D0I:10.13374/i.is8n1001-053x.1984.02.005 ·北京钢铁学院学报 1984年第2期 非线性广义分裂法 自动化系基础教研室黄汝激 摘 要 本文把分析大规模线性脚络用的广义分裂法推广成分析大规筷线性网络用的非线性广义分裂法。 另一方面，非线性广义分裂法是非线性分裂法的一个推广。后者使用混合基，而且仅适用于其了 子网络N与z子网络N:之间无耦合的非线性网络。前者使用广义混合基，而且适用于其y子网络N,与 Z子网络N,之间有擱合的非线性网络。 一、引 言 Kron.3]于五十年代初所提出的，后来由HaPp4?等人所发展的分裂法只适用于线性 网络。l975年chua和chen2]、[5.提出了广义混合法，证明了分裂法是广义混合法的特 殊情况，并把分裂法推广到非线性电阻网络，称为非线性分裂法。它采用的是基本() 混合基，而且只适用于这样的非线性网络，它的y子网络N1与z子网络N2之间没有耦合。 本文提出的非线性广义分裂法是非线性分裂法的推广和统一，即从混合基推广到广义混 合基，从N:与N2之间无耦合推广到有耦合的情况，并把非线性分裂法与非线性节点-回 路断裂法统一起来了。理论上，它可以采用任意的广义混合基，而且容许所分析的大规模 非线性网络的y子网络N1与z子网络N2之间存在耦合。实际上，常用的广义混合基将是它 的两个特殊情况：混合基和节点-回路基。对应地，常用的非线性广义分裂法将是它的 两个特殊情况：非线性分裂法和非线性节点-回路分裂法。非线性分裂法比起其他非分裂 的分析方法（如节点法、列表法等）6]的优点是：可以增大一台计算机所能计算的网络 规模；若用多台计算机进行并行处理，则可提高解题速度。特别是，如果一个大网络含有 许多相同的子网络时，分裂法的优点更加突出。 本文基本上采用文献〔1)中的符号。 二、非线性电阻网络的广义混合基方程及其解法 考虑一个非线性时不变电阻网络N,它的支路之间可以有耦合（这里采用标准复合支 路[1)。N的伴随线图记为G=(X,U),X为G的点集，U为G的弧（支路）集。假设弧 集U可以分成两个互不相交的子弧集U:和U2,而且U1的元件电压列向量V。:是控制变 量，元件电流列向量i。,是受控变量。U2的元件电流列向量。是控制变量，元件电压列 向量V,是受控变量。非单调电阻支路应按上述要求进行划分。单调电阻元件既可看作是 62
· 北 京 桐 铁 半 院 学 报 年 第 期 才卜线性广义分裂法 自动化系基础教研室 黄汝激 摘 要 本文把分析大规模线性网 络用的 广义分裂法推广成 分析大规模线性网 络用的 非线性广义分裂法 。 另一方面 ， 非线性广 义 分裂法是非线性分裂法 的一 个推广 。 后者使用 混合基 ， 而且仅 适 用 于 其 子 网 络 与 子 网络 之间无辆合的 非线性网 络 。 前者使用广义 混合基 ， 而且适用于 其 子网 络 与 子 网 络 之间有翩合的非线性 网 络 。 一、 己 生‘ 二于 五十年代初所提 出的 ， 后来 由 ‘ 魂 〕等人所发展 的分裂法只 适 用于线 性 网络 。 年 和 〕 、 〔 一 提 出了广义混 合法 ， 证 明了分裂法是广义混 合 法 的 特 殊情况 ， 并把分裂 法推广到非线性 电阻 网络 ， 称为非线性分裂法 。 它采用的是 基 本 混合基 ， 而且只 适用于这 样的非线性网络 ， 它 的 子 网络 与 子 网络 之 间没有 料 合 。 本文提出的非线性广 义分裂法是 非线性分裂法的推广 和统一 ， 即从 混 合基推广到 广 义 棍 合基 ， 从 与 之 间无 祸合推广到有祸合的情况 ， 并把非线性 分裂法 与非线 性 节 点一 回 路断裂法统一 起来了 。 理论上 ， 它 可 以采用任意的广 义混 合基 ， 而 且容许所分 析的大规模 非线性 网络的 子 网络 与 子 网络 之 间存在祸合 。 实际上 ， 常用 的广义棍 合基 将是 它 的两 个特殊情况 混 合基 和节点一 回路 基 。 对应地 ， 常用 的非 线性广义分裂法 将 是 它 的 两个特殊情况 非线性 分裂法和非线性节点一 回路分裂法 。 非线性分裂法 比 起其他非分裂 的分析方法 如节 点法 、 列 表法等 “ 〕 的优 点是 可 以增大一 台计算机所能计算的 网 络 规模， 若用多台计算机进 行并行处理 ， 则可 提高解题速度 。 特别是 ， 如果一 个大 网络含 有 许多相同的子 网络时 ， 分裂法的优 点更加 突出 。 本文基本上采 用文献 〔 〕 中的符号 。 