故上述边值问题涉及 到三个物理量: 薄板的振幅 W、板形仪附近空气压力 函数以角频率 ω 周期性波动的幅值 P 和薄板的残余 应力分布 σ槇y ． SI--FLAT 板形仪检测机理的核心即为 W 与 σ槇y 间的关系，求解该边值问题的过程中应设法将 P 消去． 2. 2 流固耦合振动边值问题的求解 现采用分离变量法求解流固耦合振动边值问题． 首先需要找到满足边界条件( 32) 和( 34) 的本征函数 族 Wmn ( x，y) ，m = 0，1，2，3，…，n = 1，2，3，…，为此需 求解对边简支对边自由薄板( 无残余应力与张应力) 的自由振动问题 D h Δ2 Wmn － ω2 mn ρsWmn = 0． ( 58 ( ) 2 Wmn x 2 + ν 2 Wmn y 2 ) x = 0，b = 0， · 795 ·
·598· 工程科学学报，第39卷，第4期 w+(2-)1 =0 (59) ax ay2.-0. 名三m气受学CA+ P= Wlo1=0, 子W D.sinh入z), (63) =0. (60) 其中， C和D为待定系数，入u= 其中，w为边值问间题(58)~(60)的本征值，也即自 π√(k/b+2d)+(s/)严，这种形式的P自动满足控 由振动的固有频率.该本征值问题的解为 制方程(52)以及边界条件(42)和(44).故将(62)和 W(x）=人（sinT, (63)两式代入控制方程(57)以及边界条件(53)和 (54)分别得到 (m=0,1,2,3,…）,(n=1,2,3,…）. (61) 其中，当m=0时 三三{o-wn+ 人()-人in-人sinha coshBanb coshaob -coshaox-Jos sinhaox+ 亨，+7}k平= Jo sinhao.b-Ko sinhBob (coshcoshd cosh+sinh 2 (n=1,2,3…), a.=√m心+√p.h/万， nmh岁)，0<x. (64) B=√n2mP-√p.h/元， 含宫如罗些 2 ko=(1)-phD (1-)n2r2/+oo√p.h/D 6学)=n含名国m平 Bon (0<x<b) (65) Jm三Ko.om 本征值0o由如下方程确定 含宫+ (Jo+Ko)sinhaobsinhBo.b+ 2JKo (1-coshaa bcoshBo.b)=0. 会)-Cuirb w(H+空)川- 当m=1,2,3,…时 -ap.H(y-L)H(L+a-y）, 人(x）=K.sin B-sinh ab (-d<x<b+d). (66) cosh a-cos Bcosha+ 利用三角函数族的正交性 Ksin Bb-Jsinh a sinha(coshcos B)cos sin平in山=0，(a≠， sin B,(n=1,2,3,…）, m=Vom Vp.h/D+nm/, m红m年0r=0.≠月. b+2d b+2d B=√o√p.h/D-n2π2/P, 可将式(64)~(66)化简为 K=o而-1-)n2mp 言a{o-n+,+k国= Vp.h/D+(1-v)n2/ B 六名(G.m空-n.smh岁)m年升 Ju-Kcm b+2d, (0<x<b) (67) 本征值0由如下方程确定 (K-)sinh absin B n三③ 2KJ(1-cosh a bcos Bb)=0. 进而可将薄板振幅W展开为 宫.(0mh空-csh4岁)m b+2d (68) W- A0Wx）= (0<x<b) 三三m学 8-(-）门n%+0m受= (62) kn入nT 21 其中，6为待定系数，这种形式的W自动满足边界条 D.cosh(H+2）-Csimh(H+） 件(32)和(34).另一方面，调和函数P解的形式为 (69)
工程科学学报，第 39 卷，第 4 期 [ 3 Wmn x 3 + ( 2 － v) 3 Wmn x y 2 ] x = 0，b = 0． ( 59) Wmn | y = 0，l = 0， 2 Wmn y 2 y = 0，l = 0． ( 60) 其中，ωmn为边值问题( 58) ～ ( 60) 的本征值，也即自 由振动的固有频率． 该本征值问题的解为 Wmn ( x，y) = fmn ( x) sin nπy l ， ( m = 0，1，2，3，…) ，( n = 1，2，3，…) ． ( 61) 其中，当 m = 0 时 f0n ( x) = K0n sinhβ0n b － J0n sinha0n b coshβ0n b － cosha0n b cosha0n x － J0n sinha0n x + J0n sinha0n b － K0n sinhβ0n b K0n ( coshβ0n b － cosha0n b) coshβ0n x + sinhβ0n x， ( n = 1，2，3，…) ， α0n = n2 π2 /l2 槡 + ω0n 槡ρsh /D， β0n = n2 π2 /l2 槡 － ω0n 槡ρsh /D， K0n = ( 1 － v) n2 π2 /l2 － ω0n 槡ρsh /D ( 1 － v) n2 π2 /l2 + ω0n 槡ρsh /D， J0n = β0n K0nα0n ． 本征值 ω0n由如下方程确定 ( J 2 0n + K2 0n ) sinha0n bsinhβ0n b + 2J0nK0n ( 1 － cosha0n bcoshβ0n b) = 0． 当 m = 1，2，3，…时 fmn ( x) = Kmn sin βmn b － Jmn sinh amn b cosh amn b － cos βmn b coshamn x + Jmn sinhamn x + Kmn sin βmn b － Jmn sinh amn b Kmn ( cosh amn b － cos βmn b) cos βmn x + sin βmn x，( n = 1，2，3，…) ， αmn = ωmn 槡ρsh /D + n2 π2 槡 /l2 ， βmn = ωmn 槡ρsh /D － n2 π2 槡 /l2 ， Kmn = ωmn 槡ρsh /D － ( 1 － v) n2 π2 /l2 ωmn 槡ρsh /D + ( 1 － v) n2 π2 /l2 ， Jmn = βmn Kmnαmn ． 