函数矩阵在共轭曲面综合曲率中的应用

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1982.04.009 北京钢铁学院学报 1982年第4期 函数矩阵在共轭曲面综合曲率中的应用 数学教研组冯镶坤 摘 要 共轭曲面的综合曲率是啮合理的重要内内容，是接触应力计算的重要依据。本 文根据综合曲率与平均曲率的关系，使用函数矩阵及其导数，找到了曲面族函数· 阶导数的矩陈表达式及其对坐标变换的不变量，得到了一次包络和二次包络综合曲 率的显式表示。在显式中曲面族函数的各阶导数，能分出与曲面形状无关的系数矩 阵与二次型，可预先算好，从而使一次包络与二次包络的综合曲率，都可以在两个 坐标系中进计算。 设共轭曲面Σ1、Σ2在切点P处沿任一方向的法曲率分别为K:)、K:),则诱导法曲率 K1)=K:-K:的最大值（绝对值），工程上通常称为综合曲率，记为K:),且把 它的倒数叫做综合曲率半径，记为 R(2)-K3)1 定理1共轭曲面∑：与∑，在切点P的综合曲率，等于两曲面在该点处的平均曲率H)与 H2)之差的两倍，即 K:2)=2(H(1)-H(2) (1) 证设、三2在P点两个主方向的夹角为中，相应的主曲率分别为k)、k)与 k2)、k2),任一方向与2：的第一主方向的夹角为P,根欧拉公式，有 K1)=k(1)cos2+k)sin2o K2)=k2 cos2(-)+k2)sin2(-) K2)=k)-k2)-(k)-kI)8in2p+ +(k2)-k2)8in2(p-pg） (2) 由于在P点的接触线方向是一个诱导主方向，相应的诱导法曲率为零，与之垂直的方向 使诱导法曲率达到最大值，令 dK() do=0 并且代入(2)，即可得【2到 K12)=(k1)+k)-(k2)+k2) =2(H1)-H(2))(证完) 78

北 京 钢 铁 学 院 学 报 年第 期 函数矩阵在共扼曲面综合曲率中的应用 数 学教研 组 冯德 坤 摘 要 共扼 曲面 的综合 曲率是 啮合 理 的重 要 内内容 ， 是接 触应 力计算 的重 要佼 据 。 本 文根据综合 曲率与平 均曲率的关系 ， 使用 函 数矩 阵及 其导数 ， 找到了 曲面族 函数 阶导数 的矩 陈表达 式及 其对 坐标 变换 的不 变量 ， 得到 了一 次包络和二 次包络 综合 曲 率的显 式表示 。 在 显 式中曲面 族 函数 的各 阶导数 ， 能分 出与 曲面 形 状 无 关 的系数矩 阵与二 次型 ， 可预 先算好 ， 从 而使 一 次包络与二 次包络 的综 合 曲率 ， 都可 以在 两个 坐标系中进 计算 。 设共辘曲面 艺 、 艺 在切点 处沿任一方 向的法 曲率 分别为 《孟 、 《孟 ， 则 诱 导法 曲率 二 ‘ “ 一 的最 大值 绝对值 ， 工 程 上通 常称为综 合 曲率 ， 记 为 《二 ， 且把 它 的倒数 叫做综 合 曲率半径 ， 记 为 一更一 】人 ‘ 言 ‘ ， 定理 共耗 曲面艺 与艺 在 切点 的综 合曲率 ， 等 于 两 曲面 在 该点 处的平 均 曲率 ‘ 与 《 ， 之差 的 两倍 ， 即 二 川 一 证 设 艺 、 艺 在 点 两个主 方 向的夹 角为甲 。 ， 相应 的主 曲 率 分 别为 圣 ‘ ’ 、 蓬 ‘ 与 荟 名 、 “ ， 任一方 向 与 艺 的第一主 方 向 的 夹角为 甲 ， 根欧拉公式 ， 有 盔” 荟 ’ 甲 二 ‘ ’ “ 甲 二 荟 “ 么 甲 一 甲 。 釜’ 颐 “ 甲 一 甲 。 二“ 圣 ‘ 一 著 一 荟 ‘ 一 要 ‘ 荟 “ 一 互’ 甲 一 甲 。 由于在 点的 接触 线 方 向是一个诱 导主 方 向 ， 相应 的诱 导 法 曲率 为零 ， 与之 垂直 的方 向 使诱 导 法 曲率 达 到最 大 值 ， 令 盛 ‘ ， ’ 印 并且代入 ， 即可得 汇“ ’ 里 孑” 绪” 一 荟’ 聋 川 一 “ 证 完 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1982．04．009