二 、 非线性 电阻网络的广义混合基方 程及 其解法 考虑一个非线性时不变 电阻 网络 ， 它的支路之 间可 以 有祸合 这里采用标准复合 支 路〔 ‘ 勺 。 的伴随线 图记 为 ， ， 为 的点集 ， 为 的弧 支 路 集 。 假 设 弧 集 可 以分成两 个互不 相交的子弧集 ，和 ， 而 且 ，的元件 电压列 向 量 是 控 制 变 量 ， 元件 电流列 向量 。 是 受控变量 。 的元件 电流列 向量 。 是 控制变量 ， 元 件 电 压 列 向量 是 受 控变量 。 非单调 电阻 支路应按 上述要求进行划分 。 单调 电阻元件既 可看 作 是 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1984．02．005
压控的，也可看作是流控的，它们所在支路可适当地归入U1或U2。导纳为零的标准复合 支路应归入U1,阻抗为零的标准复合支路应归入U2。本文考虑的电压、电流都是瞬时值， 所以都用小写字母表示。从而〔1v2)可表示为〔v2)的非线性函数 H1(Cvii〕) (1) 式中上标τ表示“转置”。根据标准复合支路的电压、电流关系[1门，有 -)-N (2) V2 式中j表示独立电流源的电激流，e表示独立电压源的电动势；下标e表示元件，b表示支 路，1和2表示子孤集U:和U2。把(2)代入(1)可推得 (3) 根据文献〔1)，从G移去U2得到Y子图G:,从G缩减U1得到Z子围G2。它们分别对 应于Y子网络N1和z子网络N2。在G1和G2中各选定一棵树t!和t2,组成G的一棵树t=t1U t2。t的补树为I=11LU12。对应于t1的f割集组1与对应于l2的f回路组M2组成G的一个 f混合基E:=(1,M2}。选定一个满秩变换方阵 (4) T2 可把E变换成G的一个广义混合基E={21,M2}。设支路编号顺序为t,11,t2,I2。 用与文献〔1〕中相似的方法可导出广义混合基矩阵 F=Fa+Fb (5,1) Q1 0 TiQu Fa= 会 (5.2) 0 B2) 0 T2Br2 0 Q12 0 T1Qr12 Fb= (5.3) B21 0 T2B21 O 和广义混合善中蓄尔量夫定律的矩阵表达式： Vbl =F (6.1) ib2 F。 =-F (6.2) I Vb2 ib2 式中v。1为广义剖集组21的电压列向量，iu2为广义回路组M2的电流列向量。用F,左乘式 (3)的两边，考虑到式(6)，可推得 63
压控的 ， 也可看作是流控的 ， 它们所在支路可适当地归入 或 。 导 纳为零的标准 复合 支路应归入 ， 阻抗为零的标准复合支路应 归入 。 本文考虑的 电压 、 电流都是 瞬时值 ， 所 以都用小写 字母表示 。 从而 〔 二， 〕 ’ 可 表 示为 〔 叮 〕 ’ 的非线性函数 、 声 ‘声、 ‘ 工、 ，， 、 山 几‘二 公 ” ‘ 「… ’ ‘ … · 班 ‘ ‘ ’一 夕 火 砚 式中上标， 表示 “ 转置 ” 。 根据标准复合支路的电压 、 电流关系 〔 ’ 〕 ， 有 ， 创 二 洲 · 洲 夕 、 洲 派 式 中 表示独立 电流源 的电激流 ， 表 示独 立 电压源的电动势， 下 标 表示元 件 ， 表 示 支 路 ， 和 表示 子弧 集 ，和 。 把 代 入 可推得 翻 一 ” 〔洲 · 孜 ·「 。 根据文献 〔 〕 ， 从 移去 得 到丫子 图 ，， 从 缩减 得到 子 圈 。 它们分别 对 应于 子 网络 和 子 网络 。 在 和 中各选定一棵树 和 ， 组成 的一裸树 。 的补树为 日 。 对应 于 的 割集组 ， 与对应 于 的 回路组 ， 组 成 的一 个 混合签 ， ， ， 。 选定一个满秩变换方 阵 ‘ 忆 」 可把 ，变换成 的一 个广义混合签 ， 。 设支路编号顺序为 ，， ， ， 。 用与文献 〔 〕 中相 似的方法可导 出广义混合 墓矩阵 。 一 … ‘ ’ 一 。 、夕、卫， ， 。 一 二护 … 、 和广义混合签中签尔挂失定律 的矩阵 表达式 。 。 、 了 二 ‘ 浪 ’ · … …数 一 ‘ 二」 一 、 ‘ 式 中 。 、 为广义 割集组 的 电压列 向， ， 。 为广义 回路组 的电沈列向 。 用 。 左 乘 式 的两 边 ， 考虑到式 ， 可推得
