D0I:10.13374/i.issn1001-053x.2013.03.019 第35卷第3期 北京科技大学学报 Vol.35 No.3 2013年3月 Journal of University of Science and Technology Beijing Mar.2013 连续时间系统的目标轨迹预见跟踪控制 廖福成网，许绍云，王迪 北京科技人学数理学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:fcliao@ustb.edu.cn 摘要针对连续系统的有限时间目标轨迹预见跟踪控制问题，给出了基于轨迹协调误差和切换规则的预见跟踪控制 方法.该方法首先将轨迹协调误差和位胃跟踪误差连同状态变量的微分组成新的系统状态变量，把跟踪问题转化为调节 问题，设计了基于协调谈差的带有目标值预见的跟踪控制系统.然后针对复杂目标轨迹跨过不同坐标轴的情况，采用切 换系统方法，实现了目标轨迹的全程预见跟踪控制.本文同时是子系统为时变系统的切换系统的典型范例，数值仿真说 明了该方法的有效性 关键词连续时间系统：预见控制：轨迹：跟踪：切换系统 分类号TP273 Preview tracking control of project trajectories for continuous-time systems LIAO Fu-cheg☒，XU Shao-yun,WANG Di School of Mathematics and Physics,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:fcliao@ustb.edu.cn ABSTRACT A preview tracking control method based on tracking reconciliation error and switch rules was provided to deal with the preview tracking control problem of time-limited objective trajectories in continuous-time systems.This method consists of the following steps.First,the trace reconciliation error,the position tracking error,and the derivative of the state variable are combined into a new system state variable,which transforms the tracking problem into a regulator problem and builds a tracking control system with an objective value preview based on reconciliation error.Second,by means of switching systems,the problem of complicated objective trajectories crossing over different coordinate axes is solved.This leads to the global preview tracking control of objective trajectories.In addition,the paper is also a typical example whose subsystem is a time-varying switching system.Numerical simulation results demonstrate the effectiveness of the suggested method. KEY WORDS continuous time systems;preview control;trajectories;tracking;switching systems X-YL作台1-(X-Y table)又称为两坐标工 置控制等方面有着广泛应用1-). 作台，是一种：维的平面位置控制系统.通常，X 对XY工作台进行推广，可以得到一般的平 和Y轴方向的控制系统取为相问结构的伺服装置。面轨迹跟踪问题.在一般的控制系统设计中，已经 平面上任一点的位置由系统输出向量决定，其坐标 证明的事实是：应用预见控制理论6-乳，引入已知的 分别由X和Y轴方向的伺服装置的输出决定.例 目标信号的未来信息可以改善系统的跟踪性能.文 如，文献[1-2给出的线性X-Y工作台是由相互垂献[10]把预见控制方法引入一般的平面轨迹跟踪问 直的两个线性无刷电机驱动的装置，滑块可以在各 题，也得到了较好的控制效果. 自轨道上由电机控制做平移运动，二者协调实现质 前述文献关于XY工作台和一般的平面轨迹 点的平面曲线运动.X-Y工作台在机床工作台的位 跟踪问题的研究都是针对离散时间系统的，而且两 收稿日期：2011-12-25 基金项目：日家白然科学基金资助项月(61174209)：内蒙古自治区科技创新引导奖励资金资助项目(2012)