本征值 ωmn由如下方程确定 ( K2 mn － J 2 mn ) sinh αmn bsin βmn b + 2Kmn Jmn ( 1 － cosh αmn bcos βmn b) = 0． 进而可将薄板振幅 W 展开为 W = ∑ ∞ m = 0 ∑ ∞ n = 1 θmnWmn ( x，y) = ∑ ∞ m = 0 ∑ ∞ n = 0 θmn fmn ( x) sin nπy l ， ( 62) 其中，θmn为待定系数，这种形式的 W 自动满足边界条 件( 32) 和( 34) ． 另一方面，调和函数 P 解的形式为 P = ∑ ∞ k = 1 ∑ ∞ s = 1 sin kπ( x + d) b + 2d sin sπy l ( Ckscosh λks z + Dkssinh λks z) ， ( 63) 其 中， Cks 和 Dks 为 待 定 系 数， λks = π ( k / b + 2d) 2 槡 + ( s /l) 2 ，这种形式的 P 自动满足控 制方程( 52) 以及边界条件( 42) 和( 44) ． 故将( 62) 和 ( 63) 两式代入控制方程( 57) 以及边界条件( 53) 和 ( 54) 分别得到 ∑ ∞ m = 0 ∑ ∞ n = 1 θmn { ( ω2 mn － ω2 ) ρs + n2 π2 l 2 ［σ槇y ( x) + T0］} fmn ( x) sin nπy l = 1 h ∑ ∞ k = 1 ∑ ∞ s = 1 sin kπ( x + d) b + 2d sin sπy ( l Ckscosh λksh 2 － Dkssinh λksh ) 2 ，( 0 ＜ x ＜ b) ． ( 64) ∑ ∞ k = 1 ∑ ∞ s = 1 λkssin kπ( x + d) b + 2d sin sπy ( l Dkscosh λksh 2 － Ckssinh λksh ) 2 = ω2 ρa ∑ ∞ m = 0 ∑ ∞ n = 1 θmn fmn ( x) sin nπy l ， ( 0 ＜ x ＜ b) ． ( 65) ∑ ∞ k = 1 ∑ ∞ s = 1 λkssin kπ( x + d) b + 2d sin sπy [ l Dkscosh λks ( H + h ) 2 － Ckssinh λks ( H + h ) ] 2 = － u0ωρaH( y － L) H( L + a － y) ， ( － d ＜ x ＜ b + d) ． ( 66) 利用三角函数族的正交性 ∫ l 0 sin nπy l sin n槇πy l dy = 0，( n≠n槇) ， ∫ b +d －d sin kπ( x + d) b + 2d sin k 槇π( x + d) b + 2d dx = 0，( k≠k 槇) ． 可将式( 64) ～ ( 66) 化简为 ∑ ∞ m = 0 θmn { ( ω2 mn － ω2 ) ρs + n2 π2 l 2 ［σ槇y ( x) + T0］} fmn ( x) = 1 h ∑ ∞ k = ( 1 Ckn cosh λkn h 2 － Dkn sinh λkn h ) 2 sin kπ( x + d) b + 2d ， ( 0 ＜ x ＜ b) ． ( 67) ω2 ρa ∑ ∞ m = 0 θmn fmn ( x) = ∑ ∞ k = 1 λkn ( Dkn cosh λkn h 2 － Ckn sinh λkn h ) 2 sin kπ( x + d) b + 2d ， ( 0 ＜ x ＜ b) ． ( 68) － 8u0ωρa knλknπ2 ［1 － ( － 1) k ］sin nπ( 2L + a) 2l sin nπa 2l = Dkn cosh λkn ( H + h ) 2 － Ckn sinh λkn ( H + h ) 2 ． ( 69) · 895 ·
李秾等：S-FLAT板形仪检测原理的流固耦合振动分析 ·599 利用式(69)消去(67)和(68)式中的D。,并考虑到函 算机中心可读取到整块带钢的残余应力分布数据以及 数族∫(x)关于指标m的正交性四 基础目标曲线数据，习，而无法读取到带钢受迫振动 [(x)f(x)dk=0,(m≠m, 产生的位移（振幅）数据.为此，可以根据Siemens公 司提出的振幅一残余应力模型B反推最大振幅分布 得到含有6n和Cn（等同于上述待定系数0和C.,改 (振幅在轧制方向的最大值)，进而与本文提出的模型 写指标以做区别)的无穷维线性代数方程组 在已知残余应力情形下计算得到的最大振幅进行对 (o-0)p TmraOt 比，若两者趋势相符则验证了基于流固耦合振动分析 「Asinh AuH cosh AiH 的振幅-残余应力模型的合理性.用于验证模型的某 Ymnt Cin 卷带钢具有宽度1635mm、厚度0.7mm的尺寸规格， wp. h(o)p.cosh (H+h)= 宽度方向上的80个涡流位移传感器检测得到其气动 ∑[A.cosh2+h2]ep w'p. (oin-0)p.h knann 载荷下一个振动周期内不同时刻的位移园，然后通过 y0-（-1)勺， 对时间的Fourier变换得到最大振幅，最后利用Sie- co (sin in 21 21 .(70) mens振幅一残余应力模型经目标曲线修正而得到如图 p-夏6以.-宫咖 Yant Ci 3所示残余应力轧制方向正应力，(x)实测值，其中 op.cosh A (H+h/2) x,(i=1,2,3,…,80)代表80个检测点的坐标 万d.cosh28u,epy1-(-l1)勺 wp.cosh A (H+h/2) sa+n罗 (71) 10 其中，Tan Yankan和6分别定义为 0 Tn=。G,(x)+T]f(xfxd. (72) -106 sin .( 20 p=d,={ l,(m=r） 0.20.40.60.81.01.21.41.6 0,(m≠r） 宽度方向坐标m 若已知残余应力分布，则Tm确定，此时(70)和 图3残余应力轧制方向正应力，(x)实测值 (71)两式可看作关于0.和C的无穷维线性代数方程 Fig.3 Measured residual stress component in rolling direction 组，对其求解后再由式(62)可进一步得到带钢振幅 0,(x) W,这样就建立了S-FLAT板形仪已知残余应力分布 现由图3所示残余应力值反推最大振幅，首先剔 得到带钢振幅的数学关系，得到残余应力一振幅模型：另 一方面，若已知带钢振幅分布W,则可将其按式(62)分 除基础目标曲线值(x:)的修正效果可，得到未经 解而得到6.