一、一次包络的综合曲率 在曲型传动中，设Σ2为母面，则∑：就是在规定了相对运动的条件下由三2所形成的曲面 族的包络。共轭曲面Σ：与∑2分别同直角坐标系S,与Sz相固连，两传动轴交错垂直且无轴向 移动，甲1与p2分别是S,与S2相对于静止坐标系的夹角，且p2=i21P1,i:1为传动比，a为 中心距，则点P在S1、S2中的坐标(x1,y1,z1)、(x2,y2,z2)的关系为 X 2 coso coso2 sin cosop 2 -ginp:acoso 2 y 2 cosop sino 2 sin p sino 2-coso 2 agin 2 Z2 sino -C08p1 0 0 X2 X 1 =C(p) (3) Z2 21 17 1 1。X1 X 1 或 C(o:) yI =0(p1) (4) 1 0 00 1 1 显然有 0x2 8单1 6y dC(p)yI· (5) 0p1 do 8z2 0p1 1 0x20x2 0X2 8x10y:0z1 coso coso 2 sino coso2-sinop2 记 A(p1)= 6y20y20y2= 8x10y18z1 cosop1 sin o 2-sin op po 2-coso 2 (6) 0z2 OZ:OZ2 sin -co8p 1 0 0x1⑦y1a2: C(P)与C(P1)称为坐标变换矩阵，A(p1)称为坐标变换系数矩阵。 设母面方程为f(x2,y2,z2)=0,它不含参数，将(3)代入得曲面族方程 f〔xz（x1,y1,z1,p1),y2（x1,y1,z1,p1）,z2(x1,y1,z1,p1)〕=0 上式左边称为曲面族函数，记为 F(x1,y1,z1,p）=f(x2（x,y1,z1,p1),…) (7) L (7)为单参数曲面族，包络面的方程为【1 F(x1,y1,z1,p1)=0 (8) {F,1(x1,y,z1,p1)=0 79

一 、 一 次包络的综合 曲率 了 在 曲型 传动 中 ， 设 艺 为母面 ， 则 艺 就 是 在规 定 了相 对 运 动 的 条件下 由 叉 所形 成 的 曲面 族 的 包络 。 共辘 曲面 艺 与艺 分 别 同直 角坐 标系 与 相 固连 ， 两传动轴 交错垂直且无 轴 向 移动 ， 甲 与甲 分别 是 ， 与 相 对 于 静止 坐 标系的夹 角 ， 且甲 甲 ， 为传动 比 ， 为 中心距 ， 则点 在 ，、 中的坐 标 ， ， 、 ， ， 的关系为 一 粉 甲 少 甲 甲 一 甲 “ 宁 甲 叩 ‘ 目” 甲 ’ 一 甲 ‘ ” 甲 ’ 一 臀 甲 ’ 一 “ 份 ” 甲 ’ 一 甲 一 甲 ， 介 ‘甲 ” 跳 或 甲 ‘ 月 ， 、 一 ，， 、 甲 ‘ 夕 ‘ 二占孟， 了 飞‘ ‘电 汗护了 一 为跳 显然有 口甲 日 日甲 甲 甲 一甲 一口 一 上 。 日 目 日 口 一 。 吕甲 一 甲 甲 甲 一 甲 记 竺瞥 座 … ” ‘ 、 势盖 ‘ …会 日 口 甲 ， 一 成 甲 目。 甲 一 甲 一 甲 一 甲 一 一 帅 与 口 甲 称 为坐 标变换 矩 阵 ， 设母面 方程为 ， ， ， 甲 称 为坐 标 变换 系数矩 阵 。 它 不 含参数 ， 将 代 入得 曲面 族 方程 ， ， ， 甲 ， ， ， ， 甲 ， ， ， ， 甲 〕 二 上式左边称为曲面族 函 数 ， 记 为 ， ， ， 甲 〔 ， ， ， ，， 甲 ， … … 〕 口 为 单 参数 曲面 族 ， 包络面 艺，的 方程 为 ， ， ， 甲 一 ， ，， ， ， 甲 ， 声

