连续时间系统的目标轨迹预见跟踪控制.pdf_大学文库

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.2013.03.019 第35卷第3期北京科技大学学报 Vol.35 No.3 2013年3月 Journal of University of Science and Technology Beijing Mar.2013 连续时间系统的目标轨迹预见跟踪控制廖福成网，许绍云，王迪北京科技人学数理学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:fcliao@ustb.edu.cn 摘要针对连续系统的有限时间目标轨迹预见跟踪控制问题，给出了基于轨迹协调误差和切换规则的预见跟踪控制方法.该方法首先将轨迹协调误差和位胃跟踪误差连同状态变量的微分组成新的系统状态变量，把跟踪问题转化为调节问题，设计了基于协调谈差的带有目标值预见的跟踪控制系统.然后针对复杂目标轨迹跨过不同坐标轴的情况，采用切换系统方法，实现了目标轨迹的全程预见跟踪控制.本文同时是子系统为时变系统的切换系统的典型范例，数值仿真说明了该方法的有效性关键词连续时间系统：预见控制：轨迹：跟踪：切换系统分类号TP273 Preview tracking control of project trajectories for continuous-time systems LIAO Fu-cheg☒，XU Shao-yun,WANG Di School of Mathematics and Physics,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:fcliao@ustb.edu.cn ABSTRACT A preview tracking control method based on tracking reconciliation error and switch rules was provided to deal with the preview tracking control problem of time-limited objective trajectories in continuous-time systems.This method consists of the following steps.First,the trace reconciliation error,the position tracking error,and the derivative of the state variable are combined into a new system state variable,which transforms the tracking problem into a regulator problem and builds a tracking control system with an objective value preview based on reconciliation error.Second,by means of switching systems,the problem of complicated objective trajectories crossing over different coordinate axes is solved.This leads to the global preview tracking control of objective trajectories.In addition,the paper is also a typical example whose subsystem is a time-varying switching system.Numerical simulation results demonstrate the effectiveness of the suggested method. KEY WORDS continuous time systems;preview control;trajectories;tracking;switching systems X-YL作台1-(X-Y table)又称为两坐标工置控制等方面有着广泛应用1-). 作台，是一种：维的平面位置控制系统.通常，X 对XY工作台进行推广，可以得到一般的平和Y轴方向的控制系统取为相问结构的伺服装置。面轨迹跟踪问题.