条件(2)和(3)均为几何最优性条件,实际计算中不好用,下面由之引出经常使用的代数最 优性条件。 定理2( Fritz-John必要条件)设x*是(1)的可行解,∫,g(∈1)在x*可微, g(D)在x*连续,如果x*是局部最优解,则存在不全为0的数u和1(i∈D)使得 avf(x)+∑uVg(x’)=0 lo,l1≥0,vi∈I 通常称(4)为 Fritz-John必要条件,满足(4)的点称为 Fritz-John点,如果g(∈D)在x*也 可微,则有 V(x)+∑uVg,(x)=0 l181(x)=0,i=1…,m l0,u2≥0,.i=1,…,m 证:因x*是(1)的局部最优解,由定理1知F∩G0=Φ,即不存在向量p∈R使得Vf(x)P<0 和vg,(x)P<0(V∈i)同时成立,若Ⅰ={,2,…l},且记 (x)Vg(x)…V8n(x 于是AP<0无解。根据 Gordan定理(第一章定理8)存在非0向量y≥0,使Ay=0记 y=(ul,l12…,u1),则有 V(x)+∑uVg(x)=0 lo≥0,l1≥0.,i∈,且不全为0 这就证明了(4)。 如果g(运D也可微,只要令u1=0、(∈D)就有改述的 Fritz-John条件(5)。(5)中的第二式 又称为互补松弛条件。 在 Fritz-John条件中,当l=0时,目标函数梯度vf(x')消失,这不利于寻找最优点。例如问 题 200200 条件（2）和（3）均为几何最优性条件，实际计算中不好用，下面由之引出经常使用的代数最 优性条件。 定理 2（Fritz-John 必要条件） 设 x*是（1）的可行解， f ,g (i I) i  在 x*可微， g (i I) i  在 x*连续，如果 x*是局部最优解，则存在不全为 0 的数 ( ), 0 u u i I 和 i  使得         +  =  u u i I u f x u g x i i I i i , 0, ( ) ( ) 0 0 * * 0 （4） 通常称（4）为 Fritz-John 必要条件，满足（4）的点称为 Fritz-John 点，如果 g (i I) i  在 x*也 可微，则有         = = =  +  = = u u i m u g x i m u f x u g x i i i m i i i , 0, 1, , ( ) 0, 1, , ( ) ( ) 0 0 * 1 * * 0   （5） 证：因 x*是（1）的局部最优解，由定理 1 知 F0 G0 =  ，即不存在向量 n p  R 使得 ( ) 0 * f x P  T 和 ( ) 0 * g x P  T i （ i ）同时成立，若 I = i 1 ,i 2 ,  ,i k  ，且记 ( ）) * * * ( ), ( ), , ( 1 A f x g x g x k i i T =     于是 AP<0 无解。根据 Gordan 定理（第一章定理 8）存在非 0 向量 y  0 ，使 A y = 0 T 记 ( , , , ) 0 1 k u ui ui y =  ，则有 0, 0, , 0 ( ) ( ) 0 0 * * 0 u u i I 且不全为 u f x u g x i i I i i     +  =  这就证明了(4)。 如果 g (i I) i  也可微，只要令 u 0,(i I) i =  就有改述的 Fritz-John 条件（5）。（5）中的第二式 又称为互补松弛条件。 在 Fritz-John 条件中，当 u0 = 0 时，目标函数梯度 ( ) * f x 消失，这不利于寻找最优点。例如问 题