定理2设fx2、fy2、f2不全为零，则Fx1、Fy1、Fz1也不全为零，且有 F!+F1+F,=F2+f2+f2+f2 1 证由（7)，有 8x2+y2分X1 Fx=f oy:+fax 022 Fyxfy (9) 8y: 8y1 ay F,1=fx2· 8x2+fya 07.1 0+…81 821 祚意到(6)，有 Fx fx2 Fy=AT()!fy2 (10) AFa f22 不难证明，|A(p)川=1，A(p:)为满秩的三阶正交方阵。当fx、fy2、fz2不全为零 时，方程组(9)有非零解，据克莱姆规则，x1、下y1、Fz1必不全为零，否则与(9)有 非零解相矛盾。同时，由矩阵乘法规则，注意到A(P:)·AT(p:)=E,有 Fx1 F2+F+F=(Fx1,Fy1,F21)Fy= F21 fx:T fx2 ifx2 =AT()fy:AT()i fy2=(f2,fy2,f22)A()AT()fy:= f22! f22 fx2 fx2 =(fx2,fy:,fx2)E fy:=(fx2,fy2.f22)fy2=fi2+fi2+fi2 f21 (证完) 共轭曲面的接触线、界限曲线和综合曲率等，都要计算曲面族函数对”：的一至三阶偏 导数【2)。下面，我们来推导曲面族函数的n阶导数的矩阵表示。 由(7)可得 ax2 8p1 =i80+i80+i01=i80 8p1 02.1 0p1|, 注意到(5)，有 80

定理 设 、 ， 、 不 全为零 ， 则 、 ， 、 也 不 全为零 ， 且有 里 要 里 奥 宾 要 二 证 由 ， 有 、 ‘一 会 ‘一 豁 ‘ 一 昌岌 ’ ‘一会 ‘一会 ‘ 会 角 · 器 ’ ‘ · 器介 ‘ · 会 了‘ 、 电 字仁意 到 ， 有 ， ‘ 、 甲 ， 不 难证 明 ， 甲 卜 ， 甲 为满秩 的 三阶正 交 方阵 。 当 、 ， 、 不全 为零 时 ， 方程组 有非零解 ， 据 克莱姆规则 ， 、 ， ，、 ， 必 不全为零 ， 否 则 与 有 非零解相矛盾 。 同时 ， 由矩 阵乘法规 则 ， 注意 到 印 丁 印 ， 有 ， 二 要 里 ， ， ，， ， 了 甲 ， ， ， ， 甲 印 ， ， 艺 吞二下尸了盆‘口 、声， 甲 了人 ‘一 「 ‘ · “ “ · ，， ‘ ， ，， ‘ · ， ’ ‘ · ， “ · ，， ‘ ， ，· ‘ · ，， ‘ ， ， 二 ‘里 ， ‘ ， 一 证 完 共扼 曲面 的接触线 、 界限 曲线和综 合 曲率等 ， 都要 计算 曲面 族 函数对 甲 的一 至 三阶偏 导 数 。 下面 ， 我们 来推 导 曲面族 函 数 的 阶 导数的 矩 阵表示 。 由 可得 日 日甲 如枷 ， ‘一 箭 ‘一瓮 ‘ 瓮 “ 一 ‘ 之 ， …、 甲 注 意 到 ， 有

=(x fy,fa)-dc(y do 21 1 X I F=(f fa)dic( doi (11) 21 ·1 X11 F=(fy,f)-dc(y doi y 1 定理3若坐标变换矩阵C(p:)的n阶导数存在，则有 d"c(9).=(i21ap:8p1 doi ,0-+日)nc(p1) .(12) 证（数学归纳法） 由于C(0)=(）其中c为矩阵C(m)的元素，i、j=1、2、3。由(3)有 d o coso:sin 2 sin Bin o2-coso2 -asin 2 dc(=iz do cosop co8 o 2-8in o cos o 2 8in op acos op : 0 0 00 Bin pi co8o2 cos pcoBg:00 +-8in oi sin 2-cos op:sin:0 0= -C08p1 Bin 00: C(+C》=(i1a9:+0p' =i210p2 a1 0+日)C(p) 也就是1=1吋(12)成立。 今设n=k时(12)成立，即 dkC9=(i0:+am, doix .0)C(p) 只要证明，当n=k+1时（12)成立。事实上 decg0-8aS62）a8(…:+0)广cw- dok+ ,a)dG92=(ia9:+0m =(i20p:+0m7d甲1 0-)1C(p1) ⑦)K·(iz1分a。。+日c91 6)k+C(p） =(i21ap:091 (证完) 此定理对于坐标变换系数矩阵A(P:)及其转置AT(p:)同样适用。同时，由于C(甲：) 与A(p)的导数与曲面形状无关，可预先算好。例如℉，1，在S,的表达式为 81 7

