第四章不等式约束的优化 §1、最优性条件 考虑不等式约束的优化问题。 min f(x) lst.g,(x)≤0,i=1…,m 定义1设CcR”是非空集合,若Vx∈C及≥0,有Ax∈C,则称集合C为以原点为顶点的锥 如果锥C又是凸集,则称C为凸锥 定义2设ScR”非空,是可行解集,点x∈S闭包,若对某P∈R,P≠0,存在数δ〉0,使 V∈(0,δ),均有x+∈S,则称P为点x处的可行方向。 用D表示在S中从x出发的所有可行方向向量的集合,即 D={PP≠0且存在0,∈(0。)有+∈S 称为在点x处的可行方向锥。 若记F={pv(xyPp<o,则对局部最优解来说,必有 F∩D=d (2) 这是因为在最优点x*,不可能存在下降的可行方向,反之若于某点x*已不存在下降的可行方向,则 此点一定是局部最优解。 定义3若问题(1)的一个可行点x使某个不等式约束g1≤0变成等式即g(x)=0,则该约束称 为关于x的起作用约束(紧约束),否则,即g,(x)<0则称之为不起作用约束(松约束)。 用集合/={g(x)=0x∈S}表示在可行点的紧约束指标集。 定理1设x*是问题(1)的可行点,f和g,(∈D在x*可微,g(∈D在x*连续,如果x*是局部 最优解,则 F∩Gn=d (3) 其中G0=PVg(x)P<0,∈,称Gn为S在点x*处的局部约束方向锥(或内方向锥) 证明:(略)(提示:只需证GcD) 199199 第四章 不等式约束的优化 §1、最优性条件 考虑不等式约束的优化问题。    st g x  i = m f x i . . ( ) 0, 1, , min ( )  （1） 定义 1 设 n C  R 是非空集合，若 xC 及   0 ，有 xC ，则称集合 C 为以原点为顶点的锥。 如果锥 C 又是凸集，则称 C 为凸锥。 定义 2 设 n S  R 非空，是可行解集，点 x S 闭包，若对某 P∈R n ,P≠0,存在数δ〉0，使   (0, ) ，均有 x + p  S, 则称 P 为点 x 处的可行方向。 用 D 表示在 S 中从 x 出发的所有可行方向向量的集合，即 D = P P  0且存在〉0， （0，）有x + PS 称为在点 x 处的可行方向锥。 若记 F0 = P f (x) P  0 T ，则对局部最优解来说，必有 F0  D =  （2） 这是因为在最优点 x*，不可能存在下降的可行方向，反之若于某点 x*已不存在下降的可行方向，则 此点一定是局部最优解。 定义 3 若问题（1）的一个可行点 x 使某个不等式约束 gi  0 变成等式即 gi (x) = 0 ，则该约束称 为关于 x 的起作用约束（紧约束），否则，即 gi (x)  0 则称之为不起作用约束（松约束）。 用集合 I = i gi (x) = 0, x S 表示在可行点 x 的紧约束指标集。 定理 1 设 x*是问题（1）的可行点， f g (i I) 和 i  在 x*可微， g (i I) i  在 x*连续，如果 x*是局部 最优解，则 F0 G0 =  （3） 其中 G P g x P i I T =  i ( )  0,  * 0 ，称 G0 为 S 在点 x*处的局部约束方向锥（或内方向锥） 证明：（略）(提示:只需证 G0  D )