，此时(70)和(71)两式可看作关于rm和Cm 修正的残余应力值(x,)（如图4所示)，即 的无穷维线性代数方程组，对其求解后再由式(72)通过 (x)=0,(x)+Gn(x). (73) 级数展开法可进一步得到残余应力分布，这样就建立 然后利用Siemens公司提出的振幅一残余应力模 了SI-FLAT板形仪已知带钢振幅得到残余应力分布的数 型B-反推最大振幅分布A(x) 学关系，得到振幅一残余应力模型。至此，基于流固耦合 A(x)=LT。 (74) 振动分析的S-LAT板形仪检测原理数学模型完成，需 k G(x)+To 进一步通过实测数据检验其准确性. 其中，K=元是一个未知常数（单位m,但 3数学模型可靠性的验证与带钢振幅影响 是在已知最大振幅而计算残余应力时，K是可以得到 因素的分析 的)，因此带钢最大振幅的具体值无法得知，但由于 3.1基于流固耦合振动分析的振幅一残余应力模型 张应力与未经修正的残余应力(x,)值是已知的，故 验证 带钢的实测最大振幅分布。一（量纲一）可知： 某钢厂冷连轧机末机架出口处设置有SI一FLAT (x)+T。 板形仪用以检测冷轧带钢的残余应力分布，在该厂计 另一方面，由于要求带钢振幅在0.15mm左右，为便
李 秾等: SI--FLAT 板形仪检测原理的流固耦合振动分析 利用式( 69) 消去( 67) 和( 68) 式中的 Dks，并考虑到函 数族 fmn ( x) 关于指标 m 的正交性［20］ ∫ b 0 fmn ( x) f 槇mn ( x) dx = 0，( m≠m槇) ， 得到含有 θrn和 Ckn ( 等同于上述待定系数 θmn和 Cks，改 写指标以做区别) 的无穷维线性代数方程组 n2 π2 ( ω2 mn － ω2 ) ρsl 2 ∑ ∞ r = 0 τmrn θrn + ∑ ∞ k = [ 1 λkn sinh λknH ω2 ρa － cosh λknH h( ω2 mn － ω2 ) ρ ] s γmnkCkn cosh λkn ( H + h/2) = ∑ ∞ k = [ 1 λkn cosh λkn h /2 ω2 ρa + sinh λkn h /2 ( ω2 mn － ω2 ) ρs ] h 8u0ωρa knλknπ2 · γmnk［1 － ( － 1) k ］ cosh λkn ( H + h /2) sin nπ( 2L + a) 2l sin nπa 2l ． ( 70) φmn∑ ∞ r = 0 δmrθrn － ∑ ∞ k = 1 λkn sinh λknH ω2 ρa γmnkCkn cosh λkn ( H + h /2) = － ∑ ∞ k = 1 λkn cosh λkn h /2 ω2 ρa 8u0ωρa knλknπ2 γmnk［1 － ( － 1) k ］ cosh λkn ( H + h /2) · sin nπ( 2L + a) 2l sin nπa 2l ． ( 71) 其中，τmrn、γmnk、φmn和 δmr分别定义为 τmrn = ∫ b 0 ［σ槇y ( x) + T0］fmn ( x) frn ( x) dx． ( 72) γmnk = ∫ b 0 sin kπ( x + d) b + 2d fmn ( x) dx， φmn = ∫ b 0 f 2 mn ( x) dx，δmr = 1， ( m = r) {0， ( m≠r) ． 若已知残余应力分布 σ槇y，则 τmrn 确定，此时( 70) 和 ( 71) 两式可看作关于 θrn和 Ckn的无穷维线性代数方程 组，对其求解后再由式( 62) 可进一步得到带钢振幅 W，这样就建立了 SI--FLAT 板形仪已知残余应力分布 得到带钢振幅的数学关系，得到残余应力--振幅模型; 另 一方面，若已知带钢振幅分布 W，则可将其按式( 62) 分 解而得到 θrn，此时( 70) 和( 71) 两式可看作关于 τmrn和 Ckn 的无穷维线性代数方程组，对其求解后再由式( 72) 通过 级数展开法可进一步得到残余应力分布 σ槇y，这样就建立 了 SI--FLAT 板形仪已知带钢振幅得到残余应力分布的数 学关系，得到振幅--残余应力模型． 至此，基于流固耦合 振动分析的 SI--FLAT 板形仪检测原理数学模型完成，需 进一步通过实测数据检验其准确性． 3 数学模型可靠性的验证与带钢振幅影响 因素的分析 3. 1 基于流固耦合振动分析的振幅--残余应力模型 验证 某钢厂冷连轧机末机架出口处设置有 SI--FLAT 板形仪用以检测冷轧带钢的残余应力分布，在该厂计 算机中心可读取到整块带钢的残余应力分布数据以及 基础目标曲线数据［3，5］，而无法读取到带钢受迫振动 产生的位移( 振幅) 数据． 为此，可以根据 Siemens 公 司提出的振幅--残余应力模型［3--4］反推最大振幅分布 ( 振幅在轧制方向的最大值) ，进而与本文提出的模型 在已知残余应力情形下计算得到的最大振幅进行对 比，若两者趋势相符则验证了基于流固耦合振动分析 的振幅--残余应力模型的合理性． 用于验证模型的某 卷带钢具有宽度 1635 mm、厚度 0. 7 mm 的尺寸规格， 宽度方向上的 80 个涡流位移传感器检测得到其气动 载荷下一个振动周期内不同时刻的位移［6］，然后通过 对时间的 Fourier 变换得到最大振幅，最后利用 Siemens 振幅--残余应力模型经目标曲线修正而得到如图 3 所示残余应力轧制方向正应力 σ槇y ( xi ) 实测值，其中 xi，( i = 1，2，3，…，80) 代表 80 个检测点的坐标． 图 3 残余应力轧制方向正应力 σ 槇y ( xi ) 实测值 Fig． 3 Measured residual stress component in rolling direction σ 槇y ( xi ) 现由图 3 所示残余应力值反推最大振幅，首先剔 除基础目标曲线值 σ槇sp ( xi ) 的修正效果［5］，得到未经 修正的残余应力值 σ槇( xi ) ( 如图 4 所示) ，即 σ槇( xi ) = σ槇y ( xi ) + σ槇sp ( xi ) ． ( 73) 然后利用 Siemens 公司提出的振幅--残余应力模 型［3--4］反推最大振幅分布 A( xi ) A( xi ) = 1 κ T0 σ槇( xi ) + T0 ． ( 74) 其中，κ = 1 n ∑ 80 i = 1 1 A( xi ) 是一个未知常数( 单位 m － 1，但 是在已知最大振幅而计算残余应力时，κ 是可以得到 的) ，因此带钢最大振幅的具体值无法得知，但由于 张应力与未经修正的残余应力 σ槇( xi ) 值是已知的，故 带钢的实测最大振幅分布 T0 σ槇( xi ) + T0 ( 量纲一) 可知． 另一方面，由于要求带钢振幅在 0. 15 mm 左右，为便 · 995 ·