一 “ 一 ‘一 ‘一 ，留 一， 、 ， 一 、 一 ， 一 印 、 甲 圣 卜 ‘且二 … ·· 一 ’ 定 理 若坐标变换 矩 阵 甲 的 则有 “ 、 印贾 气 ， ， 一 ’ 一 十 甲 潺、， · ‘甲 ’ 赴贬 数学 归 纳 法 由于传欲 ’ · 浩认 一 ， ” 中 一 为矩 阵 ， ， 的元 熟 ‘ 、 ‘ 、 、 。 由 ‘ ’ ‘、 印 印 … 甲 甲 一 甲 滋 印 一 甲 一 印 甲 哪 印 一 址 甲 、咖 甲 苗 印 一 甲 。 目 甲 目 十 一 苗 甲 一 甲 甲 甲 一 。 目 印 甲 一 甲 印 目 甲 甲 ，， － 一 一 目印 ， 甲 甲 里 ， － ， 一 “ 口甲 奥 ， 、 口 甲 令 也就 是 ， 今设 。甲封 目寸 成立 。 时 成立 ， 即 甲 ， 。 、 一二二一‘ 二 二 二三二一 ， － 十 甲 一胶 ‘ 一 “ 口甲 ’ 甲 一 只要证 明 ， 当 时 成立 。 事实 上 、、刀 叭一一口 十 “ “ 叭 也 了卫竺旦鱼卫 一 、 主 厂 印 “ 十 ’ 印 、 印 专 印 八 印 一 、声 甲 “ 才、 ‘户、 一昌 口六 气 一 。 甲 十 ︸ 、 甲 ， 日 ， 日 － － 一 、 空 一 飞 甲 － 一 ‘ 甲 甲 日 、 一 犷一 一 尽甲 甲 口 、， 口 一甲 一︸ ， － 十 目巨 口印 口甲 “ 士 ’ 印 ， 证 完 此 定理对于坐 标变换 系数矩 阵 甲 及 其 转置 甲 同样适 用 。 同时 ， 由于 甲 与 甲 的 导数 与 曲面 形 状 无 关 ， 可预 先 算好 。 例如 ， 。 在 的 友达 式 为 抓 声

X 1 F(f)dic(y doi 1 X 1 -(f,fvaf(i 0+8)2C(p1)y1 千p1 1} X 1 有 0C+0C =(i,iy,f)(i18+2i100 y i 0o (13) 1 仿之，F,1,1在S:坐标系的表达式为 X 2 F(ffdcC)y doi 1 不难算得 -i1-co822 inop:cosp:2i:in2 acop: F.=(fx2,fya,f:2) y2 8ino2cos2-i:1-sin2:2i21 co82 -asin 2 Z2 0 0 -1 1 (14) 又如，由(10)可得 F￥1e1 fx2 fx2 Fy1 d AT()fy2 0+ 8)AT(:)fy: (15) do: F211 「z2 =(i0p:001 1fz21 应用以上结果，可在坐标系S:或S2上计算一次包络的综合曲率K)。据定理1，有 K)=2H)-2H(2) (16) H1)是包络面2：的平均曲率，若F,1,1+0,有I2) Fx1 Fy1 Fy F21 Fx1 2 + + 2H0)=F1 FyFy1o F314F1 Fx F(F+F2 (17) H)为母面：f(x2,y,z2)=0的平均曲率，有1 2Hw,2+ (18) r=fxaxafja-2fxafaafxav2+fyayafia 其中， S1=fx2x2fia-2fx2fzafx222+fz222fi2 t=fyavafia-fyafzafvana+franafi 82