》 +FaH 1=0 (7) 这个方程称为非线性电阻网络的广义混合基方程，简称非线性广义混合善方程。它是非线 性电阻网络N中广义混合基列向量〔v“!2)‘必须满足的一个非线性向量方程。它是 chua[5的广义非线性混合方程(39)的推广，即推广到Y子网络Ni与z子网络N2之间有 耦合的情况。 应用Newton-Raphson迭代算法〔6〕解方程(7)，可得迭代公式 -1 [n+1] Ca] of [n] I V 1 1μ2 1 (8) [n+1] [n] y[n] a]n=0,1,2,… i Vo l 42 i/i 、1u2 u2 定义网络N的元件微变混合参数矩阵为 OH1 OHI OH H() HEn] Ovel 0ia2 11 12 H y[n] ,[n]w (9) el oH2 @H2 el H nJ [n] HTo) 1 22 Li.2 色2 Ove1 di。2 色2 它是〔]：)的函数，从式(7)可求得f(〔v:2))的雅可比矩阵（称为N的 广义混合盖E的微变混合参数矩阵)为 of H y[n] iEn]: :2/ D (FaH".+Fb)F:= (10) 2() 2 式中 Y。°=QHQ: (11.1) Zi=B,H"B: (11.2) C=(B:H2i+B:1)Qi=B:HTQ1+C,C=B2Q (11.3) DI1=(QHi2+Q12)B:=01H B:-C (11.4) 把(7)代入(8)，用H"左乘(8)的两边，考虑到(1)，(2)和(6)，可推得 ytn] ，11=0,1,2,… (12) C[a : 2 64
， ， 、 。 、 ， 、 厂 ， 卜 厂 ‘ ， 、 厂 ‘ ， 、 ‘ ，， 少 ’ ‘ ‘ 。 二 。 … ‘ 。 」夕 一 · ‘ 二 。 ‘，， 这 个方程称为非线性 电阻网 络的广义混 合基方程 ， 简称非 线性广义 混合签方程 。 它是非线 性 电阻网络 中广义混合签列 向盆 〔 叮 〕 ‘必 须满足 的一个非 线性向量方 程 。 它 是 〔 ，」的广义非线性混 合方程 的推广 ， 即推广到 子 网络 与 子 网络 之 间 有 藕合的情况 。 应用 一 迭代算法 〔 〕 解方程 ， 可得迭代公式 〕 。 〕 ， 〔 。 〕 肠 。 · 一 “ 一一 卜 ‘ 、 一 一闭 贬 ， 夕 ， ’ ‘ 氮 一 廿 侧 ‘ …司 ， ’ 二 。 ， ， · 一 ‘ 」 、 沼 厂 火 “ 夕 叹 一 “ 夕 一 ‘厂 定 义 网络 的元件徽变混合参数矩阵 为 。 。 ， 。 · 口 一万二 一 万一 一 万不一一 人 口 二 ， ， ， ‘盛 一 ， 一 一 ，一一一一二 】 ， ， 、 ， 一 ， 一 ” “ 甘 “ 一 川 ’ 季三 ， 口 ’ 乍三 ， 仁 少 二苏勺 戈口 一 口 」贬 芯苏 它是 〔 万扩” 二共〕 · 〕 ，的函数 ， 从式 可求得 〔 广义混合签 的徽变混合今橄矩阵 为 称 为 的 …丁 。 ‘ … ‘ 。 ， ， ， 么 · ‘ “ 艺 月 犷 ‘ “ 一不蕊了一 三梦〕 ‘ 君〕 ， … … ﹄ “ ” 二 护 ， ﹃ 肛，目 式中 曰任 ‘ 、 、、，、， … ‘产 一，工‘几， ，一，上 了、‘、了、 。 “ 二 ， 尸 丁 诊 ’ 二 少 下 一 号 卜 生飞 ’ 、 己 ， · 〕 二 夕〕 玉 呈 丢一 匕 八 二 互 把 代 入 〔 〕 用 左乘 的两 边 ， 考虑 到 象 十 ‘ 〕 兮〕 和 ， 可 推得 二 ， ， ， … 了 ， ‘ 卜，曰 “ 〕 卜 〕 协 月气才八厂少
式中 Cn] 01 6 =Fa +H] e[nj μ2 -yfn] in b2 Q1(-i+H+H) (13) Ba(-v2+H5v+Hi) 方程(12)称为非线性电阻网络的线性化广义混合盖方程。它是chua[5]的方程(44) 的推广，从f混合基推广到广义混合基，从y子网络N1与z子网络N2之间无耦合的情况推广 到有耦合的情况（这表现在C[]和D表达式中的第一项)。它统一了现有的各种线性 5 化混合基方程，混合基方程和节点-回路基方程都是它的特例。 对于线性网络，通常不用迭代算法，从式(7)可直接推得它的广义混合基方程，形 式上类似于式(12)，不过没有右上标迭代号〔n〕和〔n+1)。 三、非线性电阻网络的广义分裂法 对于大规模非线性电阻网络N,可适当选择分裂方案，使得Y子网络N1和Z子网络N2 各含有若干个可离的分网络。设N1含有p个彼此间无耦合的可离分网络N,N子，…N9, N2含有q个彼此间无耦合的可离分网络N2,N,…,N,但是N1与N2之间仍然容许 有耦合。支路顺序规定为 t,1,t好，1好，…，t,1)t姑，1经，t经，1经，…，t,1 (14) 相应地，取变换方阵T1和T2为分块对角方阵： T1=Di(Ti,Ti,,Tf),T2=Dit(Ti,T,..,T9) (15) 那么Q1和B2也是分块对角方阵： Q1=Dig(Q,Q,…,Q),B2=Dig(B2,B径，…，B2) :(16) 式中 Q=T1Q11,j=1,2,…,p (17.1) B吃=TB2,k=1,2,…,g (17.2) 而且式(1)和(9)变成 i v H(v)+H(站2)+…+H(i82) }i2. y H9:(v1)+H2(2)+…+H2(i82) =H (18) ve2 H,(i)+HH)(v)+…+H(v) 12 H2(i2)+H21)(v.1)+…+H1() 和 65