在一般的控制系统设计中，已经平面上任一点的位置由系统输出向量决定，其坐标证明的事实是：应用预见控制理论6-乳，引入已知的分别由X和Y轴方向的伺服装置的输出决定.例目标信号的未来信息可以改善系统的跟踪性能.文如，文献[1-2给出的线性X-Y工作台是由相互垂献[10]把预见控制方法引入一般的平面轨迹跟踪问直的两个线性无刷电机驱动的装置，滑块可以在各题，也得到了较好的控制效果. 自轨道上由电机控制做平移运动，二者协调实现质前述文献关于XY工作台和一般的平面轨迹点的平面曲线运动.X-Y工作台在机床工作台的位跟踪问题的研究都是针对离散时间系统的，而且两收稿日期：2011-12-25 基金项目：日家白然科学基金资助项月(61174209)：内蒙古自治区科技创新引导奖励资金资助项目(2012)

第卷第期年月北京科技大学学报连续时间系统的目标轨迹预见跟踪控制廖福成网许绍云王迪北京科技人学数理学院北京困通信作者一摘要针对连续系统的有限时间目标轨迹顶见跟踪控制问题给出了基于轨迹协调误差和切换规则的预见跟踪控制方法该方法首先将轨迹协调误差和位置跟踪误差连同状态变量的微分组成新的系统状态变量把跟踪问题转化为调节问题设计了基于协调误差的带有目标值预见的跟踪控制系统然后针对复杂目标轨迹跨过不同坐标轴的情况采用切换系统方法实现了目标轨迹的全程预见跟踪控制本文同时是子系统为时变系统的切换系统的典型范例数值仿真说明了该方法的有效性关键词连续时间系统预见控制轨迹跟踪切换系统分类号一五从。凡一人夕困战一夕。几似万刀‘ 困￡就饰一作台 ‘一一又称为两坐标作台是一种几维的平面位置控制系统通常和轴方向的控制系统取为相同结构的伺服装置平面上任一点的位置由系统输出向量决定其坐标分别由和轴方向的伺服装置的输出决定例如文献【一给出的线性一一仁作台是由相互垂直的两个线性无刷电机驱动的装置滑块可以在各自轨道上由电机控制做平移运动二者协调实现质点的平面曲线运动一工作台在机床工作台的位置控制等方面有着广泛应用 ‘一对一工作台进行推广可以得到一般的平面轨迹跟踪问题在一般的控制系统设计中已经证明的事实是应用预见控制理论一引入已知的目标信号的未来信息可以改善系统的跟踪性能文献把预见控制方法引入一般的平面轨迹跟踪问题也得到了较好的控制效果前述文献关于一工作台和一般的平面轨迹跟踪问题的研究都是针对离散时间系统的而且两收稿日期一一基金项目国家白然科学基金资助项目内蒙古自治区科技创新引导奖励资金资助项目 DOI :10．13374／j．issn1001－053x．2013．03．019

,386 北京科技大学学报第35卷轴向的运动的关联效应没有讨论.本文研究连续时则式(1)可表示为间系统的一般的平面轨迹跟踪的预见控制问题，同时充分考虑两轴向运动的关联效应.文献[6-7]讨论 X(t)=AX(t)+Bu(t). (2) 连续时间系统，其方法对本文问题有一定启发，因 y=CX(t) 为考虑了关联效应，扩大误差系统不再是定常系统，这也就是整合系统的状态表达式.其中，所以文献[6-7]的方法并不能直接应用.木文通过两个轴向轨迹坐标的比值米描述关联效应，于是当目标轨迹与坐标轴相交时就有可能使得分母为零，这当然是不允许的.本文将利用切换系统的有关思想克服这一困难跟踪控制 1 轨迹跟踪问题的提出 2.1 基于协调误差的预见跟踪控制为了实现系统输出对日标信号的准确跟踪，首由跟踪问题的控制理论可知，X-Y工作台的先考虑跟踪误差E(t)=r(t)-y(t): X、Y轴方向的控制系统不必为相同结构的伺服装置.因此，考虑这样的X-Y工作台，其在直角坐标 ex(t r=(t)-yz(t) 系中各轴的运动方程为 E(t =r(t)-y(t) ey(t) ry(t)-vy(t) X(t)=A:X(t)+B:u:(t), (3) (1) v(t)=CiXi(t) 前面讲过，还应考虑日标轨迹的两个分之间的协调性.为此，定义平面轨迹的协调系数n(t)为：式中，X(t)∈Rni是状态向量，u(t)∈Rm是控制输入向量，(t)∈R是输出，A、B:和C:分别 n()= rv(t) (4) 是n:×n:、n:×m:和1×n:常数矩阵，i=x,. 对日标信号作如下假设. 这里假设rv(t)≠0.在给定日标信号r(t)时，n(t) 假设1日标值向量为r()= ra(t) 是已知函数.如果系统(2)的输出y(t)准确地等于 ru(t) 日标信号r,就有n(国==但，从而有：国- t≤t,to为初始时刻，t为终端时间)是已知的(r(t) w(t)' 的图形就是目标轨迹)，r()是连续可微的向量函数 n(t)y(t)=0.