一一 ， 一， ， ， ， 仁 ，‘孟 、 二兰旦玉竺上 甲 ‘ ‘ ‘ 卜勒 、 叭 ， ， ’ 石币丁 典 ， 甲 甲 ， 有 曰 ， ， ， ， 一 艺 。 ， 万币畜十 ‘ 名 日甲 日甲 口 十 二，一一万 目甲 丈 仿之 ， ， ， 在 坐 标系的 表达式为 “ 、 ， ， ， 理华粤止 一 、甲 ， 」 ‘ 不 难算得 一 为朴勺 哪 甲 甲 哪 甲 苗 甲 哪 过 甲 ， 二 ‘ · ， ， ， ‘ 、 · 甲 一 二 一 ’ 甲 ‘ 、 一 甲 一 又如 ， 由 可得 一， 甲 一 一硕不厂一 ， “ 盗 斋 ， ’ ‘， ， 应 用 以 上结果 ， 可 在坐 标系 或 上计算一次包络 的综 合 曲率 受 ， 。 据 定理 ， 有 受 名 ， 一 《 ’ 是 包络面艺 的 平均曲率 ， 若 ， ， 子。 ， 有 忍〕 ， ， 产 卜 川 ， ， ， ， ， 甲 ， ， 为母面 艺 ， ， 的平 均 曲率 ， 有 。 里 要 二 吕 其 中 ， 异 一 ， ， ， 里 三 一 里 ， ， 一 ， ， 委

在S:上计算K12,可用(10)、(13)、(15)和(16)，在S2上计算，将(13) 换为(14)，再加上(4)。一般来说，在母面S2上计算比较简单，甚至还能推导出较简 便的表达式，例如，对于平面一次包络蜗轮付，母面方程为：】 ∑2：y2-tgBz2+r。=0 而 fx2=0,fy2=1,f22=-tgB 且f(x2,y2,z2)的二阶以上的偏导数为零，故H(2)=0,使用(4)、(10)、(14)至 (16),可得 K) Co8B (sin22+2i:tgBcos:+tg2B+i) sin o2co82x 2-(i+in22)y2+(2i2 cos2 tgB)z2-agin (19) 其中，(x2,y2,22)是母面2上接触线的点的坐标。 二、二次包络的综合曲率 如果让一次包络的包络面它：，在相同的条件下以参数：运动，则二次包络面的方程为21 1F(x2,y2,22,p1,02)=0 F,1(x2,y2,z2,p1,02)=0 (20) Fg2(x2,y2,z2,p1,日：)=0 这里的坐标变换与（3)相仿，只是刑0，和02分别替换m1和p,在典型传动时，日，= i2161有 Cos0:cos02 sin0 cos02-sin0:acos02 X 2 cos0 sin 02 gin 0 sin02 -cos02 -agin0: y2=B(0,):y2 Z2 22 sin 0 0 1 1 (21) 或 iX 1 x2 X2 y 1 B(02) =B(0z) y2 (22) Z1 22 22 1, 0001 1 1 显然有 x1 892 0y= dB(02):y& a92 d02 (23) Z1 0z1 a92 记 83

在 换 为 上计算 咨 “ ’ ， 可用 、 、 和 ， 在 上计算 ， 将 再加 上 例如 ， 。 一 般来说 ， 在母面 上计算比较简单 ， 甚 至 还 能推 导 出较 简 便 的表 达式 ， 对 于平面一次 包络 蜗 轮付 ， 母面 方程 为 仁 而 且 ， ， 艺 一 日 一 。 ， ， ， 一 日 ， 的二 阶 以 上的偏 导 数 为零 ， 故 艺 ， 使 用 、 、 至 可得 咨全 日 “ 甲 日咖 甲 日 田 甲 甲 一 孟 “ 甲 哪 甲 日 一 苗 甲 其 中 ， ， ， 是母面 艺 上接触 线 的点 的坐标 。 二 、 二 次 包络的综合 曲率 如 果 让一次 包络 的 包络面 艺 ，， 在 相 同的 条件 下以 参数 运 动 ， 则二次 包络 面 的方程 为 ， ， ， 甲 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 甲 ， 甲 ， 这里 的坐 标 变换 与 相 仿 ， 只 是 用 ，和 分 别替换印 和 甲 ‘ ， 在典型 传 动 时 ， ， 有 【 朴为勺 丫 一 一 ， 一 颐 一 一 颐 一 苗 一 日 · ， 或 · 。 洲 。 ， ， 详， ‘ ‘ ‘ 决 显然有 ‘山几 ‘ 旦为 … 。 … 记 沪