式中 老 〕 叭 〕 ︺ 卜到 一 ， 长 … · 留 二 一‘忘全〕 至 〕 是兮〕 盆〕 ‘ 乞瑟〕 ’ 一 留 护 汗 瑟’ ‘ 留 、 方程 称为非线性 电阻 网络的线性化广 义混合甚方程 。 它是 ，〕 的方 程 “ 的推广 ， 从 棍 合基推广到广义混 合基 ， 从 子 网络 与 子 网络 之 间无藕合的情况 推广 到有祸合的情况 这表现在 〔 〕 和 ， 」表达 式 中的第一 项 。 它统一 了现 有 的 各种线性 化混合基方程 ， 混合基方程和节点一 回路基方程 都是它 的特例 。 对于线性网络 ， 通常不用迭代算法 ， 从式 可直接推得它的广义混合基 方 程 ， 形 式上类似于式 ， 不过没 有右上标迭代号 〔 〕 和 〔 〕 。 三 、 非线性 电阻网络的广义分裂法 对于大规模非线性 电阻 网络 ， 可适当选择分裂方案 ， 使 得 子 网络 和 子 网络 各含有若干 个可离 的分网络 。 设 含有 个彼此 间无祸合的可 离分网络 ， 专 ， … 、 ， 含有 个彼此间无藕合 的可离分 网络 孟 ， 圣 ， … ， 星 ， 但是 与 之 间 仍 然 容 许 有祸合 。 支路顺序规定为 ， ， 子 ， 荃 ， … ， 气 ， 气， 孟 ， 孟 ， 呈 ， 鳌 ， … ， 且 ， 呈 ‘ 相应地 ， 取变换方阵 和 为分块对角方 阵 一 ， 资 ， … ， ， 孟 ， 圣 ， … ， 呈 那 么 和 也是 分块对 角方阵 一 ， 子 ， … ， ， 孟 ， 圣 ， … ， 飞 式中 人 气 ， ， ，… ， 轰怡 ， ， ， … ， 和 变成 。 。 … 二 认 矛 孟 人 … 了 气 气、 … 叭 孟 二 轰 矛 … 孟 一 ‘、 、 … 、 曰 矛 ‘ 甲匡口阮比阵以已。， ， 日一磷 而且式 署 … … ， … … 月 尝 、 ， … 罗 ， 和
Hi[) H]…H] Hote) H4】…H H[e]= H]…H] Hig) : H]…H] H OHI aH是 6H19 8vei 8il ∂i82 : OH? H胜… OH? vafe] v 0 0igz aH出… OH OH:: a (19) av 0v: 8 : oHh... oH? OH3 Ova aver ∂i82 i设] 从而方程(12)变成 Y D D v+1 i Yo D…Da v+1 j81 n=0,1,2,….(20) C…ci: Zif3 站+1) e : : Cg… Cp8J Z i8股+1门 e27 这个方程称为非线性电阻网络的线性化多级广义混合善方程，式中 Y=QlH(Q)八j=1,2,…,p (21.1) Z]=B生H1(B),k=1,2,…,9 (21.2) C=B生H(Q)+C,j=1…,pyk=1,…,q (21.3) D=QH(B吃)-Cpj=1,…,pyk=1,…,9 (21.4) R=0(-+v+2),i=12,p (21.5) e=B路(-J+Hi+2H]),k=1,2,…,9 (21.6) j1 66
‘，胜‘月，卫 ， 〕 〕 … 一 ， 〔 〕 孟 ， 〕 。 〕 气、 … 飞沪 户 砰 “ 〕 … 兴 。 〕 台〕 而尸卜 ‘了 、 … 口 孟 二 口 者 ， 口 尝 ， 口 兮、 口 忿 口 忿 呈 苦 … 叭 口 忿 才 心 、 … 二 口 … ，， 〔 〕 二 口 瑟 。 〕 口 曰 日 才 … 口 口 忿 忿 轰 ’ 〕 从而方程 变成 一 〕 二 ‘ 石 马 〕 】 〕 ， ， ， ， … 。 ﹃ 肠 ，二 ︸ 卜 厂 ︸ 二 ‘ 〕 二宁 ‘ 〕 二万 “ ，〕 急全 ‘ … 欲 〕 … 括 〕 这个方程称为非线性 电阻 网络的线性化多级广义混合签方程 ， 式 中 荟 ’ 、 、 ， 、 ，， ， ， … ， 吉 〕 、 气扩〕 盆 ， ， ， ， … ， 牙 〕 、 梦 · 、 · 己 、 ， ， … 公 〕 麦 · 〕 飞一 己 ， ，… 。 目，甘任 、少、产、声刀 … 厄‘矛、、户 ，口自，曰，上，， 矛 ‘ 、 ， ， ， … ， ， ， ，… ， 勺 二〕 、 一 毛几〕 犷〕 ， 孟反 · 〕 艺 五 ” 全二 ， 〕 ， ， ，… ， 鉴 一 冲 〕 铃 ， 毖 ’ 艺 二 梦 · 〕 ，乙气〕 ， ， ， … ， 。 。 玄 三﹄尸 ﹄