第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 连续 时间系统 的 目标轨迹预见跟踪控制 廖福成网许绍云王 迪 北京科技 人学数理学院北京 困 通信作者 一 摘 要 针对连续系统的有限时间 目标轨迹顶见跟踪控制问题 给 出 了基于轨迹协调误差和切换规则的预见跟踪控制 方法 该方法首先将轨迹 协调误差和位置跟踪误差连 同状态变量的微分组成新的系统状态变量把跟踪问题转化为调节 问题设计 了基于协调误差的带有 目标值预见的跟踪控制系统 然后针对复杂 目标轨迹跨过不同坐标轴的情况采用切 换系统方法实现 了目标轨迹的全程预见跟踪控制 本文同时是子系统为时变系统 的切换 系统的典型范例 数值仿真说 明 了该方法 的有效性 关键词 连续 时间系统 预见控制 轨迹 跟踪 切换系统 分类号 一 五从 。 凡 一人 夕困 战 一夕。几似 万 刀‘ 困 ￡ 就 饰 一 作台 ‘一 一 又称为两坐标 作 台 是一种 几维 的平面位置控制系统 通常 和 轴方 向的控制系统取为相 同结构的伺服装置 平面上任 一点的位置 由系统输 出向量 决定 其坐标 分别 由 和 轴方 向的伺服装 置 的输 出决定 例 如文献 【一 给出的线性 一 一仁作台是由相互垂 直的两个线性无刷 电机驱动 的装 置 滑块可 以在各 自轨道上 由电机控制做平移运动 二者协调实现质 点的平面 曲线运动 一 工作 台在机床 工作 台的位 置控制等方面有着广泛应用 ‘一 对 一 工作 台进 行推广 可 以得 到一般 的平 面轨迹 跟踪 问题 在一般 的控制 系统设计 中 已经 证 明的事实是 应用预见控制理论 一 引入 已知的 目标信号的未来信息可 以改善系统的跟踪性能 文 献 把预见控制方法引入一般的平面轨迹跟踪问 题 也得到 了较好 的控制效果 前述文献关于 一 工作 台和一般 的平面轨迹 跟踪 问题 的研究都是针对离散时间系统的而且两 收稿 日期 一 一 基金项 目 国家白然科学基金资助项 目 内蒙古 自治区科技创新引导奖励资金资助项 目 DOI :10．13374／j．issn1001－053x．2013．03．019
,386 北京科技大学学报 第35卷 轴向的运动的关联效应没有讨论.本文研究连续时 则式(1)可表示为 间系统的一般的平面轨迹跟踪的预见控制问题，同 时充分考虑两轴向运动的关联效应.文献[6-7]讨论 X(t)=AX(t)+Bu(t). (2) 连续时间系统，其方法对本文问题有一定启发，因 y=CX(t) 为考虑了关联效应，扩大误差系统不再是定常系统， 这也就是整合系统的状态表达式.其中， 所以文献[6-7]的方法并不能直接应用.木文通过两 个轴向轨迹坐标的比值米描述关联效应，于是当目 标轨迹与坐标轴相交时就有可能使得分母为零，这 当然是不允许的.本文将利用切换系统的有关思想 克服这一困难 跟踪控制 1 轨迹跟踪问题的提出 2.1 基于协调误差的预见跟踪控制 为了实现系统输出对日标信号的准确跟踪，首 由跟踪问题的控制理论可知，X-Y工作台的 先考虑跟踪误差E(t)=r(t)-y(t): X、Y轴方向的控制系统不必为相同结构的伺服装 置.因此，考虑这样的X-Y工作台，其在直角坐标 ex(t r=(t)-yz(t) 系中各轴的运动方程为 E(t =r(t)-y(t) ey(t) ry(t)-vy(t) X(t)=A:X(t)+B:u:(t), (3) (1) v(t)=CiXi(t) 前面讲过，还应考虑日标轨迹的两个分之间的协 调性.为此，定义平面轨迹的协调系数n(t)为： 式中，X(t)∈Rni是状态向量，u(t)∈Rm是控 制输入向量，(t)∈R是输出，A、B:和C:分别 n()= rv(t) (4) 是n:×n:、n:×m:和1×n:常数矩阵，i=x,. 对日标信号作如下假设. 这里假设rv(t)≠0.在给定日标信号r(t)时，n(t) 假设1日标值向量为r()= ra(t) 是已知函数.如果系统(2)的输出y(t)准确地等于 ru(t) 日标信号r,就有n(国==但，从而有：国- t≤t,to为初始时刻，t为终端时间)是已知的(r(t) w(t)' 的图形就是目标轨迹)，r()是连续可微的向量函数 n(t)y(t)=0.内为有跟踪误差，这一等式通常不会 换句话说，目标值向量是全程可预见的 成立.称差异e(t)=x(t)-n(t)u(t)为协调误差. 本文的目的是通过确定状态反馈u(t) 和 利用恒等式rz(t)-n(t)ry(t)=0可知协调误差'与跟 踪误差的分量有如下关系： 山y(t),使得式(1)的闭环系统的输出 ya(t) 跟 (t)） e(t)=yz(t)-rz(t)+n(t)ry(t)-n(t)yu(t) rt(t) 踪日标信号r(t) (称用参数式方程表示 =-ez(t)+n(t)ey(t). (5) 的平面曲线 x=Tz(t) 控制的目的是：既希望把误差E(t)控制到最小，又 为目标轨迹) y=Ty(t) 希望把协调误差e(t)控制到最小. 如果把问题看成两个单输入单输出控制问题 基丁假设1，并采用预见控制理论⑧]的方法， 分别给出控制输入，就无法达到目的.因为即使每 即当日标值向吊己知时，首先导出一个扩大误差系 个坐标都很好地实现了控制，但以其输出()和 统，将跟踪问题转化为调节问题.内为协调误差中 ()为坐标描述的空间点的集合未必能与目标轨 包括时变因子n(t),所以以往针对离散时间系统的 迹一致，原因在于它们缺乏同步性或协调性.考虑 取差分的方法不能在此使用. 到目标轨迹的横坐标与纵坐标之间的交互作用，需 在式(3)和式（⑤）的两边求导得到 要首先把系统(1)整合为一个整体.为此，取整合系 统的状态变量、控制输入向量和输出向粱分别为 (t)=(t)-(t)=(t)-CX(t)= X-(t) u:(t) (t) iz(t)-CzXz(t) X(t)= u(t)= ,(t)= (6) Xu(t) u() yu(t) fy(t)-CyXy(t)
· · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 卷 轴 向的运动的关联效应没有讨论 本文研究连续时 间系统的一般的平面轨迹跟踪的预见控制 问题 同 时充分考虑两轴向运动的关联效应 文献 一 讨论 连续 时间系统 其方法对本文 问题有一定启发 因 为考虑 了关联效应扩大误差系统不再是定常系统 所以文献 一 的方法并不能直接应用 木文通过两 个轴 向轨迹坐标的比值来描述关联效应 于是当 目 标轨迹 与坐标轴相交时就有可能使得分母为零这 当然是不允许 的 本文将利用切换系统 的有关思想 克服这一困难 则式 可表示为 云 。亡 军 轨迹跟踪 问题 的提 出 由跟踪 问题 的控 制理论 可知 一 工作 台的 、 轴方 向的控制系统不必为相 同结构的伺服装 置 因此 考虑这样的 一 作 台其在直角坐标 系中各轴的运动方程为 ‘ ￡亡 ‘。艺 么 ‘忿 这也就是整合系统的状态表达式 其 中 厂、 ·。、‘ ‘·、 厂、 几、 跟踪控制 基于协调误差的预见跟踪控制 为了实现系统输 出对 目标信号的准确跟踪 首 先考虑跟踪误差 一斌约 。。、 。‘ ·、‘艺‘ 、 、 二‘军 ‘石‘ 一一 。刀夕· 不‘‘ 、 二。、一。。、 前面讲过 还应考虑 口标轨迹 的两个分 最之间的协 调性 为此定义平面轨迹的协调系数 约为 亡、从· 一夕 一 子‘ 一 这里假设 。 兴 在给定 目标信号 叫 时 是己知函数 如果系统 的输出 斌 准确地等 几 从一有 岁二艺一 刀廿一女一夕 式中 么仕 任 ‘是状态向量、‘亡任 饥‘是控 制输入向量军乞 任 是输出 、、 和 ‘分别 是 、 乞 。‘和 常数矩阵坛 对 目标信号作如下假设 蕊‘段艺。设为 ‘ 初始目时标刻值向量为为终端时 间一是戈已知的 。亡 · 的图形就是 目标轨迹 叫约是连续可微的向量函数 换句话说 目标值 向量是全程 可预见的 本 文 的 目的是通 过确定状 态反馈 。武约 和 。亡使得式 的闭环系统的输出又 ““。·云‘ 、。、信、。、一厂·又 ‘ 亡 、。称用参数式方程表示 日标信号 叹约就有 约二 因为有跟踪误差这一等式通常不会 成立 称差异 。亡 二、二 一 为协调误差 利用恒等式 二 一 、约 可知协调误差 跟 踪误差的分量有如下关系 亡 夸二亡一 二 、 一 艺万。艺 的平面曲线粼 “目“轨迹 如果把 问题看 成 两个单输 入单输 出控制 问题 分别给 出控制输入 就无法达到 目的 因为即使每 个坐标都很好地实现 了控制但 以其输出 夕二 和 万约 为坐标描述 的空 间点的集合未必能与 目标轨 迹一致 原因在 于它们缺乏 同步性或协调性 考虑 到 目标轨迹 的横坐标与纵坐标之间的交互作用需 要首先把系统 整合为一个整体 为此取整合系 统的状态变量 、控制输入 向量和输 出向量分别为 一 二艺 。 · 控制的 目的是 既希望把误差 川 控制到最小又 希望把协调误差 。动控制到最小 基于假 设 并采用预见控制理 论 的方法 即当 日标值 向量 己知时首先导出一个扩大误差系 统 将跟踪 问题转化 为调节 问题 因 为协调误差 中 包括时变 因子 川 所 以以往针对离散时间系统的 取差分 的方法不能在此使用 在式 和式 的两边求导得到 宕 价一公 广 一 戈 一 亡卜众 亡卜 ·亡卜亥 广二约一几 二约 广 一
第3期 廖福成等：连续时间系统的目标轨迹预见跟踪控制 387· e(t)=-e=(t)+n(t)ey(t)+n(t)ey(t)= 由扩大误差系统（⑨）是时变的，所以采用 有限时间最优控制的思想来实现上节提出的控制日 -i:(t)+n(t)iv(t)+i(t)ev(t)+CzX-(t)-n(t)CvXy(t). 的11-12 (7) 对于系统(9)取二次型性能指标函数 再在式(2)的状态方程两边求导，引入向量 e-(t) [zT(t)Qz(t)+i(t)Ru(t)]dt.(10) E(t) e(t) (t)= e(t) e() ∈R3+nx+ny 其中， 文(t) X(因) ≥0 Qx 文y() Qe>0,QE是3×3矩阵，R>0. 把式(6)和式(7)连同式(2)的状态方程两边求导 由文献[6)可知，通过在：次型性能指标中引 所得结果，可以得到一个关于z的方程： 入输入的导数(t),可以使控制器中包含积分项， 从而有助丁消除闭环系统的静态误差 i(t)=A(t)2(t)+B(t)i(t)+G(t)r(t) (8) 下面的定理给出了系统（⑨）在性能指标函数 其中， (10)下的最优控制输入. 定理1变系数系统（⑨）在性能评价函数(10) 0 0 0 -Cr 0 下的最优控制输入为 0 0 0 0 -Cy A(t)= 0 i(t)0 Cz -n(t)Cy i(t)=-R-BTP(t)z(t)-R-1BTg(t). (11) 0 0 0 Az 0 其中P(t)为n×n矩阵，满足Riccati微分方程及 000 0 Ay 边界条件： 0 0 1 0 -P(t)=AT(t)P(t)+P(t)A(t) 0 0 0 y -P(t)BR-IBTP(t)+Q, (12) B= 0 0 G(t)= -1n(t) P(t)=0. Br 0 0 0 0 g(t)为n维向量函数，满足微分方程和边界条件： By 0 0 注意，A(t)和G(t)是时变矩阵，B是常数矩阵. g(t)=Ac(t)g(t)-P(t)G(t)r(t), (13) 考虑到系统(2)的输出，可以取新的输出向 9(t）=0. 为位置误差和协调误差构成的向量，即E()= 式中，Ac(t)=P(t)BR1BT-AT(t) E(t) Cz(t),其中C=(I3x303x(m+ny). 证明：根据最小值原理，构造Hamilton函数， e(t) 最后得到扩大误差系统 H(x().u().r(.)-j-T(Qz(+juT(Ru(+ i(t)=A(t)z(t)+B(t)i(t)+G(t)(t), XT(t)[A(t)z(t)+Bu(t)+G(t)(t)],(14) (9) E(t)=Cz(t). 则系统（⑨）的最优控制u(t),相应的状态向量z(t) 和伴随向量入(t)满足正则方程 于是，问题转变为：求系统(9)的一个控制输入 u(t),使得(9)的闭环系统的输出(t)= E(t) A0=9股 =0. (15) e(t) 约束条件即状态方程为 跟踪信号(t) 0 三0.如果这一结果得以实 0 i(t)=A(t)z(t)+Bi(t)+G(t)r(t), (16) 现，则从u(t)可求得系统(2)的输入u(t),系统(2) 的闭环系统就可以跟踪日标信号π()，面且这种跟 并且满足边界条件 踪还保证了协调误差满足要求， z(to)=z0,A(t)=0. (17)