8x18x18x1 cos0 Cos02 gin cos02 gin02 8x2 Oy2 8Z2 M(0:)= 0y10y40y= cos0 sin02 gin0 sin02-cos02 (24) 8x28y28z2 8Z1 0Z1 0Z1 -in0, -co80 8x20y:8z2 0 同理，M(,)为一个满秩的三阶正交方阵。 在(20)中的曲面族函数F(x2,y2,22,p1,02),是一次包络时的母面函数f(x2, y2,z)经两次坐标变换，即把（3)和(21)代入而得到，故有 F(x2,y,z2,p2,92)=f{x:〔x1(x2,y2,z2,02)…,p1,…} .(25) 定理4曲面族函数对相应坐标的偏导数的平方和是坐标变换不变量，且有 F,+F:+F=f2+f2+f2(i=1或2) 证母面函数f(x2,y2,z:)经一次坐标变换时，结论已为定理2所证明。下面证明 经两次坐标变换时，结论为 F2+F好2+F2=f2+fz+f:2 事实上，由(25)对x求导数，有 Fx2=f2(9x2.8x上+8x.y1+x.0z1)+ 0x10x28y!8x20z10x2 +fv:(9x2.0x1+y2.y!+8y2.21)+ 0x10xz0y10x28z18x: +f(月：.8x1+.y+0肥2.1) (26) 0x10xz8y18x&0z10x2 (26)右边()内的每一项皆两个偏导数之积，它们分别由（6)和(24)求出。仿此可 写出Fy和F,2,可得 Fx2 fx2 :Fy2=MT(:)AT()ify2 (27) Fz2j fz2 有 Fz2 fx F::+F:+F1:=(Fx2,Fy2,F:)Fy2=(MTAT fy2)T.MTAT fy2 F22 fz2i f22 所以 .fxa Fi2+F2+F2=(fx2,fy2,f22)AMMTATIfy2 (28) [z2 由于MMT=E,AAT=E,代入(28)即可得证。 一般的，如果母面函数f(x2,y2,zz)经n次坐标变换，(27)就有2n个正交矩阵相 乘，而(28)是4n个正交矩阵之积，结果为单位矩阵，故定理得证。 定理5设F,1,1F。22一F:12≠0，则二次包络面的平均曲率H(2)为 2H(2)= H2}-H2) (F2+F2+F2)37元 (29) 81

日 厉牙 ‘ 旦工二 一 ， 一 ” ‘ “ 鱼上… 。 一越 一 苗 一 哪 一 成 一 氏 贾 百心万矛 一 … 同理 ， 为一个满秩 的三 阶正 交方 阵 。 在 中的 曲面 族 函数 ， ， ， 甲 ， ， 是一次 包络 时的母面 函数 ， ， 经 两次坐 标 变换 ， 即把 和 代入 而得 到 ， 故有 ， ， ， 甲 ， 〔 ， ， ， … … ， 甲 ， 〕 ， … … 定 理 曲面族 函数对 相应 坐标 的偏 导数的平方 和是坐标变换 不 变量 ， 且有 里 ‘ 要 ‘ 之 ‘ 类 票 里 或 证 母面 函数 ， ， 经一 次坐标变换 时 ， 结论 已为定理 所证 明 。 下面证 明 经 两次坐标变换 时 ， 结论为 孟 委 二 二 考 二 事实上 ， 由 对 求 导数 ， 有 ， 。 口 ， 日 一 、 几 ， 一 、 － 卜 － ， 一 － － ，尸 一 － ， 一 ， 口 口 日 口 、 ‘一 ‘会 ‘ 一 ‘骼 一丛 旦里里 多红 里全 、 旦圣上 口 口 口 一 口 口 ， － 宁 口 －口 渔工生 口 鱼 上 口 ’ 日︸ 右边 内的每一项 皆两 个偏 导数之积 ， 它们 分别 由 和 求出 。 仿此 可 写 出 ， 和 ， 可得 才 二 甲 ， 有 二几奋互口月 里 委 二 ， ， ， ， 一 ， 」 〕 · 了 ， 所 以 柔 要 了 二 ， ， ， 由于 ， 了 ， 代入 即可 得证 。 一 般的 ， 如 果母面 函 数 ， ， 经 次 坐标 变换 ， 就 有 个正 交 矩 阵相 乘 ， 而 是 个正 交 矩 阵之积 ， 结果 为单位 矩 阵 ， 故定理得证 。 定 理 主健 了， ， ， 一 铸 ， 则二次 包络面 的 平均 曲率 为 摊 幻 里 要 孟 “ “ 别 笼

