解:以所给向量为列组成矩阵A 101 101 10 A=123→)022 1561055 000 因R(A)=2<3向量个数),所以所给向量组线性相关。 例4.2讨论n维单位坐标向量e12,en的线性相关性 解:因为R(A)=R(e1,e2y…,En)=n,所以向量组线性无关。 例43设a1,a2,a13线性无关,试证B1=a1+a2,B2=a2+a3,B3=a3+a1线性 无关 证:不妨设a1,a2,a2均为列向量,则 101 (B1,月、B)=(a1a2,a1)110=(a,a2a3)C 因为矩阵C可逆,所以C可表示为有限个初等矩阵的乘积,即矩阵(B,月2,B3)可认为由矩 阵(a1a2,a3)经有限次初等列变换得到,从而矩阵(B1,B2,B3)的秩等于矩阵(a1,a2,a3) 的秩,而(a1,a2,a3)的秩为3,所以(月,B2,B3)的秩为3,因此(B1,B2月3)线性无关 例44设a,a2…,a线性无关,若a1,a2…,a1B线性相关,则B可由a1,a2…,ax1 线性表示。 证:因a1,a2,ar1,月线性相关,故有不全为零的数k1,k2…,k,使得 ka1+k2a2+…+k,a1+kB=0。要证B可由a1,a2…,ax,线性表示,只需证k≠0。 用反证法,设k=0,则k,k2,k不全为零且能使k1a1+k2a2+…+kar1=0,这 与a,a2,1线性无关矛盾,矛盾表明k≠0,即B可由a2a2,a1表示为 ka1+k2a2+…+k,a1) 例4.5讨论向量组a1=(100,23),a2=(0,10.46)a3=(0.0,.2,2)的线性相关性 解:因为向量a1a2,a3分别是由e1=(100,e2=(010)e3=(0.01)加上两个分量得 到的,而e1,e2,e3线性无关,所以根据上面的结论知a1,a2a3线性无关。解： 以所给向量为列组成矩阵 A           −           →           = − − 0 0 0 0 2 2 1 0 1 2 5 0 5 5 0 2 2 1 0 1 1 5 6 1 2 3 1 0 1 3 2 2 1 3 1 A r r r r r r 因 R(A) = 2  3(向量个数) ，所以所给向量组线性相关。 例 4.2 讨论 n 维单位坐标向量 n e ,...,e 1 的线性相关性。 解： 因为 R(A) = R(e1 ,e2 ,...,en ) = n ，所以向量组线性无关。 例 4.3 设 1 2 3  , , 线性无关，试证 1 1 2 2 2 3  = + ,  = + ， 3 =3 +1 线性 无关。 证： 不妨设 1 2 3  , , 均为列向量，则 ( , , )C 0 1 1 1 1 0 1 0 1 ( , , ) ( , , ) 1  2  3 1  2  3 = 1  2  3           = 因为矩阵 C 可逆，所以 C 可表示为有限个初等矩阵的乘积，即矩阵 ( , , ) 1  2  3 可认为由矩 阵 ( , , ) 1  2 3 经有限次初等列变换得到，从而矩阵 ( , , ) 1  2  3 的秩等于矩阵 ( , , ) 1  2 3 的秩，而 ( , , ) 1  2 3 的秩为 3，所以 ( , , ) 1  2  3 的秩为 3，因此 ( , , ) 1  2  3 线性无关。 例 4.4 设   r , ,..., 1 2 线性无关，若 1 ,2 ,...,r , 线性相关，则  可由   r , ,..., 1 2 线性表示。 证： 因 1 ,2 ,...,r , 线性相关，故有不全为零的数 , ,..., , k1 k2 kr 使得 k11 + k22 ++ krr + k = 0 。要证  可由   r , ,..., 1 2 线性表示，只需证 k  0。 用反证法，设 k = 0 ，则 k k kr , ,..., 1 2 不全为零且能使 k11 + k22 ++ krr = 0 ，这 与   r , ,..., 1 2 线性无关矛盾，矛盾表明 k  0 ，即  可由   r , ,..., 1 2 表示为 ( ) 1 k1 1 k2 2 kr r k   +  + +  − =  例 4.5 讨论向量组 (1,0,0,2,3), (0,1,0,4,6), (0,0,1,2,2) 1 =  2 = 3 = 的线性相关性。 解：因为向量 1 2 3  , , 分别是由 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) e1 = e2 = e3 = 加上两个分量得 到的，而 1 2 3 e ,e ,e 线性无关，所以根据上面的结论知 1 2 3  , , 线性无关