第 期 廖福成等 连续时间系统的目标轨迹预见跟踪控制 · · 已 一已二 九 ‘、亡 一护二 广、艺 亢 、 认 二艺一、亡几 再在式 的状态方程两边求导引入向量 矛、、户、 、了、尹、万 、尹了上孟不、︸万 到气勺子卜夕、、 飞‘、了、 工 任 飞 、 由 几扩大误差系统 是时变的所 以采用 有限时间最优控制的思想来实现上节提 出的控制 口 的 ‘一 对一’系统 取二次型性能指标函数 「衍 二 、 、 二 一宣。·‘·‘ “ ‘砚‘‘· ‘ 其中 一啥歇、。 百、了、、 一一 、了卜 、夕、苦 之 把式 和式 连同式 的状态方程两边求导 所得结果 可以得到一个关于 二的方程 云艺 亡 亡云 亡价亡 其中 九 一 认 一 、 一 。 它 它是 矩 阵 由文献 可知通过在 二次型性能指标中引 入输入的导数 州约可以使控制器中包含积分项 从 而有助 于消除 闭环系统 的静态误差 下面的定理给 出了系统 在性能指标函数 下的最优控制输入 定理 变系数系统 在性能评价函数 下的最优控制输入为 ‘ 一丑一‘ 尸 一 一‘ 其中 为 矩阵满足 微分方程及 边界条件 门︸ 日︵︶ 、布了才 子乙 一一 一刀、‘了 、、龟 、尹、 邝卜 ︸ 口、了、、 亡 一户“ 一‘‘ 月‘ 到‘ ‘ 一尸 一‘ ‘一 · 为 维向量函数满足微分方程和边界条件 、、、矛皿 凡 、了 注意通川 和 阁 是时变矩阵力 是常数矩阵 考虑到系统 的输 出 可以取新 的输 出 向 呈为位置误差和 协调误差构成的向量即 它 侧 戈石 左一。亡其中。一。又。。。二二、 最后得到扩大误差系统 矛”“ 、一‘“ ‘ 一 “ “‘ ‘‘ 亡少 式中通 约 约 一‘ 证 明 根据最小值原理 艺 构造 函数 乏 二 亡 艺 公 艺价艺 艺 一’是 问题转变 为 求 系统 的一个控制输 入 、 、二 此、、 、使得 的闭环系统的输出‘一瑞 跟踪信号侧 、 一 、 三 如果这一结果得以实 现则从 ‘艺 口‘求得系统 的输入 。 系统 的闭环系统就 可以跟踪 目标信号 叫句 且这种跟 踪还保证 了协调误 差满足要求 名、。一一。·。 、 ‘二、 ‘ 入 亡 二 力仓亡 广亡」 则系统 的最优控制 叫 相应的状态 向量 城 和伴随向最 约满足正则方程 入艺 口 口 口 丘 约束条件 即状态方程 为 云亡 二 血艺 艺广艺 并且满足边 界条件 。 二
.388 北京科技大学学报 第35卷 由以上方程可以得到： 在上式中把to改写为t,把t改写为tf,得到从时 刻t到t的解为 i(t)=A(t)z(t)+Bi(t)+G(t)r(t), (t)=-Qz(t)-AT(t)A(t), (18) (t)=(Φ21(t)Ψ11(t)+Φ22(t)Ψ21(t)z(to)+ i(t)=-R-1BTX(t), z(to)=0,入(t)=0. (Φ21(t)Ψ12(t)+Φ22(tr)Ψ22(t)入(t)+ 将式(18)消去a(t)得到 a()u()+a()a()G()F()is.(24) 根据初值条件入(t)=0符到 (t)=A(t)z(t)-BR-1BTX(t)+G(t)i(t), A(t)=-Qz(t)-AT(t)(t) 0=λ(t)=(Φ21(t)Ψ11(t)+Φ22(t)Ψ21(t)z(t)+ (19) 写成矩阵向量形式有 (Φ21(t)Ψ12(t)+重22(t)Ψ22(t)λ(t)+ () A(t)-BR-1BT z(t) G(t)r(t) 业1(+中a(s)》Cs)r () -Q -AT() 入(t) 0 因此有 (20) 由微分方程知识，设对应的齐次线性方程的基础解 λ(t)=(④21(t)Ψ12(t)+Φ22(t)Ψ22(t)-1× 矩阵为(t),式(20)的解为 (④21(tr)Ψ11(t)+更22(tr)Ψ21(t)》z(t)+ (Φ21(t)Ψ12(t)+Φ22(t)Ψ22(t)-1× 之(t t好 =(t)西-(to (to) (便21(tr)Ψ11(s)+重22(t)Ψ21(s)G(s)r(s)ds. (t) (to) (26) G(s)i(s) 由此看出，(t)与z(t)存在着线性关系 (t)Φ-1(s) (21) to 0 入(t)=P(t)z(t)+g(t). (27) 注意到，由于基础解矩阵()并不知道，所以 要探索回避求基础解矩阵的办法.为此，对()和 其中 重-(s)适当分块得 P(t)=(Φ21(t)Ψ12(t)+Φ22(tr)Ψ22(t)-1× Φ11()Φ12(t) (便21(tr)Ψ11(t)+重2(t)Ψ21(t),(28) (t)= Φ21(t) Φ22(t)/ g(t)=(Φ21(t)Ψ12(t)+22(t)Ψ22(t)-1× Φ-1(s)= Ψ11(s)Ψ12(s) (④21(te)11(s)+Φ22(t)Ψ21(s)G(s)r(s)ds.(29) 业21(s)Ψ22(s）/ Jt 注意由积分的性质还知g(t)=0. 则式(21)可写为 将式(27)代入式(18)的第三式即得到式(11) () Φ11(t)Φ12(t) Ψ11(to）乎12(to) 下面求P()和g()所满足的微分方程.将式 (11)代入式(9)得 入(t) Φ21(t) 重22(t) 乎21(to）Ψ22(to) (t)=[A(t)-BR-BTP(t)]z(t)- z(to） 1(t) 12(t) G(s)r(s) ds A(to) 重21(t) 22(t) 0 BR-1BTg(t)+G(t)i(t). (30) 22) 由式(18)的第：式及式(27)得 所以有 A(t)=-Qz(t)-A(t)A(t)= A()=(更21(t)Ψ11(to)+Φ22(t)Ψ21(to)z(to) -[Q+AT(t)P(t)]z(t)-AT(t)g(t). (31) +(④21(t)Ψ12(to)+Φ22(t)Ψ22(to)(to)+ 再对式(27)两边求导得 (使21(t)Ψ11(s)+Φ22(t)Ψ21(s)G(s)r(s)ds.(23) (32) )to A(t)=P(e)2(t)+P(t)z(t)+g(t)
· · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 卷 由以上方程可 以得到 艺二 公 护 在上式中把 改写为 云把 改写为 衍得到从日 刻 到 的解为 一 二 一 一 一通 艺入艺 亡 入 一 必‘‘妈 毋 巩 ‘ ‘。 。入艺 毋 妈 毋 艺巩 入艺 ‘ · ‘ 、 ·· ‘ ·二‘ 入之名· 、了、 将式 消去 训 得到 矛手仁 入老 艺 艺一力 一‘力 入艺 亡护 一 艺一 艺入 根据初值条件 入 得到 入艺 毋 亡少 亡 毋 叭 艺 艺卜 写成矩阵 向量形式有 乏 、 涯 、一 几一刀 亡、 ‘ 价 、’ 二 ’‘ ’‘ ” ” 、从 了 、一 一通 八 称 戈 由微分方程知识 设对应的齐 次线性方程的基础解 矩阵为 毋树式 的解为 毋 叭 必 妈 入 ‘ 。。 · ‘ 、 ·· ‘ ·二‘ 因此有 入亡 毋 上冲厂通 翻一肿一 洲 · 丘·一·“犷“ “ 二 少 亡 毋 亡叭 亡一‘ 亡少 艺 毋 叭 艺 亡少 艺 必 艺叭 一‘ 毋 艺叭 毋 典 分 由此看出州约 约存在着线性关系 入亡 注意到由于基础解矩阵毋川 并不知道所以 要探索回避求基础解矩阵的办法 为此对 毋 和 毋一‘适当分块得 其中 尸 毋 ‘妈 必 叭 亡一’ ·一之忠之幼 毋 少 云 毋 叭 ‘ 毋 少 毋 。叭 一‘ 叭 热 ‘ 艺· ‘妈‘ ·· ‘ ·二 、、户 一 口、了‘ 一 、了 甄 毋 则式 可写为 人于气石 一霆少 不 甲霆、‘丫登 、‘。登丫 、‘。 · ︺曰、尹 、、声 翻 ·眯瑙霆、‘ 丫“‘ ·犷‘ · 所 以有 入亡 毋 艺叭 。 毋 亡妈 。 亡。 毋 亡巩 亡。 毋 巩 亡。 入亡。 ‘巩‘ ·亡饥‘ ·· ‘ ·二 注意由积分的性质还知 斌 将式 代入式 的第二式即得到式 川 下面求 川 和 斌 所满足的微分方程 将式 代入式 得 乏 通【 一力丑一‘ ‘」二 力几一’户 矛艺 由式 的第二式及式 得 人 一 。一几 。入 一【 诬 ‘ 」二‘一诬 ‘ ‘· 再对式 两边求导得 入 乏 户 夕
第3期 磨福成等：连续时间系统的目标轨迹预见跟踪控制 389· 将(t)的表达式即式(30)代入式(31)得 式中， (t)=P(t)+P(t)A(t)-P(t)BR-BTP(t)z(t)- K(t)=R-1BTP(t)=(Kz(t)Ky(t)Ke(t)Kz(t)) P(t)BR-BTg(t)+P(t)G(t)r(t)+g(t). (33) P(t)和g(t)分别由式(12)和式(13)确定. 由式(31)~(33)得到 证明：由定理1已得到 -Q+AT(t)P(t)]z(t)-AT(t)g(t)= i(t)=-Kz(t)ez(t)-Ky(t)ey(t)-Ke(t)e(t)- P(t)+P(t)A(t)-P(t)BR-BTP(t)=(t)- Kz(t)x(t)-R-BTg(t), P(t)BR-BTg(t)+P(t)G(t)r(t)+g(t).(34) 对上式在to,上积分即得到式(39).定理2得证 此式为关于()的恒等式，所以应该有 由定理2的最优控制输入可以看出，最优控 -P(t)=AT(t)P(t)+P(t)A(t)- 制器由四部分组成：第一部分一 K(s)ez(s)ds- P(t)BR-BTP(t)+Q, (35) Ky(s)ev(s)ds是系统位置跟踪误差的积分；第 to g(t)=Ac(t)g(t)-P(t)G(t)r(t). (36) 二部分 Ke(s)e(s)ds是协调误差的积分：第 Jto 上两式即为P(t)和g(t)所满足的微分方程.要唯 三部分 一地解出P(t)和gt),还需要一个条件.由于已知 Rz(s)文(s)ds是状态反馈：第四部分 Jto g(t)=0,今再推导一个关于P(t)的条件. -R-IBT 从Φ(t)Φ-1(tr)=I即 g(s)ds是日标值预见补偿.事实上，由 Jto g(t)的表达式(29)可以看出，g(t)可以通过从当 更11(t）Φ12(tf) 乎11(t) 乎2(t) 前时刻t到终止时刻t:某个函数的积分得到，被 Φ21(t)Φ22(t) Ψ21(t）22(t) 积函数中包含了日标值信号的信息，因此第四部分 得到 -R-1BT g(s)ds也包含了目标值信号的信息. Φ11(t)Ψ11(tf)+Φ12(t)Ψ21(t)=I, 2.2 基于切换规则的轨迹跟踪控制 Φ11(tf)Ψ12(t）+Φ12(t)Ψ22(tf)=0, 上节的结果只在目标值信号满足T,()卡0时 (37) Φ21(te)Ψ11(t）+Φ22(t)Ψ21(t)=0, 成立.对于复杂的平面日标值信号，如果T()= Φ21(tr)Ψ12(tr）+Φ22(tr)Ψ22(tf)=I. 0,r.(d)≠0，可以取协调系数为m)=得，然后 所以有 与上节采用完全相同的方法导出扩大误差系统，给 P(tr）=(21(tr)Ψ12(t)+Φ22(t)Ψ22(tr)》-1× 出最优控制输入. 