内为有跟踪误差，这一等式通常不会换句话说，目标值向量是全程可预见的成立.称差异e(t)=x(t)-n(t)u(t)为协调误差. 本文的目的是通过确定状态反馈u(t) 和利用恒等式rz(t)-n(t)ry(t)=0可知协调误差'与跟踪误差的分量有如下关系：山y(t),使得式(1)的闭环系统的输出 ya(t) 跟 (t)） e(t)=yz(t)-rz(t)+n(t)ry(t)-n(t)yu(t) rt(t) 踪日标信号r(t) (称用参数式方程表示 =-ez(t)+n(t)ey(t). (5) 的平面曲线 x=Tz(t) 控制的目的是：既希望把误差E(t)控制到最小，又为目标轨迹) y=Ty(t) 希望把协调误差e(t)控制到最小. 如果把问题看成两个单输入单输出控制问题基丁假设1，并采用预见控制理论⑧]的方法，分别给出控制输入，就无法达到目的.因为即使每即当日标值向吊己知时，首先导出一个扩大误差系个坐标都很好地实现了控制，但以其输出()和统，将跟踪问题转化为调节问题.内为协调误差中 ()为坐标描述的空间点的集合未必能与目标轨包括时变因子n(t),所以以往针对离散时间系统的迹一致，原因在于它们缺乏同步性或协调性.考虑取差分的方法不能在此使用. 到目标轨迹的横坐标与纵坐标之间的交互作用，需在式(3)和式（⑤）的两边求导得到要首先把系统(1)整合为一个整体.为此，取整合系统的状态变量、控制输入向量和输出向粱分别为 (t)=(t)-(t)=(t)-CX(t)= X-(t) u:(t) (t) iz(t)-CzXz(t) X(t)= u(t)= ,(t)= (6) Xu(t) u() yu(t) fy(t)-CyXy(t)

· · 北京科技大学学报第卷轴向的运动的关联效应没有讨论本文研究连续时间系统的一般的平面轨迹跟踪的预见控制问题同时充分考虑两轴向运动的关联效应文献一讨论连续时间系统其方法对本文问题有一定启发因为考虑了关联效应扩大误差系统不再是定常系统所以文献一的方法并不能直接应用木文通过两个轴向轨迹坐标的比值来描述关联效应于是当目标轨迹与坐标轴相交时就有可能使得分母为零这当然是不允许的本文将利用切换系统的有关思想克服这一困难则式可表示为云。亡军轨迹跟踪问题的提出由跟踪问题的控制理论可知一工作台的、轴方向的控制系统不必为相同结构的伺服装置因此考虑这样的一作台其在直角坐标系中各轴的运动方程为 ‘ ￡亡 ‘。艺么 ‘忿这也就是整合系统的状态表达式其中厂、 ·。、‘ ‘·、厂、几、跟踪控制基于协调误差的预见跟踪控制为了实现系统输出对目标信号的准确跟踪首先考虑跟踪误差一斌约。。、。‘ ·、‘艺‘ 、、二‘军 ‘石‘ 一一。刀夕· 不‘‘ 、二。、一。。、前面讲过还应考虑口标轨迹的两个分最之间的协调性为此定义平面轨迹的协调系数约为亡、从· 一夕一子‘ 一这里假设。兴在给定目标信号叫时是己知函数如果系统的输出斌准确地等几从一有岁二艺一刀廿一女一夕式中么仕任 ‘是状态向量、‘亡任饥‘是控制输入向量军乞任是输出、、和 ‘分别是、乞。‘和常数矩阵坛对目标信号作如下假设蕊‘段艺。设为 ‘ 初始目时标刻值向量为为终端时间一是戈已知的。亡 · 的图形就是目标轨迹叫约是连续可微的向量函数换句话说目标值向量是全程可预见的本文的目的是通过确定状态反馈。武约和。亡使得式的闭环系统的输出又 ““。·云‘ 、。、信、。、一厂·又 ‘ 亡、。称用参数式方程表示日标信号叹约就有约二因为有跟踪误差这一等式通常不会成立称差异。亡二、二一为协调误差利用恒等式二一、约可知协调误差跟踪误差的分量有如下关系亡夸二亡一二、一艺万。艺的平面曲线粼 “目“轨迹如果把问题看成两个单输入单输出控制问题分别给出控制输入就无法达到目的因为即使每个坐标都很好地实现了控制但以其输出夕二和万约为坐标描述的空间点的集合未必能与目标轨迹一致原因在于它们缺乏同步性或协调性考虑到目标轨迹的横坐标与纵坐标之间的交互作用需要首先把系统整合为一个整体为此取整合系统的状态变量、控制输入向量和输出向量分别为一二艺。 · 控制的目的是既希望把误差川控制到最小又希望把协调误差。动控制到最小基于假设并采用预见控制理论的方法即当日标值向量己知时首先导出一个扩大误差系统将跟踪问题转化为调节问题因为协调误差中包括时变因子川所以以往针对离散时间系统的取差分的方法不能在此使用在式和式的两边求导得到宕价一公广一戈一亡卜众亡卜 ·亡卜亥广二约一几二约广一

