马立东等：棒材二辊矫直过程曲率的全流程定量解析 ·1551· 8o=Koz (1) 8=K.z-Koz (3) 式中，K。为棒材微段初始曲率，z为截面纵向纤维到 E。=K。z-Kgz (4) 中性层的距离 式中，K。为弹性弯矩加载时棒材微段中心轴的曲 根据基本假设(1)和初始当量应变的定义，棒 率，K为加载后棒材微段中性层的曲率，K。为卸载 材微段截面上任一点的弹性弯曲应变ε。、加载后应 后棒材微段中性层的曲率，即残余曲率，同时规定 变ε及卸载后的残余应变ε。分别为 KK、K。和K。方向一致时符号相同，反之符号相 E。=Kz-Kz (2) 反，如图1所示. 原始曲率 反弯曲率 残余曲率（与原始曲率相反） 残余曲率（与原始曲率相同 弹复曲率 图1棒材微段弯曲过程示意图 Fig.1 A brief analysis of the bending process of micro-section of bar 由截面弯矩平衡可知 设棒材半径为R,当微梁段从原始曲率K。弯曲 M.=Ee。2dM=EI(K.-Ko) 到曲率K时的应变为ε，应力为σ，在几何中心层坐 (5) 标系下棒材截面上任一点纵坐标为z,如图2所示， 式中，E为棒材弹性模量，I=πR/4为棒材断面的 弹塑性分界点到中性层的距离为，则 惯性矩，R为棒材半径，A为棒材截面面积 8=z(K-Ko) (11) E=E。+E。 (6) 将式(2)~(4)代入式(6)可得 Z =EIK-Kol (12) K=K。-K+K。 (7) 规定弯曲方向向上凸时弯矩和曲率为正，反之 0g arcsin- =asi加Ekk限 (13) 为负：规定初始曲率方向和反弯曲率的方向相同时 为正弯，反之为反弯，联立式(5)、(7)及M。=M,可 得棒材微段的残余曲率方程 K。=K-K (8) k-普 R (9) 式中，K为弹复曲率，M为矫直弯曲时的弯矩，其中 0 0 包含了棒材微梁段初始曲率K。的影响. 图2棒材截面积分示意图 本文采用了双线性硬化材料模型，应力σ和应 Fig.2 Bar cross section integral diagram 变e的关系为 Iσ=EE 8 <EL 对于对称截面纯弯曲的情况，求棒材弯矩只需 (10) o=DE+0OE≥EL 对截面坐标四分之一的部分进行积分，然后乘以4 式中，D为硬化模量，σ。为截距应力，61为极限弹 即可.在该前提下，棒材纯弯曲时的弯矩分为以下 两种情况： 性应变当材料届服应力为a,时，气=会，= 当E≥R时，棒材截面为纯弹性变形 -) M==E (K-Ko)dA=马立东等: 棒材二辊矫直过程曲率的全流程定量解析 着0 = K0·z (1) 式中,K0 为棒材微段初始曲率,z 为截面纵向纤维到 中性层的距离. 根据基本假设(1) 和初始当量应变的定义,棒 材微段截面上任一点的弹性弯曲应变 着e、加载后应 变 着 及卸载后的残余应变 着p 分别为 着e = Ke·z - K0·z (2) 着 = K·z - K0·z (3) 着p = Kp·z - K0·z (4) 式中,Ke 为弹性弯矩加载时棒材微段中心轴的曲 率,K 为加载后棒材微段中性层的曲率,Kp 为卸载 后棒材微段中性层的曲率,即残余曲率,同时规定 Ke、K、Kp 和 K0 方向一致时符号相同,反之符号相 反,如图 1 所示. 图 1 棒材微段弯曲过程示意图 Fig. 1 A brief analysis of the bending process of micro鄄section of bar 由截面弯矩平衡可知 Me = 乙 A E着e·z·dA = EI(Ke - K0 ) (5) 式中,E 为棒材弹性模量,I = 仔R 4 / 4 为棒材断面的 惯性矩,R 为棒材半径,A 为棒材截面面积. 着 = 着e + 着p (6) 将式(2) ~ (4)代入式(6)可得 K = Ke - K0 + Kp (7) 规定弯曲方向向上凸时弯矩和曲率为正,反之 为负;规定初始曲率方向和反弯曲率的方向相同时 为正弯,反之为反弯,联立式(5)、(7)及 Me = M,可 得棒材微段的残余曲率方程 Kp = K - Kf (8) Kf = M EI (9) 式中,Kf 为弹复曲率,M 为矫直弯曲时的弯矩,其中 包含了棒材微梁段初始曲率 K0 的影响. 本文采用了双线性硬化材料模型,应力 滓 和应 变 着 的关系为 滓 = E着 着 < 着L {滓 = D着 + 滓0 着逸着L (10) 式中,D 为硬化模量,滓0 为截距应力,着L 为极限弹 性应变. 当材料屈服应力为 滓s 时,着L = 滓s E ,滓0 = 滓s (1 - D ) E . 设棒材半径为 R,当微梁段从原始曲率 K0 弯曲 到曲率 K 时的应变为 着,应力为 滓,在几何中心层坐 标系下棒材截面上任一点纵坐标为 z,如图 2 所示, 弹塑性分界点到中性层的距离为 zE ,则 着 = z(K - K0 ) (11) zE = 滓s E | K - K0 | (12) 兹E = arcsin zE R = arcsin 滓s E | K - K0 | R (13) 图 2 棒材截面积分示意图 Fig. 2 Bar cross section integral diagram 对于对称截面纯弯曲的情况,求棒材弯矩只需 对截面坐标四分之一的部分进行积分,然后乘以 4 即可. 在该前提下,棒材纯弯曲时的弯矩分为以下 两种情况: 当 zE逸R 时,棒材截面为纯弹性变形 M = 乙 A 滓·zdA = 乙 A E·z 2 (K - K0 )dA = ·1551·