·600* 工程科学学报，第39卷，第4期 30 学2 0W(xy）- 三2.w4w <5×10-7m (76) 目标曲线 g三2以- 三wW <5×10-7m (77) -10 未修正的残余应力 其中，max代表遍历指标i和j求最大值，y为离散化 产-200 0.20.40.60.81.01.21.41.6 宽度方向坐标m 的轧制方向坐标.计算得到的部分6值如表3所示. 图4基础目标曲线值0p(x)与未修正的残余应力值(x,) 表3部分日值 Table 3 Partial values of. m Fig.4 Basic aim curve()and residual stress without modifica- tion (x) 于进一步对比，将实测最大振幅A”(x)定义为 0 -33.16 -3.452 A°(x)= 。一×104m 1 0.8980 0.08182 (75) (x)+T。 10.92 0.02153 -0.1358 0.02274 A”(x)在数值上相当于带钢实际最大振幅乘以某一 4 -18.54 -1.115 常数，两者曲线形式是完全一致的 将表1和表2所示尺寸、材料与力学参数.习代 5 0.9871 0.1045 6 -17.00 -1.509 入第2节建立的数学模型，在已知如图3所示残余应 力的情形下计算带钢振幅，本质上归结于求解关于 检测区域内带钢的振幅W(xy)如图5所示. 日的无穷维线性代数方程组.经编程计算，本算例在 0 0.22 m=11,n=6时即收敛 0.9 0.20 表1尺寸参数 0.8 0.18 0.7 016 Table 1 Dimension parameters 0.6 0.14 参数/mm 数值 0.12 0.10 b 1635 0.08 1000 0.06 h 0.7 02 0.04 5.0 0.1 0.02 H d 217.5 000.2040.60.8,1012141.6 宽度方向坐标m L 326.5 17 图5检测区域内带钢振幅云图 Fig.5 Nephogram of strip's amplitude in detection area 表2材科与力学参数 计算所得最大振幅max[W(x,y)]与式(75)定义 Table 2 Parameters of materials and mechanics 的实测最大振幅的对比如图6所示，其中，max代表 参数 数值 仅遍历指标j求最大值.可见二者形式吻合良好，S- p./(kgm-3) 7850 FLAT板形仪基于流固耦合振动分析的振幅一残余应 E/GPa 210 力模型的可靠性得到了验证. 0.3 根据以上分析，可以得出基于薄板流固耦合振动 To/MPa 30 理论的S-LAT板形仪振幅一残余应力模型相对于 p/(kg"m-3) 1.185 Siemens公司提出的基于带张力梁振动理论的SI一 uol(m's-1) 0.9 FLAT板形仪振幅-残余应力模型具有以下优势：综合 w/(rad-s-1) 10r 考虑了薄板变形与板形仪周围空气的运动，克服了
工程科学学报，第 39 卷，第 4 期 图 4 基础目标曲线值 σ 槇sp ( xi ) 与未修正的残余应力值 σ 槇( xi ) Fig． 4 Basic aim curve σ 槇sp ( xi ) and residual stress without modification σ 槇( xi ) 于进一步对比，将实测最大振幅 A* ( xi ) 定义为 A* ( xi ) = T0 σ槇( xi ) + T0 × 10 － 4 m． ( 75) A* ( xi ) 在数值上相当于带钢实际最大振幅乘以某一 常数，两者曲线形式是完全一致的． 将表 1 和表 2 所示尺寸、材料与力学参数［3，5］代 入第 2 节建立的数学模型，在已知如图 3 所示残余应 力的情形下计算带钢振幅，本质上归结于求解关于 θmn的无穷维线性代数方程组． 经编程计算，本算例在 m = 11，n = 6 时即收敛． 表 1 尺寸参数 Table 1 Dimension parameters 参数/mm 数值 b 1635 l 1000 h 0. 7 H 5. 0 d 217. 5 L 326. 5 a 17 表 2 材料与力学参数 Table 2 Parameters of materials and mechanics 参数 数值 ρs /( kg·m － 3 ) 7850 E/GPa 210 v 0. 3 T0 /MPa 30 ρa /( kg·m － 3 ) 1. 185 u0 /( m·s － 1 ) 0. 9 ω/( rad·s － 1 ) 10π max i，j ∑ 12 m = 0 ∑ 6 n = 1 θmnWmn ( xi，yj ) － ∑ 11 m = 0 ∑ 6 n = 1 θmnWmn ( xi，yj ) ＜ 5 × 10 － 7 m． ( 76) max i，j ∑ 11 m = 0 ∑ 7 n = 1 θmnWmn ( xi，yj ) － ∑ 11 m = 0 ∑ 6 n = 1 θmnWmn ( xi，yj ) ＜ 5 × 10 － 7 m． ( 77) 其中，max i，j 代表遍历指标 i 和 j 求最大值，yj 为离散化 的轧制方向坐标． 计算得到的部分 θmn值如表 3 所示． 表 3 部分 θmn值 Table 3 Partial values of θmn μm m n 1 2 0 － 33. 16 － 3. 452 1 0. 8980 0. 08182 2 10. 92 0. 02153 3 － 0. 1358 0. 02274 4 － 18. 