第3期廖福成等：连续时间系统的目标轨迹预见跟踪控制 387· e(t)=-e=(t)+n(t)ey(t)+n(t)ey(t)= 由扩大误差系统（⑨）是时变的，所以采用有限时间最优控制的思想来实现上节提出的控制日 -i:(t)+n(t)iv(t)+i(t)ev(t)+CzX-(t)-n(t)CvXy(t). 的11-12 (7) 对于系统(9)取二次型性能指标函数再在式(2)的状态方程两边求导，引入向量 e-(t) [zT(t)Qz(t)+i(t)Ru(t)]dt.(10) E(t) e(t) (t)= e(t) e() ∈R3+nx+ny 其中，文(t) X(因) ≥0 Qx 文y() Qe>0,QE是3×3矩阵，R>0. 把式(6)和式(7)连同式(2)的状态方程两边求导由文献[6)可知，通过在：次型性能指标中引所得结果，可以得到一个关于z的方程：入输入的导数(t),可以使控制器中包含积分项，从而有助丁消除闭环系统的静态误差 i(t)=A(t)2(t)+B(t)i(t)+G(t)r(t) (8) 下面的定理给出了系统（⑨）在性能指标函数其中， (10)下的最优控制输入. 定理1变系数系统（⑨）在性能评价函数(10) 0 0 0 -Cr 0 下的最优控制输入为 0 0 0 0 -Cy A(t)= 0 i(t)0 Cz -n(t)Cy i(t)=-R-BTP(t)z(t)-R-1BTg(t). (11) 0 0 0 Az 0 其中P(t)为n×n矩阵，满足Riccati微分方程及 000 0 Ay 边界条件： 0 0 1 0 -P(t)=AT(t)P(t)+P(t)A(t) 0 0 0 y -P(t)BR-IBTP(t)+Q, (12) B= 0 0 G(t)= -1n(t) P(t)=0. Br 0 0 0 0 g(t)为n维向量函数，满足微分方程和边界条件： By 0 0 注意，A(t)和G(t)是时变矩阵，B是常数矩阵. g(t)=Ac(t)g(t)-P(t)G(t)r(t), (13) 考虑到系统(2)的输出，可以取新的输出向 9(t）=0. 为位置误差和协调误差构成的向量，即E()= 式中，Ac(t)=P(t)BR1BT-AT(t) E(t) Cz(t),其中C=(I3x303x(m+ny). 证明：根据最小值原理，构造Hamilton函数， e(t) 最后得到扩大误差系统 H(x().u().r(.)-j-T(Qz(+juT(Ru(+ i(t)=A(t)z(t)+B(t)i(t)+G(t)(t), XT(t)[A(t)z(t)+Bu(t)+G(t)(t)],(14) (9) E(t)=Cz(t). 则系统（⑨）的最优控制u(t),相应的状态向量z(t) 和伴随向量入(t)满足正则方程于是，问题转变为：求系统(9)的一个控制输入 u(t),使得(9)的闭环系统的输出(t)= E(t) A0=9股 =0. (15) e(t) 约束条件即状态方程为跟踪信号(t) 0 三0.如果这一结果得以实 0 i(t)=A(t)z(t)+Bi(t)+G(t)r(t), (16) 现，则从u(t)可求得系统(2)的输入u(t),系统(2) 的闭环系统就可以跟踪日标信号π()，面且这种跟并且满足边界条件踪还保证了协调误差满足要求， z(to)=z0,A(t)=0. (17)

第期廖福成等连续时间系统的目标轨迹预见跟踪控制 · · 已一已二九 ‘、亡一护二广、艺亢、认二艺一、亡几再在式的状态方程两边求导引入向量矛、、户、、了、尹、万、尹了上孟不、︸万到气勺子卜夕、、飞‘、了、工任飞、由几扩大误差系统是时变的所以采用有限时间最优控制的思想来实现上节提出的控制口的 ‘一对一’系统取二次型性能指标函数「衍二、、二一宣。·‘·‘ “ ‘砚‘‘· ‘ 其中一啥歇、。百、了、、一一、了卜、夕、苦之把式和式连同式的状态方程两边求导所得结果可以得到一个关于二的方程云艺亡亡云亡价亡其中九一认一、一。它它是矩阵由文献可知通过在二次型性能指标中引入输入的导数州约可以使控制器中包含积分项从而有助于消除闭环系统的静态误差下面的定理给出了系统在性能指标函数下的最优控制输入定理变系数系统在性能评价函数下的最优控制输入为 ‘ 一丑一‘ 尸一一‘ 其中为矩阵满足微分方程及边界条件门︸日︵︶、布了才子乙一一一刀、‘了、、龟、尹、邝卜︸口、了、、亡一户“ 一‘‘ 月‘ 到‘ ‘ 一尸一‘ ‘一 · 为维向量函数满足微分方程和边界条件、、、矛皿凡、了注意通川和阁是时变矩阵力是常数矩阵考虑到系统的输出可以取新的输出向呈为位置误差和协调误差构成的向量即它侧戈石左一。亡其中。一。又。。。二二、最后得到扩大误差系统矛”“ 、一‘“ ‘ 一 “ “‘ ‘‘ 亡少式中通约约一‘ 证明根据最小值原理艺构造函数乏二亡艺公艺价艺艺一’是问题转变为求系统的一个控制输入、、二此、、、使得的闭环系统的输出‘一瑞跟踪信号侧、一、三如果这一结果得以实现则从 ‘艺口‘求得系统的输入。系统的闭环系统就可以跟踪目标信号叫句且这种跟踪还保证了协调误差满足要求名、。一一。·。、 ‘二、 ‘ 入亡二力仓亡广亡」则系统的最优控制叫相应的状态向量城和伴随向最约满足正则方程入艺口口口丘约束条件即状态方程为云亡二血艺艺广艺并且满足边界条件。二