其中， H)=u2+2+o)F22-2(ur+yB+@Y)F,2+(a,+B2+y2)F F,11Fg202-F,102 (30) H2)=r2+52+t2 (31) (30)和(31)两式的符号如下， V= Fx2:Fyz1Fy FF2201 Fx21 Fx2 Fy: 。Fy2Fz2Fz2'Fxa 0= B= Y= Fx20:Fy2a2,Fy202F2202,F2282Fx2e2, ra=Fx2x2F3a-2Fx2Fy2Fxay2+Fyay2Fi S2=Fy2y:Fi2-2Fy2F::Fy2z2+F22z2F2 t:=F2iz2F22-2F:2Fx2F:x2+Fx2x2F32 证设二次包络面∑，的第一、二基本量分别为E2、F2、G2和L2、Mz、N:,有【11 2H2)=E2N2-2F2M2+G,L2 E2G2-F 当F,1,:F2:-F,12中0时，∑的方程(20)在P点的某邻域内确定单值可微函数 z2=f(x2,y2,22),把它再代回(20)得恒等式，从中求出基本量代入2H()的表达式 即可得证。 为了应用(29)，下面我们来求出(30)和(31)两式中曲面族函数F(x2,y2,22, 中1，日z)的各阶偏导数。 定理6曲面族函数对相应坐标的二阶偏导数都是二次型，且有 Fx2x2=a1 QaT,Fxy:=81Qa2T, Fx:22=a1 QagT,Fyi:2=a:QaaT, (32) 其中，【10 Fy2y2=a:Qa2T,F:2:2=ag QagT, a11a12a13 fxaxa fxava fxaz2 a =a21 a22 a23=MT(02)AT()Q=fy:x:fyay:fy:z2 asa3i aaz a33 fz2x2 fzay2 fz222. 证由(26)有， Fx2=fx2a1+fyaai:+fzaa13 上式再对x2求偏导数，得 Fx2x2=a(aiifxax:+aiafxzy:+aiofxana)+ +aiz(alifyax2+ar2fyay2+aisfy2z2)+ +ai3(alifz2x2+al2fzay2+a13fz2z2) 有 Fx2x2=alifxax2+2a1alafxay:+2a1a1sfx2z2+ +aiafyay2+2a12a13fy2z2+aisfz2z: 85

其中 ， 念 士。 “ 。 ， 一 日 。 丫 ， 日 ’ 丫 ’ ， 甲 一 甲 里 荟 和 两式的 符 号如下 二二 … ， ， 共 ， … 共 日 … 甲 汽 … … 帕 丫 二 ’ 一 了 ， 犷 。 ’， 冲阵 孚、 一 ， ， ， ， 里 ， ， 里 一 ， ， 要 三 孟 一 孟 证 设二次 包络面 艺 的第一 、 二 基本量 分别 为 、 、 和 、 、 ， 有 石自魂 一 当 。 一 ， 笋 。 时 ， 一 艺 的方程 ， ， 即可得证 。 为 应 用 ， ， 把 它再 代 回 得 恒等式 ， 在 尸点 的某邻域 内确定单 值可 微 函数 从 中求出 基本量 代入 《 “ 》 的表达式 下 面我们来求出 和 两 式 中曲面 族 函数 ， 的 各阶偏 导数 。 定理 曲面 族 函数对 相应 坐标 的二 阶偏 导数都是二次型 ， 且有 争 卜 ‘ 一卜 丁 ， 》 叫卜 ， 叫卜 【 二 ， ， 二 ， ， ， 叫卜 一卜 ， ， 一卜 。 ， 、 斗 ， ， 、 。 ，、 、 ， 。 二 ， ， ， ， 证 上式再对 由 有 求偏 导数 ， 得 ， ， 一 ， ， 。 ， 。 一 一 有 圣 ， 艺 ‘ ， ， 。 受 ， ， ， ， 全 价