54 － 1. 115 5 0. 9871 0. 1045 6 － 17. 00 － 1. 509 检测区域内带钢的振幅 W( xi，yj ) 如图 5 所示． 图 5 检测区域内带钢振幅云图 Fig． 5 Nephogram of strip’s amplitude in detection area 计算所得最大振幅maxj ［W( xi，yj ) ］与式( 75) 定义 的实测最大振幅的对比如图 6 所示，其中，maxj 代表 仅遍历指标 j 求最大值． 可见二者形式吻合良好，SI-- FLAT 板形仪基于流固耦合振动分析的振幅--残余应 力模型的可靠性得到了验证． 根据以上分析，可以得出基于薄板流固耦合振动 理论的 SI--FLAT 板形仪振幅--残余应力模型相对于 Siemens 公司提出的基于带张力梁振动理论的 SI-- FLAT 板形仪振幅--残余应力模型具有以下优势: 综合 考虑了薄板变形与板形仪周围空气的运动，克服了 · 006 ·
李秾等：S-FLAT板形仪检测原理的流固耦合振动分析 ·601 0.25 8ap。yk0-(-1)门 n入，乏元，+2sin22sin2C, 0.20 A3=P6m,A4= Ainsinh y ank cosh A (H+h/2) 0.15 ùP。 实测最大振辐 U R=-∑cosh Ah&e0 0.10 wp. hn入aT2 计算最大振幅 yt0-(-1)]. 0.05 chA.Hh分in2a2g+on"兴 21 则(70)和(71)两式可化为 0.2 0.4 0.60.81.01.21.4 1.6 宽度方向坐标m 「A0+AC=R1, (78) 图6最大振幅实测值与计算值的对比 A0+A,C=4R2 Fig.6 Comparison of measured and calculated maximum amplitudes 进而有 Siemens模型将板离散为梁带来的误差，物理模型与 0=u。(A1-A2AA)1(R1-A2AR2).（79) 实物更加接近：无需基础目标曲线修正，克服了Se- 因此，改变气泵进风口空气速度大小是一种直接有效 mens模型施加在梁上的均布集中载荷带来的误差，模 的振幅调节手段，且在微幅振动范围内会成比例地改 型中涉及的各物理意义明确：全面考虑了各种尺寸和 变振幅大小 材料与力学参数对振幅一残余应力关系的影响，便于 由(70)和(71)两式，可以得出检测距离H以双曲余 指导实际工业应用，尤其是考虑到传感器的检测范围 弦与双曲正弦形式影响带钢振幅大小，可在保持表1和 (0.15mm左右)，该模型可以定量地分析各参数对振 表2中其他参数不变而只改变H的情况下进行分析.图 幅大小的影响，而Siemens模型中由于不涉及到表1 7所示为最大振幅（遍历指标i寸）mxW(xy)]与H之 和表2中的许多参数（如气泵进风口空气速度、检测距 间的关系 离和激振频率等)，因而无法解决实际应用中由于生 2.0 产设备位置调整和生产产品种类改变所带来的检测准 1.8 确性问题. 3.2气泵进风口空气速度、检测距离和激振频率对振 幅的影响 为保证SI一FLAT板形仪涡流传感器检测的准确 性，需要使带钢具有0.15mm左右的振幅.在实际应 货064 用中，对带钢振幅的调节手段有三种：改变气泵进风 塔0.4 口空气速度“、检测距离H或激振频率0.由式(74) 0.2 可以看出，Siemens公司提出的振幅-残余应力模型无 9.01520253.0354045505560 检测距离/mm 法考虑这些因素对带钢振幅的影响。而第2节建立的 图7最大振幅（遍历指标、）与检测距离的关系 基于薄板流固耦合振动理论的振幅一-残余应力模型包 Fig.7 Relationship between maximum amplitude (through indexes 含了这些参数，下面利用该模型分别对这三种调节手 i,j)and detection distance 段进行分析 对(70)和(71)两式进行分析，容易发现其方程 可见改变检测距离大小也是一种有效的振幅调节 右端项均含有。因子，故线性方程的解0应成正比 手段，且影响是指数级的 于“。（微幅振动成立的前提条件下），这一点可以通 激振频率ω对带钢振幅的影响主要表现在其与 过将(70)和(71)两式写成矩阵形式而明显得出.设 带钢在无残余应力与张应力情况下固有频率0的接 n TTon 近程度.从式(70)等号右侧可以看出，若激振频率与 0=0mC=Cu A=)p.l 某一阶固有频率过于接近，则带钢振幅会显著增大而 A,=[sihH.osA月l 远超过0.15mm.表4所示为无残余应力与张应力情 wp.h(om-0)p.cosh A (H+h/2)' 况下部分阶数的固有频率wm(b、l、h、E、和p,如表1 R= Acosh Auh2 sinh Ah2 和表2所示，只有这些参数影响带钢固有频率).检 wp. (w-0)p.h 测中经常采用的l0rrad·s的激振圆频率(5Hz频
李 秾等: SI--FLAT 板形仪检测原理的流固耦合振动分析 图 6 最大振幅实测值与计算值的对比 Fig． 6 Comparison of measured and calculated maximum amplitudes Siemens 模型将板离散为梁带来的误差，物理模型与 实物更加接近; 无需基础目标曲线修正，克服了 Siemens 模型施加在梁上的均布集中载荷带来的误差，模 型中涉及的各物理意义明确; 全面考虑了各种尺寸和 材料与力学参数对振幅--残余应力关系的影响，便于 指导实际工业应用，尤其是考虑到传感器的检测范围 ( 0. 15 mm 左右) ，该模型可以定量地分析各参数对振 幅大小的影响，而 Siemens 模型中由于不涉及到表 1 和表2 中的许多参数( 如气泵进风口空气速度、检测距 离和激振频率等) ，因而无法解决实际应用中由于生 产设备位置调整和生产产品种类改变所带来的检测准 确性问题． 3. 2 气泵进风口空气速度、检测距离和激振频率对振 幅的影响 为保证 SI--FLAT 板形仪涡流传感器检测的准确 性，需要使带钢具有 0. 15 mm 左右的振幅． 在实际应 用中，对带钢振幅的调节手段有三种: 改变气泵进风 口空气速度 u0、检测距离 H 或激振频率 ω ． 