(1)P是投影算子 (2)P2=P并且P是自伴的 (3)P=P并且N(P)⊥R(P) (4)若H是复空间,以上条件还等价于 (Px,x)=|Px2,vx∈H (4-2-7) 证明(1)→(2).首先设P是从H到闭线性子空间E上的投影 算子,Vx∈H,Px∈E,故P2x=P(Px)=Px.于是P2=P.其次 vx,y∈H,x=x1+x2,y=y1+y2,x1,y∈E,x2,y2⊥E,则 (Px,y)=(x1,y1+y2)=(x1,y1) =(x1+x2y1)=(x,Py) P自伴 (2)→(3)若x∈N(P),则Px=0,若y∈R(P)则x∈H,y=Px1 于是 (x,y)=(x,Px1)=(Px,x1)=0 即N(P)⊥R(P) (3)→(1)令E=N(Ⅰ-P),E是H的闭线性子空间,现在验证 P是从H到E上的投影算子 首先证明E=R(P),实际上Vy∈R(P),丑x∈H,y=Px=Px 从而(-P(Px)=0,即(-P)=0,y∈N(-P).反之vy∈ N(-P)则(-P)y=0,y=Py∈R(P),故R(P)=N(-P) Vx∈H,记x=Px+(x-Px).显然Px∈R(P)=E又 P(I-P)x=P(x-Px)=0,于是x-Px∈N(P).由N(P)⊥R(P)得到 x-Px⊥R(P)=E.所以P是从H到E上的投影算子 现在设H是复空间 (2)→(4)|Px=(Px,Px)=(P2x,x)=(Px,x) 66 (1) P 是投影算子. (2) P = P 2 并且 P 是自伴的. (3) P = P 2 并且 N(P) ⊥ R(P) . (4) 若 H 是复空间, 以上条件还等价于 (Px, x) = 2 Px , ∀x ∈ H . (4-2-7) 证明 (1) ⇒(2). 首先设 P 是从 H 到闭线性子空间 E 上的投影 算 子 , ∀x ∈ H , Px ