·1552· 工程科学学报，第40卷，第12期 E(K-K)dyd--E(K-K)R (14) sin 4 arcs arcsin 当0<<R时，棒材发生弹塑性变形，分界点 8 R 在g处， L2=2√R2-z山z= M=4adM=4E(K-K)dM+ 4(De+o)dA=4E(K-K)dA+ 4[D(K-K)+4o.(1-e)]dM= R (-)。 dy d L3-z√R2-zdz= 4D) dy [" (-)-)写-) o-)山广t= 当K和K。已知时，即可根据式(15)计算弯矩， 再代入式(8)中计算当次反弯后的残余曲率. 4E(K-K)L+4D(K-K)b+4知.1-2)b 为了计算和编程方便，在计算弯矩时采取计算 4倍的右上1/4圆的方法，以弯曲曲率和原始弯曲 (15) 曲率差的绝对值为曲率变化值，由此所得的弯矩恒 其中， 为正值，所以得到的弹复曲率也恒为正值.原始曲 -。vR-。 率下凹假设为正，上凸为负.最终残余曲率方向可 分为图3所示几种情况（其中虚线表示原始曲率， 实线表示反弯曲线. J。 R2 sin2OR2 cos20d0 (a) b (d) 图3弯曲示意图 Fig.3 Curvature diagram 如图3(a)所示，K。大于0，K也大于0，弹复变 根据上述变形特点可总结如下： 形在K基础上减小，所以 如果E≥R,则K。=K; 飞=K-告 如果0<E<R,则分为以下两种情况： (16) (1)K>K 如图3(b)所示，K小于0，K也小于0，残余曲 (20) 率在K的基础上增大，所以 K=K-普 M K,=K+ (2)K<K (17) 如图3(c)所示，K。大于0，K小于0，则弹复变 K=K+台 (21) 形在K的基础上增大，所以 如此，就可以求得任一次弯曲弹复后的残余 M 曲率。 K=K+El (18) 1.3棒材二辊矫直过程连续弯曲弹复计算 如图3(d)所示，K。小于0，K大于0，则弹复变 如图4所示，棒材在辊系中旋转前进，棒材上的 形在K的基础上减小，所以 微单元abcd在棒材旋转半圈后a、b两点转移到 人=K当 c(a)、d(b')两点的位置，而c、d两点旋转到c'、d' (19) 位置，ab段由原来的受压缩转变成受拉伸，而cd段 在其他情况下，弯曲变形程度均未达到原始的 由原来的受拉伸转变成受压缩，即该微单元实现了 弯曲程度，所以不涉及弹复，残余曲率和原始曲率 反弯. 相等 导程t即棒材旋转一周沿矫直方向通过的距工程科学学报,第 40 卷,第 12 期 E(K - K0 ) 蓦A z 2 dydz = 仔E(K - K0 )R 4 4 (14) 当 0 < zE < R 时,棒材发生弹塑性变形,分界点 在 zE 处, M = 4 乙 A 滓·zdA = 4 乙 zE 0 Ez 2 (K - K0 )dA + 4 乙 R zE (D着 + 滓0 )zdA = 4 乙 zE 0 Ez 2 (K - K0 )dA + 4 乙 R z [ E Dz(K - K0 ) + 4滓s (1 - D ) ] E zdA = 4E(K - K0 ) 乙 R2 -z 2 0 dy 乙 zE 0 z 2 dz + 4D(K - K0 ) 乙 R2 -z 2 0 dy 乙 R zE z 2 dz + 4滓s (1 - D ) E 乙 R2 -z 2 0 dy 乙 R zE zdz = 4E(K - K0 )L1 + 4D(K - K0 )L2 + 4滓s (1 - D ) E L3 (15) 其中, L1 = 乙 zE 0 z 2 R 2 - z 2 dz = 乙 arcsin ( zE ) R 0 R 2 sin 2 兹R 2 cos 2 兹d兹 = R 4 é ë ê 8 ê arcsin zE R - sin 4 ( arcsin zE ) R ù û ú 4 ú L2 = 乙 R zE z 2 R 2 - z 2 dz = 乙 R arcsin ( z E ) R R 2 sin 2 兹R 2 cos 2 兹d兹 = R 4 é ë ê 8 ê 仔 2 æ è ç - ç arcsin zE R - sin 4 ( arcsin zE ) R ö ø ÷÷ ù û ú 4 ú L3 = 乙 R zE z R 2 - z 2 dz = - 1 2 乙 R zE (R 2 - z 2 ) 1 2 d(R 2 - z 2 ) = 1 3 (R 2 - z 2 E ) 当 K 和 K0 已知时,即可根据式(15)计算弯矩, 再代入式(8)中计算当次反弯后的残余曲率. 为了计算和编程方便,在计算弯矩时采取计算 4 倍的右上 1 / 4 圆的方法,以弯曲曲率和原始弯曲 曲率差的绝对值为曲率变化值,由此所得的弯矩恒 为正值,所以得到的弹复曲率也恒为正值. 原始曲 率下凹假设为正,上凸为负. 最终残余曲率方向可 分为图 3 所示几种情况(其中虚线表示原始曲率, 实线表示反弯曲线. 图 3 弯曲示意图 Fig. 3 Curvature diagram 如图 3(a)所示,K0 大于 0,K 也大于 0,弹复变 形在 K 基础上减小,所以 Kp = K - M EI (16) 如图 3(b)所示,K0 小于 0,K 也小于 0,残余曲 率在 K 的基础上增大,所以 Kp = K + M EI (17) 如图 3(c)所示,K0 大于 0,K 小于 0,则弹复变 形在 K 的基础上增大,所以 Kp = K + M EI (18) 如图 3(d)所示,K0 小于 0,K 大于 0,则弹复变 形在 K 的基础上减小,所以 Kp = K - M EI (19) 在其他情况下,弯曲变形程度均未达到原始的 弯曲程度,所以不涉及弹复,残余曲率和原始曲率 相等. 根据上述变形特点可总结如下: 如果 zE逸R,则 Kp = K0 ; 如果 0 < zE < R,则分为以下两种情况: (1) K > K0 Kp = K - M EI (20) (2) K < K0 Kp = K + M EI (21) 如此,就可以求得任一次弯曲弹复后的残余 曲率. 1郾 3 棒材二辊矫直过程连续弯曲弹复计算 如图 4 所示,棒材在辊系中旋转前进,棒材上的 微单元 abcd 在棒材旋转半圈后 a、 b 两点转移到 c(a忆)、d(b忆)两点的位置,而 c、d 两点旋转到 c忆、d忆 位置,ab 段由原来的受压缩转变成受拉伸,而 cd 段 由原来的受拉伸转变成受压缩,即该微单元实现了 反弯. 导程 t 即棒材旋转一周沿矫直方向通过的距 ·1552·