由式( 74) 可以看出，Siemens 公司提出的振幅--残余应力模型无 法考虑这些因素对带钢振幅的影响． 而第 2 节建立的 基于薄板流固耦合振动理论的振幅--残余应力模型包 含了这些参数，下面利用该模型分别对这三种调节手 段进行分析． 对( 70) 和( 71) 两式进行分析，容易发现其方程 右端项均含有 u0 因子，故线性方程的解 θmn应成正比 于 u0 ( 微幅振动成立的前提条件下) ，这一点可以通 过将( 70) 和( 71) 两式写成矩阵形式而明显得出． 设 θ = θrn，C = Ckn，A1 = n2 π2 τmrn ( ω2 mn － ω2 ) ρsl 2， A2 [ = λkn sinh λknH ω2 ρa － cosh λknH h( ω2 mn － ω2 ) ρ ] s γmnk cosh λkn ( H + h/2) ， Ｒ1 = ∑ ∞ k = [ 1 λkn cosh λkn h /2 ω2 ρa + sinh λkn h /2 ( ω2 mn － ω2 ) ρs ] h · 8ωρa knλknπ2 γmnk［1 － ( － 1) k ］ cosh λkn ( H + h /2) sin nπ( 2L + a) 2l sin nπa 2l ， A3 = φmn δmr，A4 = λkn sinh λknH ω2 ρa γmnk cosh λkn ( H + h /2) ， Ｒ2 = － ∑ ∞ k = 1 λkn cosh λkn h /2 ω2 ρa 8ωρa knλknπ2 · γmnk［1 － ( － 1) k ］ cosh λkn ( H + h /2) sin nπ( 2L + a) 2l sin nπa 2l ． 则( 70) 和( 71) 两式可化为 A1θ + A2C = u0Ｒ1， A3θ + A4C = u0Ｒ2 { ． ( 78) 进而有 θ = u0 ( A1 － A2A － 1 4 A3 ) － 1 ( Ｒ1 － A2A － 1 4 Ｒ2 ) ． ( 79) 因此，改变气泵进风口空气速度大小是一种直接有效 的振幅调节手段，且在微幅振动范围内会成比例地改 变振幅大小． 由( 70) 和( 71) 两式，可以得出检测距离 H 以双曲余 弦与双曲正弦形式影响带钢振幅大小，可在保持表 1 和 表 2 中其他参数不变而只改变 H 的情况下进行分析． 图 7 所示为最大振幅( 遍历指标 i、j ) max i，j ［W( xi，yj ) ］与 H 之 间的关系． 图 7 最大振幅( 遍历指标 i、j) 与检测距离的关系 Fig． 7 Ｒelationship between maximum amplitude ( through indexes i，j) and detection distance 可见改变检测距离大小也是一种有效的振幅调节 手段，且影响是指数级的． 激振频率 ω 对带钢振幅的影响主要表现在其与 带钢在无残余应力与张应力情况下固有频率 ωmn的接 近程度． 从式( 70) 等号右侧可以看出，若激振频率与 某一阶固有频率过于接近，则带钢振幅会显著增大而 远超过 0. 15 mm． 表 4 所示为无残余应力与张应力情 况下部分阶数的固有频率 ωmn ( b、l、h、E、v 和 ρs如表 1 和表 2 所示，只有这些参数影响带钢固有频率) ． 检 测中经常采用的 10π rad·s － 1 的激振圆频率( 5 Hz 频 · 106 ·
·602 工程科学学报，第39卷，第4期 率)介于w2与01之间，几乎是二者的平均值，所以 lines.Rev Met Paris,2005,102(9):589 带钢振幅不会过大.根据本征值理论0，更高阶的固 Huang Q B.Research on SI-FLAT Flatness Measurement System 有频率随阶数指标m和n而单调增大 Technology of Cold Strip Rolling [Disseration].Beijing: University of Science and Technology Beijing,2013 表4部分山n值 (黄桥宝.SI-FLAT冷轧带钢板形检测技术研究[学位论文] Table 4 Partial values of (rad-s-1) 北京：北京科技大学，2013) [4 Yang G H,Zhang J,Cao J G,et al.Relationship between strip 1 2 amplitude and shape for shapometer based on airflow excitation and eddy current.Trans Beijing Inst Technol,2015,35(7):671 0 10.639 42.874 (杨光辉，张杰，曹建国，等.气流激振及涡流测幅式板形仪 13.725 46.180 带钢振幅与板形关系.北京理工大学学报，2015,35(7)： 2 23.110 56.981 671) 3 39.271 74.685 [5]Bao RR.Characteristic Analysis and Control of Complex Strip Flatness in Ultra-tcide Cold Strip Mill [Dissertation].Beijing: 63.144 99.504 University of Science and Technology Beijing,2015 95.100 131.81 (包仁人.超宽冷连轧机带钢复杂板形的特征分析与控制[学 6 135.22 171.93 位论文].北京：北京科技大学，2015) 6] Yang G H,Zhang J,Cao JG,et al.Setting of excitation frequen- 4 结论 cy of SI-FLAT shapometer.J Tianjin Unie Sci Technol,2014,47 (10):871 (1)联立带有惯性项和流体压强载荷的非协调 (杨光辉，张杰，曹建国，等.SI-FLAT板形仪激振频率设定 Fppl一von Karman方程组以及不可压缩流体方程组， 天津大学学报（自然科学与工程技术版），2014,47(10)： 871) 得到描述板形仪非稳定工作状态的偏微分方程组，根 7]Li N.Li H B,Zhang J,et al.Distributed dislocation-residual 据带钢残余应力的特点以及流体载荷关于时间变量的 stress model of cold rolled strips based on the complex variable 形式将各物理量的时间部分分离出来，结合边界条件 function method of plane elasticity.Chin J Eng,2016,38(3): 以及流固间的连接条件，形成描述板形仪非稳定工作 410 状态的常微分方程组边值问题，利用级数展开法将该 (李秾，李洪波，张杰，等.