§3齐次线性方程组的基础解系 齐次线性方程组 +…+a1nxn=0 a1x+a2x2+…+a2nxn=0 (1) 可写成向量(或矩阵)方程为Aa=0 (2) 其中A= 0 若x,x2…,x是(1)的解,则称a=:为(1)(或(2))的解向量。 解向量的性质 定理1:设a1,a2是(1)的两个解向量,则a12a2的任一线性组合 a=ka1+k2a2仍为(1)的解向量。 证:将α=k∝1+k2a2代入(2)左边,得 Ad=A(k,a,+k,a2)=kAd,+k,,=0+0=8m 定义1:设a1,a2…是齐次线性方程组(1)的r个解向量,如果 1)a1,a2…;a,线性无关 2)(1)的任一解向量a是a1,a2…,a,的线性组合。 则称a1,a2,…,∝,为(1)的一个基础解系。 (注,(1)的基础解系是(1)的解向量组的一个最大无关组) 、基础解系的求法 1、设R(A)=r,且A的左上角的r阶子式 0§3 齐次线性方程组的基础解系 一、 齐次线性方程组        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     （1） 可写成向量（或矩阵）方程为  = （2） 其中                = m m mn n n a a a a a a a a a     1 2 21 22 2 11 12 1 ，               = n x x x  2 1  ， m               = 0 0 0   若 n x , x , , x 1 2  是（1）的解，则称               = n x x x  2 1  为（1）（或（2））的解向量。 二、解向量的性质 定理 1： 设 1 2  , 是（1）的两个解向量，则 1 2  , 的任一线性组合  11 22 = k + k 仍为（1）的解向量。 证： 将  11 22 = k + k 代入（2）左边，得  =  ( ) 11 22 k + k = 11 + 22 k k = + = ∥ 定义 1：设   r , , , 1 2  是齐次线性方程组（1）的 r 个解向量，如果 1)   r , , , 1 2  线性无关； 2) （1）的任一解向量  是   r , , , 1 2  的线性组合。 则称   r , , , 1 2  为（1）的一个基础解系。 （注，（1）的基础解系是（1）的解向量组的一个最大无关组） 二、 基础解系的求法 1、 设 R(A) = r ，且  的左上角的 r 阶子式 0 1 11 1  r rr r a a a a   