.388 北京科技大学学报第35卷由以上方程可以得到：在上式中把to改写为t,把t改写为tf,得到从时刻t到t的解为 i(t)=A(t)z(t)+Bi(t)+G(t)r(t), (t)=-Qz(t)-AT(t)A(t), (18) (t)=(Φ21(t)Ψ11(t)+Φ22(t)Ψ21(t)z(to)+ i(t)=-R-1BTX(t), z(to)=0,入(t)=0. (Φ21(t)Ψ12(t)+Φ22(tr)Ψ22(t)入(t)+ 将式(18)消去a(t)得到 a()u()+a()a()G()F()is.(24) 根据初值条件入(t)=0符到 (t)=A(t)z(t)-BR-1BTX(t)+G(t)i(t), A(t)=-Qz(t)-AT(t)(t) 0=λ(t)=(Φ21(t)Ψ11(t)+Φ22(t)Ψ21(t)z(t)+ (19) 写成矩阵向量形式有 (Φ21(t)Ψ12(t)+重22(t)Ψ22(t)λ(t)+ () A(t)-BR-1BT z(t) G(t)r(t) 业1(+中a(s)》Cs)r () -Q -AT() 入(t) 0 因此有 (20) 由微分方程知识，设对应的齐次线性方程的基础解 λ(t)=(④21(t)Ψ12(t)+Φ22(t)Ψ22(t)-1× 矩阵为(t),式(20)的解为 (④21(tr)Ψ11(t)+更22(tr)Ψ21(t)》z(t)+ (Φ21(t)Ψ12(t)+Φ22(t)Ψ22(t)-1× 之(t t好 =(t)西-(to (to) (便21(tr)Ψ11(s)+重22(t)Ψ21(s)G(s)r(s)ds. (t) (to) (26) G(s)i(s) 由此看出，(t)与z(t)存在着线性关系 (t)Φ-1(s) (21) to 0 入(t)=P(t)z(t)+g(t). (27) 注意到，由于基础解矩阵()并不知道，所以要探索回避求基础解矩阵的办法.为此，对()和其中重-(s)适当分块得 P(t)=(Φ21(t)Ψ12(t)+Φ22(tr)Ψ22(t)-1× Φ11()Φ12(t) (便21(tr)Ψ11(t)+重2(t)Ψ21(t),(28) (t)= Φ21(t) Φ22(t)/ g(t)=(Φ21(t)Ψ12(t)+22(t)Ψ22(t)-1× Φ-1(s)= Ψ11(s)Ψ12(s) (④21(te)11(s)+Φ22(t)Ψ21(s)G(s)r(s)ds.(29) 业21(s)Ψ22(s）/ Jt 注意由积分的性质还知g(t)=0. 则式(21)可写为将式(27)代入式(18)的第三式即得到式(11) () Φ11(t)Φ12(t) Ψ11(to）乎12(to) 下面求P()和g()所满足的微分方程.将式 (11)代入式(9)得入(t) Φ21(t) 重22(t) 乎21(to）Ψ22(to) (t)=[A(t)-BR-BTP(t)]z(t)- z(to） 1(t) 12(t) G(s)r(s) ds A(to) 重21(t) 22(t) 0 BR-1BTg(t)+G(t)i(t). (30) 22) 由式(18)的第：式及式(27)得所以有 A(t)=-Qz(t)-A(t)A(t)= A()=(更21(t)Ψ11(to)+Φ22(t)Ψ21(to)z(to) -[Q+AT(t)P(t)]z(t)-AT(t)g(t). (31) +(④21(t)Ψ12(to)+Φ22(t)Ψ22(to)(to)+ 再对式(27)两边求导得 (使21(t)Ψ11(s)+Φ22(t)Ψ21(s)G(s)r(s)ds.(23) (32) )to A(t)=P(e)2(t)+P(t)z(t)+g(t)