如果目标值信号的图像跨过X轴和Y轴， (Φ2i(tr)Ψ11(t）+Φ22(tr)Ψ21(tf)=0. (38) 就可以采用切换系统的做法，在目标值信号满足 至此，定理1证毕. ,因≠0的部分取n因=？=但为协调系数，而 rv(t) 由定理1立即得到定理2 定理2设t≤to时u(t)=0,则系统(1)的最 在目标值信号满足r,)≠0的部分取m心=”但 rx(t) 优控制输入为 为协调系数.在实际问题中，可以选取适当的切换 规则使得各种情况下分母绝对值都不要太小.若随 w)--K-()e.(od- Ky(s)ey(s)ds- 着时间t的增长，系统状态从A区进入B区，就把 系统在A区的终值(x(t),()作为B区的初值. Ke(s)e(s)ds-K=(s)X(s)ds- 3数值仿真 R-1BT g(s)ds 以结构互不相同的直线电机以及其驱动回路 (39) 组成的系统为例.设X轴方向的直线电机为文献
第 期 廖福成等 连续时间系统的目标轨迹预见跟踪控制 · · 将 乏 的表达式即式 代入式 得 “‘一【‘ 亡‘‘一‘” 一‘” ‘ ‘ 尸 亡亏丑一’亏 尸 亡‘ 广 夕 由式 、 得到 一〔 通 〕‘一涯 ‘。‘ ”‘ ‘‘一 ‘” 一’” ‘二‘ 启几一‘力 ‘ 价 夕 此式为关于 袱 的恒等式所以应该有 一户 涯 尸 通 一 尸 力丑一‘力 尸 。 夕 艺 亡一 户 上两式即为 和 所满足的微分方程 要唯 一地解出 和 绒 还需要一个条件 由于已知 斌 今再推导一个关于 尸 的条件 从 毋 毋一‘ 即 式中 瓦 一’力 。 凡 兀 凡 凡 亡 和 分别由式 和式 确定 证明 由定理 己得到 公 一凡 二 一兀亡 一凡 艺一 凡 戈 一几一’ 艺 对上式在 。 上积分即得到式 定理 得证 由定理 的最优控制输 入可 以看 出最优控 制”由四部分组成第一部分一丘、 · 丘、 ··是系统位置跟“误”的积” 第 二 部 分 三 部 分 一 一力 凡 。 是协调误差的积分 第 凡 是状态反馈 第四部分 扮坛产扬︺ 斌、 是 日标值预见补偿 事实上 由 厂 “ 。 、一 、中 少 叭 艺 典 亡 叭 巩 、、户 、了、 得到 绒 的表达式 可以看出绒 可以通过从当 前 时刻 亡到终止 时刻 衍 某个 函数的积分得到 被 积函数 中包含了 目标值信号的信息 因此第四部分 叭 毋 巩 一“一”·丘。 ··“包“了目标值信号的信息· 叭 亡 必 热 叭 毋 叭 巩 亡 必 巩 基于切换规则的轨迹跟踪控制 上节 的结果只在 目标值信号满足 成立 对 于复杂的平面 目标值信号 二 并 可以取协调系数为。 约 。 笋 时 如果 必毋曰三二︸ ‘、了‘矛衍 、了、 所 以有 一粤工 ‘ 然后 尸 艺 毋 巩 毋 艺热 一‘ 必 艺叭 亡 毋 甄 至此 定理 证毕 由定理 立 即得到定理 定理 设 蕊 。时 。 则系统 的最 优控 制输入为 与上节采用完全相 同的方法导出扩大误差系统 给 出最优控制输 入 如果 目标值信 号 的图像跨过 轴和 轴 就可 以采用切换系统的做法 在 目标值 信号满足 二 、 、 价 二 、 ‘ 协 并 的部分取” 一湍 为协调系数而 在 目标值信号满足 二约兴。的部分取 。 ”一丘、 ·二·一丘。 ·二·一 为协调系数 在实际 问题 中可以选取适 当的切换 规则使得各种情况下分母绝对值都不要太小 若随 着时间 亡的增长 系统状态从 区进入 区就把 尤、 ···一丘凡· ‘ ·一 一”·丘。 ·二 系统在 区的终值 叭约 作为 区的初值 数值仿真 以结构互不相 同的直线 电机 以及其驱动 回路 组成的系统为例 设 轴方 向的直线 电机为文献
·390 北京科技大学学报 第35卷 [13)]中给出的系统，相关的系统参数矩阵为 取权重矩阵Q和R为 0 1 0 0 Q=diag(106,10°，106,0,0,0,0,0,0)， 0 -0.05 0 Az= 0 0 -0.130.11 0 -197.6-50 0 01 0 目标轨迹四次跨过坐标轴.为了保证使协调系 0 数分母不为零，并使分母绝对值不要太小，将跟踪 Bx= Cx=0001 0 时间t∈0,2洲等分为四段，即I=[D,),乃= 200 而Y轴方向的直线电机如文献13所示，相关的 [匠=)=[贤2，金西和石 时段取协调系数为 系统参数矩阵为 By(t)= Cy=(10) nw-8-m(+》 -8.75 9.5 T2和！T4时段取协调系数为 设日标轨迹为平面直角坐标系中的稻圆 9 2 m)-但、2. =1,或马为 =28-tam(+) 3cos(+) 由于日标轨迹是全程可预见的，所以采用前面 0≤t≤2， 得到的预见跟踪方法，经过计算得到最优控制输入 2sin（e+) 为 u(t)= -K,同e.(es-K,因s,oaK:eeas-K:同Xahs-RBr9问s teT; K-(s)e-(s)d-Kv(s)cv(s)ds-K.(s)e(s)ds-K:(s)()ds-REg()do,tz; Ke✉oioK,(o6,6isK.同e(ois-K:句X()w---B()do t∈T3; K.esa-K,e,6as-了手K.ew-了&.间xous-RBr学96句da 3 其中， t≤2π)，其图像如图3所示 -ez(t)+n(t)ey(t),tETi,T3; e(t)= 目标轨迹r=) -ey(t)+m(t)ez(t),tET2,T4. 2 跟踪输出一飒) 离散化时取步长为0.0005，得到的闭环系统响应， 1 即闭环系统的跟踪控制结果如图1.输出分量 0 .0对r.国=3as(+》国对，因= 2sin（t+)的跟踪结果见图2. 从图中可以看出跟踪输出与目标轨迹只在开 2 始的很短时间内有一定的跟踪偏差，在随后的大段 -2 -10123 时间内，系统的跟踪输出与目标值逐渐达到了一致， x/cm 没有静态误差.为了了解误差的详细情况，计算 图1系统跟踪日标轨迹曲线 ez(t)=Tz(t)-r(t)和eu(t)=Ty(t)-g(t)(0≤ Fig.1 System responses for desired tracking
· · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 卷 【 中给出的系统相关的系统参数矩阵为 取权重矩阵 和 为 一 鳍 、 ︸ ‘了、、 一 一 ‘、了、 一 目标轨迹四次跨过坐标轴 为了保证使协调系 数分母不为零并使分母绝对值不要太小将跟踪 时间。。 川等分为四段即 一 ’要、乃“ 以隆’二、二“一队’纷 二一’一津【 ’引」在一 和二 时段取协调系数为 、 口飞产、才、 一 而 轴方向的直线电机如文献 所示相关的 系统参数矩阵为 二亡卜几一 ’ 了乙气乙 了几下下 又 、气乙十 万二、 了、 不 ‘ 任 孟 、 一 ‘、了、、 ︼一 李 设。标轨迹为平面直角坐标系中的椭圆零甘 几 和 几 时段取协调系数为 犷 或写为 兀 、 艺 万 】 衣 一曰 一公夕 一 一 子卜 一 一 。 一 由于 目标轨迹是全程可预见的所 以采用前面 得到的预见跟踪方法 经过计算得到最优控制输入 为 、 一‘ 、 ··二吕一‘ 、。 · 。 ·于‘ 、。 ···一‘ 、 · 、 ·一二一。 ·厂。 ·· 任 …万··二··凡·二··凡··一凡‘ · “·一凡·· ‘ ·一 亡任乃 一兀‘ 、 ··二· 兀‘ 、 ·· 。 · 兀‘ 、。 ···一兀‘ 、 · 、 ·一二一。 ·厂兀 。 ·· 亡〔马 任 几 助 一 内 一 ’一 · 一 一故 一 户” 万 一欲 凡 卜 ‘ 一渐 其中一‘ ··二·· 艺毛 动其图像如图 所示 一。二艺 亡 。 亡任 一 、艺 。 二 任 － 目标轨迹 一代约 － 跟踪输出 小 一 ‘、户 离散化 时取步长 为 得到的闭环系统 响应 即 闭环系统 的跟 踪控 制 结果如 图 输 出分最 。。二‘、一 对 山二、一 。。、 粤、。、。对 、 从 ‘ 图警中可的以跟看踪出结跟果踪见输图出·目标轨迹只在开 始的很短时间 内有一定的跟踪偏差在随后的大段 时间内系统的跟踪输 出 与目标值逐渐达到 了一致 没有静态误 差 为 了了解误 差的详细情况 计 算 二 二 一头 和 一夕 一 一 之、日一 图 系统跟踪 目标轨迹 曲线
第3期 廖福成等：连续时间系统的目标轨迹预见跟踪控制 ,391· A 一目标值分量.(0 3 (a) (b) 二目标值分量r,) 一一跟踪输出y() 一一跟踪输出) 2 1 0 可0 -1 -1 -2 -3 -2 3 23456 23456 t/s t/s 图2跟踪结果.(a=(因对r:)=3cos(e+:回)w因对r,因=2sin(t+) Fig.Tracking results:(a)v(responses forr(3c)(b)()rcaponaes for(=2in( 0.08 (a) (b) 0.05 0.06 0 -0.05 0.04 -0.1 0.02 -0.15 0 -0.2 -0.25 -0.02 -0.04 2 3 45 6 0 5 t/s t/s 图3误差曲线.(a)ez():(b)ey(t) Fig.3 Error curves:(a)ez(t);(b)ey(t) 可以看出，与椭圆的半轴相比，这个误差非常 参考文献 小.特别，1ez(t川的最大值为0.21370494671511， |e,(t)的最大值为0.05323388230209.从图还可以看 [1]Egami T,Toyoda O,Tsuchiya T.Cooperative path con- 出，在系统切换点误差较大.这一点与实际问题正 trol and its application to linear X-Y table.Trans Inst 好一致. Electr Eng Jpn D,1993,113(12):1395 (江上正，费田修，上谷武土.協調缝路制御七子”刂÷ '与文献[2)比较发现，本文方法绝对误差和相 TX一Y子一ブ北人)店用.電红学会論文誌D,1993 对误差都要小得多，这是因为本文考虑了协调误差 113(12:1395) 文献[3-5,10]均未对圆或椭圆进行仿真，这也说明 2 Egami T,Tsuchiya T.Disturbance suppression control 以往方法的局限性 with preview action of linear DC brushless motor.IEEE Trans Ind Electron,1995,42(5):494 4结论 (3]Lu C H,Hwang Y R,Shen Y T.Backstepping sliding mode tracking control of a vane-type air motor X-Y table 本文研究了连续时间系统对于平面复杂目标 motion system.ISA Trans,2011,50(2):278 轨迹的预见跟踪控制问题.在假设目标值信号是分 [4]Yan Q L,Zhang H W.Modeling and three loop conformity 段连续可微函数且全程可预见的条件下，通过引入 of CNC servo system for X-Y table.Mach Des Manuf, 协调误差，使得控制结果更精确.由于扩大误差系 2008(2):144 统是时变的，所以采用有限时间最优控制的思想. (阁勤劳，张海伟。X-Y数控工作台同服系统的整定与建 为了克服分母为零时方法失效的困难，采用了切换 模.机械设计与制造，2008(2)：144) 系统的思想，事实上，本文也是时变切换系统的一 [5]Tseng Y T,Liu J H.High-speed and precise positioning 个具体实例，通过数值仿真可以看出，系统跟踪精 of an X-Y table.Control Eng Pract,2003,11(4):357 度高，其有很好的静态稳定性. [6]Katayama T,Hirono T.Design of an optimal servomech-