上式是个二次型，写成矩阵形式对 Fx2x2=(a11,a12,a13 fzax2 frav2 fr2z2haisl 仿此可证其他， 至于曲面族函数的其他偏导数，计算如下： 由(27)，有 Fx201 fx2 =MT(0:)dA( do fy2 F221 fz2 Fx22 fx2 (33) Fy22= dMT(02)AT()fy: de2 .fz2 由(25)，有 8x名 0p1 F1=fxa. x+fy: 0y2 0p1 0y上+f0p1 022=(fx2,fy2,fz2) ao1 。 8z21 a 注意到（5)，可得 X I F=(,f)dc( y Z1 1 (34) F(f dicy Z 1 考虑到(25)，有 X 2 R:=6fanAe)89 yz 22 1 X名 Ra=a,,）A(pd80 ya d0: (35) Z2 1 iX 2 =(f,f)(dB(02y: doi de2 1 86

上式是个二次型 ， 写成矩 阵形式对 ， ， ， ， … 》 李 ， 一 ， 仿此 可证其他 ， 至 于 曲面 族 函数的 其他偏导数 ， 计算如 下 由 ， 有 ， 甲 甲 ， 、 竺乡丝里立 二 。 一 ‘ ’ ‘ 、 一 尹 而丁一 ‘ 丫 “ ’ ‘ ， 。 ， 、 ‘ 甲 ， 一 ， 兰摆万立 赵 一 印 ， ， 一 一 “ 、 甲 ‘ 产 二 一 、月吐 ‘ 几了 沙 由 ， 有 一日一甲 ， 一 ‘一会甲 ’ ’ 爪不 ， ‘ 艺 名 注 意到 ， 可得 勺 ， ， ， ， 甲 一 甲 ， ‘ … … 仁 。 丫 翌旦恤立 甲 受 考虑 到 ， 有 ， ， ， 甲 卜叨荟纽 。 ， ， ， 甲 名 全 ， ， ， ， ‘一 些镖 一、产， …

(35)是在Sz中的偏导数，只要将(22)代入该式，可得S:中的偏导数： X1 F(fffA() yi d62 1 X I R,=6,fAe)D百0， (36) Z: 1 F(f)dA(d)B0) d02 1 最后，将(22)代入(34)，有· X 2 F.=(:,f)dc)y: do Za 1 (37)· X 2 F()c)y doi Z2 1 如果设二次包络的综合曲率为K”,据)有 K:2)=2H(3)-2H1) 其中，H1)是Σ，在P点的平均曲率。应用上面所得结果，可在S,和S2这两个空间直角坐标 系中计算K:2), 在S2中计算时，用(13)、(17)计算2H(1),用（22)、(23)、(29)至(34)及 (36)计算2H(),此时各式中的(x1,y1,z:)是S:的二次包络接触线上的点。 在S2中计算时，用(14)、(19)计算2H1),再用(22)、(23)、(29)至(33) 及(35)和(37)计算2H(2),此时各式中的(x2,y2,z2)是Sz的二次包络接触线上的 点。 87

是在 中的偏导数 ， 只要 将 代入 该 式 ， 可得 中的偏导 数 ， ， ， 甲 尸嘿些 二 、。 ， 乙 ， 一 ， ‘。 ，兴守 上 ” 一 ‘” ， 。 ， ， ， ， 乍蛇 卫黑组 一 。 甲 口 … 最 后 ， 将 代入 ， 有 ， ， ， 一 ‘一 理著瓮 ” 一 ’ ‘” ， 一 “ 一‘一 ‘ 卜旦普黔 ” 一 ‘” ， 如果 设二次包络 的综 合 曲率 为 婆孟 “ ， 据 ’ 有 咨生 “ 一 ， 其 中 ， 《 ’ 是艺，在 点 的平 均 曲率 。 应 用 上面所得 结果 ， 可在 和 这 两个空 间直角坐 标 系 中计算 孟 急 在 中计算时 ， 用 、 计算 ， ， 用 、 、 至 及 计算 ， 此 时 各式 中的 ， ， 是 的二次包络 接触 线 上 的点 。 在 中计算时 ， 用 、 计算 ‘ ， 再用 、 、 至 及 和 计算 ， 此 时 各式 中的 ， ， 是 的二次 包络 接触线 上的 点