C=B,Q=T生B(I生t)T,j=1,…Pk=1,…,q (21.7) 从方程(20)解出*1和v*1,可得 i-[2-多c(）], ceee-,c(g) (22.1) -[y-各，D(2c]' 全-是，D(z'e (22.2) 式中C和C各表示C的第k块行和第块列，D和D:各表示D的第块行和第k块 列。 下面按P和q的大小分四种情况讨论解的分裂算法： 1.q级非线性广义分裂法一p>q>1 当P>q>1时，从式(22.2)出发计算比较简单。令 Y9oY-是，D(z'c ，0=1,2,…9 (23.1) iae[DD以)+D8了]a=1,…,q),iej (23.2) 则式(22.2)可改写成 v5=(Y9）'6=[Y-a-Dgz）'cg]'j (24) 为了降低所运算矩阵的阶数，重复应用逆矩阵引理[7门，从上式可导出一组逆矩阵晨开 式： (y9）广'i=[y9-w-D(z）'c]'i =(Ya-）'j+(Ys9-n）'D[z-cg(y9-o） Dg]广'c(v9"）'j9 a=q,q-1,…,1 (25) 式中(Y日1）)'j是p×(a-a+1)分块矩阵，它的第块行为 [(y9'j.=[(v-w'j].+[(Y-we）'D]. {z-三cg[(n）'D',c[(-w i]jj=1,2,,p. (26) 67
‘ ， 誉 ， 飞 ， 兰 、 ，， ， … ， ， · ’ ， 。 器 ’ 〕 和 二号 ’ 〕 ， 可 得 卜艺 一 从方程 红解们出 一 军 〕 · 飞 下 瞥 一 · 〕 〕 一 ‘ 言 呈〕 ， … 人 、声 一 口 「。 〕 △ ， 万 ，一 二二 尸 万母〕 户 “ 气〕 瞥尹 公〕 艺 。 艺 尸，、 碑 尸 二 尸 。 〕 卜 一 ‘ 〕 一 ‘ 。 飞 ‘ 孔 〕 全 黔 二‘ 〕 公 」 一 ‘ 〕 。 盯卜 卜艺 粉 式 中 杏〕 和 片 〕 各表示 的第 块行和第 块列 ， 〕 和 比〕 各表示 的第 块行和第 块 列 。 几 下 面 按 和 的大小分 四种情况讨论解的分裂算法 。 级非线性广义分裂法一 当 时 ， 从式 出发计算比较简单 。 令 《 〔 〕 艺 全 「吧 一 口 一 口 二 ， 〕 七，〕 一 ‘ ‘ · ’ 。 「 会 ‘， 二 “ 〕 了乳〕 ‘ ， ， ， ， … ， … ， ， 。 草 匀 〕 。 、了矛、 自‘， 口 十 扣 匕 则式 可 改写成 互 ，〕 「· 〕丫 ‘ 、 一 。 ‘ 为了降低所运算矩 阵的阶数 ， 式 亡 〕 一 【 ‘ 一 ，〔 · 〕 一 〕 曾〕 一 ‘ ， 一 ’ 奇 重 复应用逆矩阵引理 〔 〕 ， 从上式可导 出 一 组 逆 矩 阵 展开 ，「· 〕 一 ‘ 二 一 ，「· 〕 一 二份 · 〕 一 ‘ 留 一 ’ 日曰 「或 一 〕 一 ’ 〕 一’ 〔 · ’ 一 ’ 刁 · ’ 一 三，〕 一 ‘ ’ 〔 · 」 一 ‘ 吸份」 一 ’ 呈” 〕 ‘ 一 ， 一 ‘ 否寻 ， 一 一 口 式 中 ” ’ · 〕 一 ’ 打 是 一 。 分块矩 阵 ， 它 的第 块行为 〔 ‘ ， 『 · 一 ‘ “ 一 ‘ 一 ” · 刁 一 ’ 刀 〕 ‘ 一 ‘ ’ 〔 · 〕 一 ‘ 几叼 阵 豆 · 刁 。 一 「 几 一 ‘ 刀〕 艺 二 二〕 【 一 ‘ ’ 尸 · 〕 一 ‘ 冰 ， ， 二， ， 。 ‘
根据上式可导出解方程(20)的算法步骤： 0>山0=(z）e,k=1,…,9 =-是D0,1,p 1.Dxxo…xaxg]=(）'[DDg…g j=1,…,p […xx得]=C[x.…xax得] j=1,…,p 1.2》 […a]是[。 ] 1.3) [yo -(2-x）[x"…x] 1.4> [xxx85]-[xxx思]+ +x"[y…y,y。], j=1,…p [xx8]c[xox8]i=1,…,p 68