第 期 廖福成等 连续时间系统的目标轨迹预见跟踪控制 · · 目标值分量以 一一跟踪输出 一 目标值分量以 一 跟踪输出巧 勺山八」 一 已知 ‘ 月 一﹄ 九 。日﹄ 图 跟踪结果·。·‘对 ‘一 ‘誓 ‘对二‘卜 ·‘‘登 、 、 。 、 。 兀、 、 、 八 。 』 兀、 土 ‘ ‘毛 梦气石 工、‘ “ “ 、石十万 、。”、‘ 万 ‘吕吕‘ ‘“、‘ ‘““‘戈‘十万 丽卜 ︵ 曰山﹃ 两 一 亡 一 一 一 一 忍 、 二 一 一 一上 曰 伙月 民 卜﹄ 八 图 误差曲线 。二亡 二艺 亡 可以看 出与椭 圆的半轴相 比这个误差非常 小 特 别 二 的 最 大 值 为 。艺 的最大值为 ‘ 从图还可以看 出在系统切换点误差较大 这一点与实际 问题正 好 一致 参 考 文 献 与文献 」比较发现本文方法绝对误差和相 对误差都要小得多这是因为本文考虑 了协调误差 文献 【一 」均未对圆或椭圆进行仿真这也说明 以往方法 的局 限性 结论 本 文研 究 了连 续 时 间系 统对 于平 面 复 杂 目标 轨迹 的预见跟踪控制 问题 在假设 目标值信 号是分 段连续 可微 函数且全程可预见 的条件下 通过 引入 协调误差使得控制结果更精确 由于扩大误差系 统是 时变的所 以采用有 限时间最优控制 的思想 为了克服分母为零时方法 失效的困难 采用了切换 系统 的思想 事 实上 本文 也是时变切 换系统 的一 个具体实例 通过数值仿真 可以看 出系统跟踪精 度高具有很好 的静态稳定性 【 肠 一 飞刀几 介王占亡 呵 扣几 江上正登田修土谷武士 临稠缝路制御 己子。 二 了 一 于一 了沙 。启用 雷氦学会榆文袜 】 了刀石召 恤 玩 艺 二 【』 一 ·了八 乃刀。 』 一 。诚 阎勤劳张海伟 一 数控工作台伺服系统的整 定 与建 模 机械设计与制造 」 卜 一 · 。亡。 瓜 夕尸阳 亡
.392 北京科技大学学报 第35卷 anism with preview action and its dual problem.Int J view control on X-Y coordinate plane.J Wuhan Univ Control,,1987,45(2):407 Technol,1998,20(3):80 [7]Liao F C,Tang YY,Liu H P,et al.Design of an opti- (谭跃刚，江上正.X-Y坐标平面的位置协调最优预见控 mal preview controller for continuous-time systems.Int J 制.武汉工业大学学报，1998,20(3)：80) Wavelets Multiresolution Inf Process,2011,9(4):655 [11]Wang CZ,Qin H S.Optimal Control Theory.Beijing: 8 Liao F C,Liu H P.Design of an optimal preview controller Science Press,2003 for a kind of discrete-time system with time-delay.J Univ (王朝珠，秦化淑.最优控制理论.北京：科学出版社，2003) Sci Technol Beijing,2008,30(4):452 (廖福成，刘贺平.带有状态时滞的多采样率线性离散时 [12]Kailath T.Linear Systems.Englewood Cliffs:Prentice- Hall,1980 间系统的最优预见控制器设计.北京科技大学学报，2008， 30(4):452) [13]Huang Y Q,Huang Y R,Zhang K.Design and simulation 9 Liao F C,Tsuchiya T,Egami T,et al.Unified approach of a dual-object non-fragile controller for a linear motor to optimal preview servo systems and optimal preview FF servo system.CAAI Trans Intell Syst,2009,4(1):85 compensated systems.Chin J Autom,1998,10(4):329 (黄宜庆，黄友锐，章魁.直线同服系统的双H标非脆弱控 10 Tan Y G,Egami T.The position harmony optimal pre- 制器的设计及仿真.智能系统学报，2009,41)：85)
· · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 卷 玩 、、 【」 即 · 毗 一 亡 忿 妞忿￡二 扭亡乞。。乃扩 【」 。 鲜 咖 乞公 ‘ 访呵 廖福成刘贺平 带有状态时滞的多采样率线性离散时 间系统的最优预见控制器设计 北京科技大学学报 」 朋 乞。 二亡。。 【」丁 叮 令 【』 【 【」 一 几 口几乞 ” 谭跃刚江上正 一 坐标平面的位置协调最优预见控 制 武汉工业大学学报 叭俗 云仇 阳 印 王朝珠秦化淑 最优控制理论 北京 科学出版社 乞。 勺 哪 一 一 铭 口注 了、习。 执 如 黄宜庆黄友锐章魁 直线伺服系统的双 目标非脆弱控 制器的设计及仿真 智能系统学报