基于平面弹性复变方法的冷轧带 边值问题的求解转化为线性代数方程组的求解，最终 钢分布位错-残余应力模型.工程科学学报，2016,38(3)： 410) 建立了基于薄板流固耦合振动理论的S-FLAT板形 Cheng C M,Ma Z K.Vibration of cantilever beam placed against 仪振幅一残余应力数学模型. water with free surface.Acta Mech Sin,1959,3(2):111 (2)结合实测数据，利用Siemens公司提出的基 (郑哲敏，马宗魁.悬臂梁在一侧受有液体作用时的自由振 于梁振动理论的SI-LAT板形仪振幅一残余应力模型 动.力学学报，1959,3(2)：111) 及其未知机理的基础目标曲线，间接验证了本模型的 In K M,Choi D H,Kim M U.Two-dimensional viscous flow past 准确性，表明基于薄板流固耦合振动理论的SI-FLAT a flat plate.Fluid Dyn Res,1995,15 (1)13. [10]Hao Y J.Mechanical Analysis under Coupled Thin Elastic Plate 板形仪振幅一残余应力模型具有无需额外修正，物理 and Fluid Action [Dissertation].Qinhuangdao:Yanshan Uni- 意义明确的特点. versity,2009 (3)利用基于薄板流固耦合振动理论的振幅一残 (郝亚娟.弹性薄板与流体耦合作用的力学分析[学位论 余应力模型对三种带钢振幅调节手段进行了分析，克 文].秦皇岛：燕山大学，2009) 服了Siemens模型在这一点的不足，对SI-FLAT板形 [11]Hu S L,Lu C J,He Y S.Numerical analysis of fluid-structure interaction vibration for plate.Shanghai Jiaotong Unis,2013, 仪的实际应用与自主开发具有指导作用. 47(10):1487 (胡世良，鲁传敬，何友声.平板流固耦合振动的数值分析 参考文献 上海交通大学学报，2013,47(10)：1487) 12]Lu K,Zhang D,Xie Y H.Fluid-structure interaction for thin Yang G H,Zhang J,Cao JG,et al.Detecting principle and sys- plate with different flow parameters.Proc CSEE,2011,31 tem of contactless flatness measurement for strips.Metall Ind (26):76 Autom,2009(Suppl 1):665 (吕坤，张获，谢永慧.不同来流下薄平板流固耦合特性分 (杨光辉，张杰，曹建国，等.带钢非接触式平坦度检测原理 析.中国机电工程学报，2011,31(26)：76) 及其检测系统.治金自动化，2009（增刊1）：665) [13]Vaziri A,Hutchinson J W.Metal sandwich plates subject to Spreitzhofer G,Duemmler A,Riess M,et al.SI-FLAT contact- intense air shocks.Int J Solids Struct,2007,44(6):2021 less flatness measurement for cold rolling mills and processing [14]Gao YY,Tang G,Wan W.Natural frequencies calculation of a
工程科学学报，第 39 卷，第 4 期 率) 介于 ω21与 ω31 之间，几乎是二者的平均值，所以 带钢振幅不会过大． 根据本征值理论［20］，更高阶的固 有频率随阶数指标 m 和 n 而单调增大． 表 4 部分 ωmn值 Table 4 Partial values of ωmn ( rad·s － 1 ) m n 1 2 0 10. 639 42. 874 1 13. 725 46. 180 2 23. 110 56. 981 3 39. 271 74. 685 4 63. 144 99. 504 5 95. 100 131. 81 6 135. 22 171. 93 4 结论 ( 1) 联立带有惯性项和流体压强载荷的非协调 Fppl--von Kármán 方程组以及不可压缩流体方程组， 得到描述板形仪非稳定工作状态的偏微分方程组，根 据带钢残余应力的特点以及流体载荷关于时间变量的 形式将各物理量的时间部分分离出来，结合边界条件 以及流固间的连接条件，形成描述板形仪非稳定工作 状态的常微分方程组边值问题，利用级数展开法将该 边值问题的求解转化为线性代数方程组的求解，最终 建立了基于薄板流固耦合振动理论的 SI--FLAT 板形 仪振幅--残余应力数学模型． ( 2) 结合实测数据，利用 Siemens 公司提出的基 于梁振动理论的 SI--FLAT 板形仪振幅--残余应力模型 及其未知机理的基础目标曲线，间接验证了本模型的 准确性，表明基于薄板流固耦合振动理论的 SI--FLAT 板形仪振幅--残余应力模型具有无需额外修正，物理 意义明确的特点． ( 3) 利用基于薄板流固耦合振动理论的振幅--残 余应力模型对三种带钢振幅调节手段进行了分析，克 服了 Siemens 模型在这一点的不足，对 SI--FLAT 板形 仪的实际应用与自主开发具有指导作用． 