根据上式可导 出解方程 的算法步骤 。 一 “ ‘ 七梦〕 一 ‘ 价 二‘ ， … ， 多 艺 万公〕 弈〕 广 。 卜 ，… ， 二 、 。 十 〕 。 协么 。 、 ‘ ， 弓 牙盆 ‘ ， 厂 」 “ 〕 … 、 六 ，〔 · ， ，，认、飞飞 】 二 乙几 · 顶 一 ‘ 〕 一 君〕 … “ 了叮之〕 ， … ， 艾、 ‘ ’ ‘ ‘ 、 二 乙 、 ，’ 厂 “ 〕 ，梦’ 「· 〕 … ‘ ’ 〔 “ ， ‘拈 ’ 飞 〕 。 沙 、 艺 ，二 一一 甘 ‘ ﹄ ， 、出二， 时 产 补 ‘， ” … 矛 ‘， ， ‘ ’ ‘ 一 · 夏、 【 · … 动 ，闲 二 〕 。 “ ’ 一 ‘ ’… 矛 ‘ ’ 厂 二 二 ” “ 一 夏乒 ‘ 君， 尸 。 ‘ · 飞 一 ’ ‘ ” 犷‘ “ … 。 。 以 》 ， ， 瑟气、 〔 · 〕 〕 ‘拈‘ 、 “ 】 ， 「· 〕 … 矛 ，「· 飞 ，“ · ， ， … 。 ，「· 二… 瑟、、 呈〕 ，梦， · 〕 夏‘瑟气号 艺 【 、 ‘，「· … ， 「 · 飞 名 「 」 五 ‘瑟 · 、 ， ， 二 ， ， 气月甘， 口 、 ‘己护‘ 卜 ︸ ︸ 。 … 补 ” 「’ 。 幻 义 五 、 玉 · … 夏 ，「· “ 夏‘瑟气、 」 矛 ， 一 ‘ ， “ 〕 “ ’ 〕 一 了，， 〔 · 〕 一 ‘ 艺 、万 ‘ 盈 、 ， 。 》 姿 飞 … 六 ” 「‘ 〕 咨从〔 ’ 」 尸 ‘ ’ ，饥 尸 叭 二 中 · 、梦，〔 ’ 」 聋， · 飞 岔吮 〕 。 二 ’ ，飞〔 ” 〕 〕 ， 二 ， … ， 。 …。 「。 仁 。 。 、 厂。 ， ， 「，矛 ， … ， … … 户 ，严 ，上 、 一 “ 又 屯 ’ 拓 一】 ， 一 儿 ， ’ 勺吸， 一 岛 币 ” 二 一 一 ‘ ， 夕， 。 厂二 〕 《帅 〔少 月佣 ，’ 执 。 一法
〈q.2> [m文9][08品] q.3〉 yg=（z-xg@）'x g.4) v*1=x8出)=x8+x0iyg8a,je1,…,p 2+1=1o-(2）'号Cv,k=1,,9 1 红法中求矩阵之逆的运算可代以LU分解因子法并结合应用稀疏矩阵技术，以提高效 率。 根据上述可得q级非线性广义分裂算法：{0}把网络N适当分裂成P个y子网络N1(j= 1,…,P) 和q个z子网络N(k=1,…,q),选定广义混合基E.对于j=1,…,p和k=1,…,q,写 出或算出： Q=TQ,B路=T生B,C=B路，Q=TB(1t4)T 并选定初始猜测值5和，置n=0. {1}求支路和元件的变量和参数： vi]=Qir vor,vafsl=voa]+ei,j=1,...,p t]=Bi,i]=]+j2,k=1,…,9 代入式(18)和(19)可求得(j=1,…,P),v2](k=1,…,q) 和H,H,H,HJ。 {2}求广义混合基的微变混合参数和等效源， 应用式(21.1)~(21,6)。 {3}应用解方程(20)的算法步骤〈0〉~(q.4)解方程(20)，求出+1和 i*1。 {4)若ll+1]-v川≤e(j=1,…,p),‖i*1门-川≤e(k=1,,q), e为容许误差，则停止。否则，n←n+1,回到步骤{1}。 2。P级非线性广义余分裂法一q>p>1 本法与上法相对偶，对偶量如下： iu2←→Val,eu2←→jo1,Zu2←→Ym1, C←→D,k←→j,q←→p, 69
、 ‘‘ ‘犷 声龟 厄、 八 。 一 卜 。 《好 · ’ 参 · 〕 二 呈 “ ‘ 沙 一 一 ‘ 动、 ‘ · ， 、 “ 〕 ‘留 〔 ” 一 界分尹 驴 ，‘ 一 “ 。， 「“ ， 二 ‘ ， 一 ‘ 一 ‘ 二 ’ ，‘ 。 一 · 一 ‘ 睿 · 公 · ‘ 〕 ， 卜 ‘ ， 一 算法 中求矩 阵之逆的运算可代 以 分解因子法并结合应用稀疏矩 阵技术 ， 以提 高 效 率 。 根据上述可得 级非线性广义分裂算法 把 网络 适当分裂成 个 子 网络 、 ， … ， 和 个 子 网络 、 ， … ， ， 选定广义混 合 基 对于 ， … ， 和 二 ， … ， ， 写 出或算出 卜 “ ， ， 卜 ‘ ， 己 · ” · ‘ ， ‘、 ， 并选定初始猜测值 咭 〕 和 七猛 。 」， 置。 。 求支路和元件的变量 和参数 孟气 · 〕 ，厂 ， 乙了 ， ， · 」 ，毛’、 。 〕 乞 ， ， … ， 七呈 · 〕 岌 · 飞 〕 ， 全奋」 七墓 “ 」 含 ， ， … ， ‘一，龟 才凡 翔 ’ 认几、 “ 玲一 、 、 李 代入式 和 可求得 毛气 ’ 〕 ， … ， ， 七三 ‘ 〕 一， … ， 和 ，沂〕 ， 查〕 ， 瞥 」， 飞皆」。 求广义混合基的微变混合参数和等效源 应用式 。 。 。 应用解方程 的算法步骤 解方程 ， 求出 瞥 ‘ 〕 和 索 · ‘ 」。 若一， 瞥 ‘ 〕 一 瞥尹〕 一《 ， … ， ， 一索“ 〕 一 忿墓 · 」一《 。 ， … ， 。 为容许误差 ， 则停止 。 否 则 ， ， ， 回到步骤 。 级非线性广义余分裂法一 本法与上法相对偶 ， 对偶量如下 。 咬 侧卜 。 ， “ 峨 。 ， 。 峨‘ 知 。 ， 呀，争 ， 吟 补 ， 峨 争