· · 北京科技大学学报第卷由以上方程可以得到艺二公护在上式中把改写为云把改写为衍得到从日刻到的解为一二一一一通艺入艺亡入一必‘‘妈毋巩 ‘ ‘。。入艺毋妈毋艺巩入艺 ‘ · ‘ 、 ·· ‘ ·二‘ 入之名· 、了、将式消去训得到矛手仁入老艺艺一力一‘力入艺亡护一艺一艺入根据初值条件入得到入艺毋亡少亡毋叭艺艺卜写成矩阵向量形式有乏、涯、一几一刀亡、 ‘ 价、’ 二 ’‘ ’‘ ” ” 、从了、一一通八称戈由微分方程知识设对应的齐次线性方程的基础解矩阵为毋树式的解为毋叭必妈入 ‘ 。。 · ‘ 、 ·· ‘ ·二‘ 因此有入亡毋上冲厂通翻一肿一洲 · 丘·一·“犷“ “ 二少亡毋亡叭亡一‘ 亡少艺毋叭艺亡少艺必艺叭一‘ 毋艺叭毋典分由此看出州约约存在着线性关系入亡注意到由于基础解矩阵毋川并不知道所以要探索回避求基础解矩阵的办法为此对毋和毋一‘适当分块得其中尸毋 ‘妈必叭亡一’ ·一之忠之幼毋少云毋叭 ‘ 毋少毋。叭一‘ 叭热 ‘ 艺· ‘妈‘ ·· ‘ ·二、、户一口、了‘ 一、了甄毋则式可写为人于气石一霆少不甲霆、‘丫登、‘。登丫、‘。 · ︺曰、尹、、声翻 ·眯瑙霆、‘ 丫“‘ ·犷‘ · 所以有入亡毋艺叭。毋亡妈。亡。毋亡巩亡。毋巩亡。入亡。 ‘巩‘ ·亡饥‘ ·· ‘ ·二注意由积分的性质还知斌将式代入式的第二式即得到式川下面求川和斌所满足的微分方程将式代入式得乏通【一力丑一‘ ‘」二力几一’户矛艺由式的第二式及式得人一。一几。入一【诬 ‘ 」二‘一诬 ‘ ‘· 再对式两边求导得入乏户夕

第3期磨福成等：连续时间系统的目标轨迹预见跟踪控制 389· 将(t)的表达式即式(30)代入式(31)得式中， (t)=P(t)+P(t)A(t)-P(t)BR-BTP(t)z(t)- K(t)=R-1BTP(t)=(Kz(t)Ky(t)Ke(t)Kz(t)) P(t)BR-BTg(t)+P(t)G(t)r(t)+g(t). (33) P(t)和g(t)分别由式(12)和式(13)确定. 由式(31)~(33)得到证明：由定理1已得到 -Q+AT(t)P(t)]z(t)-AT(t)g(t)= i(t)=-Kz(t)ez(t)-Ky(t)ey(t)-Ke(t)e(t)- P(t)+P(t)A(t)-P(t)BR-BTP(t)=(t)- Kz(t)x(t)-R-BTg(t), P(t)BR-BTg(t)+P(t)G(t)r(t)+g(t).(34) 对上式在to,上积分即得到式(39).定理2得证此式为关于()的恒等式，所以应该有由定理2的最优控制输入可以看出，最优控 -P(t)=AT(t)P(t)+P(t)A(t)- 制器由四部分组成：第一部分一 K(s)ez(s)ds- P(t)BR-BTP(t)+Q, (35) Ky(s)ev(s)ds是系统位置跟踪误差的积分；第 to g(t)=Ac(t)g(t)-P(t)G(t)r(t). (36) 二部分 Ke(s)e(s)ds是协调误差的积分：第 Jto 上两式即为P(t)和g(t)所满足的微分方程.要唯三部分一地解出P(t)和gt),还需要一个条件.由于已知 Rz(s)文(s)ds是状态反馈：第四部分 Jto g(t)=0,今再推导一个关于P(t)的条件. -R-IBT 从Φ(t)Φ-1(tr)=I即 g(s)ds是日标值预见补偿.事实上，由 Jto g(t)的表达式(29)可以看出，g(t)可以通过从当更11(t）Φ12(tf) 乎11(t) 乎2(t) 前时刻t到终止时刻t:某个函数的积分得到，被 Φ21(t)Φ22(t) Ψ21(t）22(t) 积函数中包含了日标值信号的信息，因此第四部分得到 -R-1BT g(s)ds也包含了目标值信号的信息. Φ11(t)Ψ11(tf)+Φ12(t)Ψ21(t)=I, 2.2 基于切换规则的轨迹跟踪控制 Φ11(tf)Ψ12(t）+Φ12(t)Ψ22(tf)=0, 上节的结果只在目标值信号满足T,()卡0时 (37) Φ21(te)Ψ11(t）+Φ22(t)Ψ21(t)=0, 成立.对于复杂的平面日标值信号，如果T()= Φ21(tr)Ψ12(tr）+Φ22(tr)Ψ22(tf)=I. 0,r.(d)≠0，可以取协调系数为m)=得，然后所以有与上节采用完全相同的方法导出扩大误差系统，给 P(tr）=(21(tr)Ψ12(t)+Φ22(t)Ψ22(tr)》-1× 出最优控制输入. 如果目标值信号的图像跨过X轴和Y轴， (Φ2i(tr)Ψ11(t）+Φ22(tr)Ψ21(tf)=0. (38) 就可以采用切换系统的做法，在目标值信号满足至此，定理1证毕. ,因≠0的部分取n因=？=但为协调系数，而 rv(t) 由定理1立即得到定理2 定理2设t≤to时u(t)=0,则系统(1)的最在目标值信号满足r,)≠0的部分取m心=”但 rx(t) 优控制输入为为协调系数.在实际问题中，可以选取适当的切换规则使得各种情况下分母绝对值都不要太小.若随 w)--K-()e.(od- Ky(s)ey(s)ds- 着时间t的增长，系统状态从A区进入B区，就把系统在A区的终值(x(t),()作为B区的初值. Ke(s)e(s)ds-K=(s)X(s)ds- 3数值仿真 R-1BT g(s)ds 以结构互不相同的直线电机以及其驱动回路 (39) 组成的系统为例.设X轴方向的直线电机为文献