参 考 文 献 ［1］ Yang G H，Zhang J，Cao J G，et al． Detecting principle and system of contactless flatness measurement for strips． Metall Ind Autom，2009( Suppl 1) : 665 ( 杨光辉，张杰，曹建国，等． 带钢非接触式平坦度检测原理 及其检测系统． 冶金自动化，2009( 增刊 1) : 665) ［2］ Spreitzhofer G，Duemmler A，Ｒiess M，et al． SI--FLAT contactless flatness measurement for cold rolling mills and processing lines． Ｒev Met Paris，2005，102( 9) : 589 ［3］ Huang Q B． Ｒesearch on SI--FLAT Flatness Measurement System Technology of Cold Strip Ｒolling ［Dissertation］． Beijing: University of Science and Technology Beijing，2013 ( 黄桥宝． SI--FLAT 冷轧带钢板形检测技术研究［学位论文］． 北京: 北京科技大学，2013) ［4］ Yang G H，Zhang J，Cao J G，et al． Ｒelationship between strip amplitude and shape for shapometer based on airflow excitation and eddy current． Trans Beijing Inst Technol，2015，35( 7) : 671 ( 杨光辉，张杰，曹建国，等． 气流激振及涡流测幅式板形仪 带钢振幅与板形关系． 北京理工大学学报，2015，35 ( 7) : 671) ［5］ Bao Ｒ Ｒ． Characteristic Analysis and Control of Complex Strip Flatness in Ultra-wide Cold Strip Mill ［Dissertation］． Beijing: University of Science and Technology Beijing，2015 ( 包仁人． 超宽冷连轧机带钢复杂板形的特征分析与控制［学 位论文］． 北京: 北京科技大学，2015) ［6］ Yang G H，Zhang J，Cao J G，et al． Setting of excitation frequency of SI--FLAT shapometer． J Tianjin Univ Sci Technol，2014，47 ( 10) : 871 ( 杨光辉，张杰，曹建国，等． SI--FLAT 板形仪激振频率设定． 天津大学学报( 自然科学与工程技术版) ，2014，47 ( 10 ) : 871) ［7］ Li N，Li H B，Zhang J，et al． Distributed dislocation--residual stress model of cold rolled strips based on the complex variable function method of plane elasticity． Chin J Eng，2016，38( 3) : 410 ( 李秾，李洪波，张杰，等． 基于平面弹性复变方法的冷轧带 钢分布位错--残余应力模型． 工程科学学报，2016，38( 3) : 410) ［8］ Cheng C M，Ma Z K． Vibration of cantilever beam placed against water with free surface． Acta Mech Sin，1959，3( 2) : 111 ( 郑哲敏，马宗魁． 悬臂梁在一侧受有液体作用时的自由振 动． 力学学报，1959，3( 2) : 111) ［9］ In K M，Choi D H，Kim M U． Two--dimensional viscous flow past a flat plate． Fluid Dyn Ｒes，1995，15( 1) : 13． ［10］ Hao Y J． Mechanical Analysis under Coupled Thin Elastic Plate and Fluid Action ［Dissertation］． Qinhuangdao: Yanshan University，2009 ( 郝亚娟． 弹性薄板与流体耦合作用的力学分析［学位 论 文］． 秦皇岛: 燕山大学，2009) ［11］ Hu S L，Lu C J，He Y S． Numerical analysis of fluid--structure interaction vibration for plate． J Shanghai Jiaotong Univ，2013， 47( 10) : 1487 ( 胡世良，鲁传敬，何友声． 平板流固耦合振动的数值分析． 上海交通大学学报，2013，47( 10) : 1487) ［12］ Lü K，Zhang D，Xie Y H． Fluid--structure interaction for thin plate with different flow parameters． Proc CSEE，2011，31 ( 26) : 76 ( 吕坤，张荻，谢永慧． 不同来流下薄平板流固耦合特性分 析． 中国机电工程学报，2011，31( 26) : 76) ［13］ Vaziri A，Hutchinson J W． Metal sandwich plates subject to intense air shocks． Int J Solids Struct，2007，44( 6) : 2021 ［14］ Gao Y Y，Tang G，Wan W． Natural frequencies calculation of a · 206 ·