3。一级非线性广义分裂法一P>q=1 当p>q=1时，为了统一算法，也可用（一）的算法，令q=1。不过比较麻烦。不如 直接从(22.1)出发进行分裂求解，比较简单，物理意义也比较清楚。考虑到q=1,省略 上、下标k,则式(22.1)变成 =(z）'e,e=e-￡cx, (27) j=1 式中 Z合z-,cx,[xx]=(Y）'[6D],28) j=1 另外，从式(20)，令q=1,可推得 v=(Y）'(3-Di1） =x-x]*1,j=1,2,…,p. (29) 根据上列方程，可以制定非线性电阻网络N的一个有效的一级非线性广义分裂算法如 下： {0}~{2}与（一）中的{0}~{2}相同，不过q=1. {3}求(j=1,“,P)和1门，可应用解方程(20)(q=1)的算法步集： (1)解4求出[xx]和[]G=1,,p): LU分解Yi=LUi1→前代解Lio[yPy]-[D] →回代解U[xPx]-[y0y]-[x]=C[xx] (2)求互联网络参数2和等效源e, =z-x,eeg-是xt j=1 i=1 (3)解互联网络求：*1： LU分解Z:=LUa→L]y=e,前代求y] U1*1=y,回代求*1. (4)修改N的解*1)o=x求出*1： v*门=x]-xia*,j=1,2,…,p. {4}与（一）中的{4)相同，不过q=1。 70
一 级非 线性广义分裂法一 当 二 时 ， 为 了统一算法 ， 也可用 一 的算法 ， 令 。 不过 比较麻 烦 。 不如 直接从 出发进行分裂求解 ， 比较简单 ， 物理 意义 也 比较清楚 。 考虑到 二 ， 省 略 上 、 下标 ， 则式 。 变成 邹 了、 山 ‘ ， 了、、 · ’ 〕 二 牙古“ 〕 一 ’ 百‘君〕 ， 言“ 〕 ·二， 一 崖 ’ 〕 · 尹」 式中 另外 ， 一 卯 全 一 ， ，卿‘ 畏 几 从式 ， 令 · 〕 〕 ， 【 · 〕 〕 一 ‘ 一 ’ 公“ · “ ， ， 可推得 · 沂一 〕 二 瞥〕 一 ’ 普〕 二 」一 〕 ‘ 飞’ 」， · ， ， … ， · 根据上 列方程 ， 可 以制定非线性 电阻 网络 的一 个有效的一 级非线性广义分裂算 法 如 下 《 与 一 中的 相 同 ， 不过 二 求 公〕 一 ， … ， 和 二呈罕‘ 〕 ， 可应用解方程 的算法步骤 “ ， 解 、求出卜 “ 、 〕 〕 和 【 厂 〕 几 分 解 梦尹〕 ‘ 一 “ 〕 ‘ 〔 ’ 〕一前代解 ，〔 · 〕 ，分 〕 ， 〕 ‘二“ · 〕」 一 回代解 ，「” 〕 〕 ，〕 · 求互联 网络 参 数 牙冰 〕 和等效源 卜奈 〕 夕 〕卜【 牙 〕 牙夕 〕卜 · 几 【 扩 〕 夕 〕 〕 〔 卜 沸 〕 洲一置 舔 〕佃一号 解互联 网络求 认飞“ 〕 分 解 艺二 “ 〔 · 〕 「· 〕 ， 〔 · 〕 「· 〕 · 言二飞〕 ， 前代 求 · ， 犷 “ 〕 上呈 十 ‘ 〕 一 〔 · 〕 ， 回代求 盆兰 ‘ 」 修改 人的解 蓄尹 ’ ‘ 〕 ‘” 少求 出 公 ‘ ’ 尹 ’ 」 〕 一 〕 凌‘ ’ ， ， ， … ， 与 一 中的 谧 相 同 ， 不过
4。一级非线性广义余分裂法一q>P=1 本法与（三）法相对偶，对偶量如（二）中所示。 理论上，非线性广义分裂法中的广义混合基可以是对应于任意满秩变换方阵T,和T: 的。实际上，常用的将是非线性广义分裂法中较简单的两种特殊情况：、 (1)非线性港本(f)分裂法一采用f混合基，T1=I1,T2=I2,I1和l2为单位方阵。 Chua的非线性分裂法[2]、[5]就是这里的非线性f分裂法的一个特殊情况，即y子网络N1 与z子网络N:之间无耦合的情况。 (2)非线性节点-回路分裂法一采用节点-回路基，Q1==[A(t)A()], B生=[B()B(1)小，A是N的关联矩阵，B酷是N的回路矩阵。对应的变换方阵 为T=A(t)(i=1,…,p)和T生=B(1)(k=1,…,q)。 由于通常节点法和割集法比回路法要简单方便些，实际上常用的将是P>q≥1（尤其 是P>q=1)情况下的非线性「分裂法或非线性节点-回路分裂法，很少采用与它们相对偶 的余分裂法。 四、结束语 本文的非线性分裂法表达成非线性广义分裂法的形式，即采用广义混合基并容许N} 与N之间有耦合。它的重要意义在于理论上推广并统一了现有的各种混合型分裂法（不 包括节点撕裂节点法)。这种推广化和统一化对于网络理论的教学和科研是十分必要的。 