第期廖福成等连续时间系统的目标轨迹预见跟踪控制 · · 将乏的表达式即式代入式得 “‘一【‘ 亡‘‘一‘” 一‘” ‘ ‘ 尸亡亏丑一’亏尸亡‘ 广夕由式、得到一〔通〕‘一涯 ‘。‘ ”‘ ‘‘一 ‘” 一’” ‘二‘ 启几一‘力 ‘ 价夕此式为关于袱的恒等式所以应该有一户涯尸通一尸力丑一‘力尸。夕艺亡一户上两式即为和所满足的微分方程要唯一地解出和绒还需要一个条件由于已知斌今再推导一个关于尸的条件从毋毋一‘ 即式中瓦一’力。凡兀凡凡亡和分别由式和式确定证明由定理己得到公一凡二一兀亡一凡艺一凡戈一几一’ 艺对上式在。上积分即得到式定理得证由定理的最优控制输入可以看出最优控制”由四部分组成第一部分一丘、 · 丘、 ··是系统位置跟“误”的积” 第二部分三部分一一力凡。是协调误差的积分第凡是状态反馈第四部分扮坛产扬︺斌、是日标值预见补偿事实上由厂 “ 。、一、中少叭艺典亡叭巩、、户、了、得到绒的表达式可以看出绒可以通过从当前时刻亡到终止时刻衍某个函数的积分得到被积函数中包含了目标值信号的信息因此第四部分叭毋巩一“一”·丘。 ··“包“了目标值信号的信息· 叭亡必热叭毋叭巩亡必巩基于切换规则的轨迹跟踪控制上节的结果只在目标值信号满足成立对于复杂的平面目标值信号二并可以取协调系数为。约。笋时如果必毋曰三二︸ ‘、了‘矛衍、了、所以有一粤工 ‘ 然后尸艺毋巩毋艺热一‘ 必艺叭亡毋甄至此定理证毕由定理立即得到定理定理设蕊。时。则系统的最优控制输入为与上节采用完全相同的方法导出扩大误差系统给出最优控制输入如果目标值信号的图像跨过轴和轴就可以采用切换系统的做法在目标值信号满足二、、价二、 ‘ 协并的部分取” 一湍为协调系数而在目标值信号满足二约兴。的部分取。 ”一丘、 ·二·一丘。 ·二·一为协调系数在实际问题中可以选取适当的切换规则使得各种情况下分母绝对值都不要太小若随着时间亡的增长系统状态从区进入区就把尤、 ···一丘凡· ‘ ·一一”·丘。 ·二系统在区的终值叭约作为区的初值数值仿真以结构互不相同的直线电机以及其驱动回路组成的系统为例设轴方向的直线电机为文献

· · 北京科技大学学报第卷【中给出的系统相关的系统参数矩阵为取权重矩阵和为一鳍、︸ ‘了、、一一 ‘、了、一目标轨迹四次跨过坐标轴为了保证使协调系数分母不为零并使分母绝对值不要太小将跟踪时间。。川等分为四段即一 ’要、乃“ 以隆’二、二“一队’纷二一’一津【 ’引」在一和二时段取协调系数为、口飞产、才、一而轴方向的直线电机如文献所示相关的系统参数矩阵为二亡卜几一 ’ 了乙气乙了几下下又、气乙十万二、了、不 ‘ 任孟、一 ‘、了、、︼一李设。标轨迹为平面直角坐标系中的椭圆零甘几和几时段取协调系数为犷或写为兀、艺万】衣一曰一公夕一一子卜一一。一由于目标轨迹是全程可预见的所以采用前面得到的预见跟踪方法经过计算得到最优控制输入为、一‘ 、 ··二吕一‘ 、。 · 。 ·于‘ 、。 ···一‘ 、 · 、 ·一二一。 ·厂。 ·· 任 …万··二··凡·二··凡··一凡‘ · “·一凡·· ‘ ·一亡任乃一兀‘ 、 ··二· 兀‘ 、 ·· 。 · 兀‘ 、。 ···一兀‘ 、 · 、 ·一二一。 ·厂兀。 ·· 亡〔马任几助一内一 ’一 · 一一故一户” 万一欲凡卜 ‘ 一渐其中一‘ ··二·· 艺毛动其图像如图所示一。二艺亡。亡任一、艺。二任－目标轨迹一代约－跟踪输出小一 ‘、户离散化时取步长为得到的闭环系统响应即闭环系统的跟踪控制结果如图输出分最。。二‘、一对山二、一。。、粤、。、。对、从 ‘ 图警中可的以跟看踪出结跟果踪见输图出·目标轨迹只在开始的很短时间内有一定的跟踪偏差在随后的大段时间内系统的跟踪输出与目标值逐渐达到了一致没有静态误差为了了解误差的详细情况计算二二一头和一夕一一之、日一图系统跟踪目标轨迹曲线

第3期廖福成等：连续时间系统的目标轨迹预见跟踪控制 ,391· A 一目标值分量.(0 3 (a) (b) 二目标值分量r,) 一一跟踪输出y() 一一跟踪输出) 2 1 0 可0 -1 -1 -2 -3 -2 3 23456 23456 t/s t/s 图2跟踪结果.(a=(因对r:)=3cos(e+:回)w因对r,因=2sin(t+) Fig.Tracking results:(a)v(responses forr(3c)(b)()rcaponaes for(=2in( 0.08 (a) (b) 0.05 0.06 0 -0.05 0.04 -0.1 0.02 -0.15 0 -0.2 -0.25 -0.02 -0.04 2 3 45 6 0 5 t/s t/s 图3误差曲线.(a)ez():(b)ey(t) Fig.3 Error curves:(a)ez(t);(b)ey(t) 可以看出，与椭圆的半轴相比，这个误差非常参考文献小.特别，1ez(t川的最大值为0.21370494671511， |e,(t)的最大值为0.05323388230209.从图还可以看 [1]Egami T,Toyoda O,Tsuchiya T.Cooperative path con- 出，在系统切换点误差较大.这一点与实际问题正 trol and its application to linear X-Y table.Trans Inst 好一致. Electr Eng Jpn D,1993,113(12):1395 (江上正，费田修，上谷武土.協調缝路制御七子”刂÷ '与文献[2)比较发现，本文方法绝对误差和相 TX一Y子一ブ北人)店用.電红学会論文誌D,1993 对误差都要小得多，这是因为本文考虑了协调误差 113(12:1395) 文献[3-5,10]均未对圆或椭圆进行仿真，这也说明 2 Egami T,Tsuchiya T.Disturbance suppression control 以往方法的局限性 with preview action of linear DC brushless motor.IEEE Trans Ind Electron,1995,42(5):494 4结论 (3]Lu C H,Hwang Y R,Shen Y T.Backstepping sliding mode tracking control of a vane-type air motor X-Y table 本文研究了连续时间系统对于平面复杂目标 motion system.ISA Trans,2011,50(2):278 轨迹的预见跟踪控制问题.在假设目标值信号是分 [4]Yan Q L,Zhang H W.Modeling and three loop conformity 段连续可微函数且全程可预见的条件下，通过引入 of CNC servo system for X-Y table.Mach Des Manuf, 协调误差，使得控制结果更精确.由于扩大误差系 2008(2):144 统是时变的，所以采用有限时间最优控制的思想. (阁勤劳，张海伟。X-Y数控工作台同服系统的整定与建为了克服分母为零时方法失效的困难，采用了切换模.机械设计与制造，2008(2)：144) 系统的思想，事实上，本文也是时变切换系统的一 [5]Tseng Y T,Liu J H.High-speed and precise positioning 个具体实例，通过数值仿真可以看出，系统跟踪精 of an X-Y table.Control Eng Pract,2003,11(4):357 度高，其有很好的静态稳定性. [6]Katayama T,Hirono T.Design of an optimal servomech-

第期廖福成等连续时间系统的目标轨迹预见跟踪控制 · · 目标值分量以一一跟踪输出一目标值分量以一跟踪输出巧勺山八」一已知 ‘ 月一﹄九。日﹄图跟踪结果·。·‘对 ‘一 ‘誓 ‘对二‘卜 ·‘‘登、、。、。兀、、、八。』兀、土 ‘ ‘毛梦气石工、‘ “ “ 、石十万、。”、‘ 万 ‘吕吕‘ ‘“、‘ ‘““‘戈‘十万丽卜︵曰山﹃两一亡一一一一忍、二一一一上曰伙月民卜﹄八图误差曲线。二亡二艺亡可以看出与椭圆的半轴相比这个误差非常小特别二的最大值为。艺的最大值为 ‘ 从图还可以看出在系统切换点误差较大这一点与实际问题正好一致参考文献与文献」比较发现本文方法绝对误差和相对误差都要小得多这是因为本文考虑了协调误差文献【一」均未对圆或椭圆进行仿真这也说明以往方法的局限性结论本文研究了连续时间系统对于平面复杂目标轨迹的预见跟踪控制问题在假设目标值信号是分段连续可微函数且全程可预见的条件下通过引入协调误差使得控制结果更精确由于扩大误差系统是时变的所以采用有限时间最优控制的思想为了克服分母为零时方法失效的困难采用了切换系统的思想事实上本文也是时变切换系统的一个具体实例通过数值仿真可以看出系统跟踪精度高具有很好的静态稳定性【肠一飞刀几介王占亡呵扣几江上正登田修土谷武士临稠缝路制御己子。二了一于一了沙。启用雷氦学会榆文袜】了刀石召恤玩艺二【』一 ·了八乃刀。』一。诚阎勤劳张海伟一数控工作台伺服系统的整定与建模机械设计与制造」卜一 · 。亡。瓜夕尸阳亡