在散学中可以避免逐一讲授各种具体分裂法，只介绍一个统一的广义分裂法，而把「分裂 法和节点-回路分裂法看作它的两个特殊情况。它还提供探讨其他分裂法的可能性。 实际上，若无其他原因，为了简化算法，应采用分裂法或节点-回路分裂法，尽可能 选择p>q=1且N与N之间无耦合或少耦合分裂方案，在算法中把线性元件与非线性元 件分开，迭代时只篇计算非线性元件的控制变量并修改其参数影算法各步中，对于j=1,2,… P和k=1,2,,q,可用一台计算机进行顺序运算，以增大一台机器所能计算的网络规 模，或用多台计算机进行并行处理，以提高解题速度，有些步骤可以简化，如Y:和Z2可根 据物理意义从输入数据直接形成，不必通过矩阵TQ,和T:B2的运算；解非线性方 程组除了用迭代法外，也可用分段直线化法等，解线性代数方程组除了用LU分解法外， 也可用主元消去法等。总之，本文主要是提出非线性广义分裂法的基本理论。根据具体情 况可以对算法中的某些细节进行变化、改进或简化，这些是比较容易做到的。 对于非线性动态网络N,如果采用固定的阶和步长，把N对时间离散化，即把N中所 有元件用它们的“伴随离散电路模型”(“瞬态伴随模型”)代替，得到一个伴随高散非 线性电阻网络N*,那么也可以应用本文提出的非线性广义分裂法进行迭代求解。 参考文献 〔1〕黄汝激，“一般线性网络的混合分析法。”电子学通讯，vol.4,No.4,1982。 71
一级非线性广义余分裂法一 本法与 三 法相对偶 ， 对偶量如 二 中所 示 。 理论上 ， 非线性广义分裂法 中的广义混合基可 以是对 应于 任意满秩变换方 阵 和 的 。 实际上 ， 常用 的将是非线性广义分裂法中较简单的两 种特殊情况 、 非线性签本 分裂法一采用 混 合基 ， ， ， 和 为单位方阵 。 的非线性分裂法 〔 “ 〕 、 〔 ，〕 就是 这里 的非线性 分裂法 的一个特殊情况 ， 即 子 网 络 与 子 网络 之 间无藕合的情况 。 ‘ ， 非线性节点一 回路分裂法 一采用 节 点一 回路 基 ， “ 、 ，“ ，、 ， ” 卜 “ ，” ，‘ ， 、是 “ 、的关联矩 阵 ， 提 “ 、的回路矩阵 。 对应 的变换方 阵 为 、 · ， 、 ‘ ， 一 和 ‘ 一 ‘ ” ‘ ， 一 。 由于通常节点法和割集法 比回路法要简单方便些 ， 实 际上常用 的将是 》 尤 其 是 二 情况 下的非线性 分裂法或非线性节 点一 回路分裂法 ， 很 少采用 与它们相 对 偶 的余分裂法 。 四 、 结 束 语 本文 的非线性分裂法表达成非线 性广义分裂法 的形式 ， 即采用 广义混 合基并 容 许 与 轰之 间有祸合 。 它的重要意义在于理 论上推广 并统一 了现有的各种混 合型 分 裂 法 不 包括节点撕裂节点法 。 这种推广化和统一 化对于 网络理论 的教学和科研是十分 必要 的 。 在教学 中可 以避免逐一讲授各种具体分裂法 ， 只介绍一 个统一 的广义分裂法 ， 而把 分 裂 法和节点一 回路分裂 法看作它 的两个 特殊情况 。 它还提供探讨其他分裂法的可能性 。 实际上 ， 若无其他原 因 ， 为 了简化算法 ， 应采用 分裂法或节点一 回路分裂法， 尽 可 能 选择 且 人与 岌之 间无祸合或少祸合分裂 方 案 在算法 中把线性元件与非线性元 件分开 ， 迭代时只 需计算非线性元件的控制变量 并修改其参数， 算法各步中 ， 对于」 ， ， … 和 ， ， … ， ， 可用一 台计算机进行顺序运算 ， 以增大一 台机器所能计算的 网 络 规 模 ，或用 多台计算机进行并行处理 ， 以提 高解题速度 ，有些步骤 可 以简 化 ， 如 七和 气可 根 据物理 意义从输入数据直接形成 ， 不 必 通过矩 阵 气 和 岌 梦的运算， 解非 线 性 方 程组除了用迭代法外 ， 也可用分段直线化法等， 解线性代数方程组 除了用 分 解 法 外 ， 也可用主元 消去法等 。 总之 ， 本文主要是提 出非线性广义分裂法 的基 本理论 。 根据具体情 况 可以对算法 中的某些 细节进行变 化 、 改进 或简化 ， 这些是 比较容易做到的 。 对 于非线性动态 网络 ， 如果采用 固定的阶和步长 ， 把 对 时间离散化 ， 即把 中 所 有元件用 它们 的 “ 伴随离散 电路模型 ” “ 瞬态伴随模型” 代替 ， 得到一个伴蔺离傲非 线性电阻 网络 ，， 那么也 可 以应用本文提 出的非线性广义分 裂法进行迭代求解 。 参 考 文 献 〔 〕 黄汝激 ， “ 一般线性 网络的棍合分析法 。 ” 电子学 通讯 ， ， ，
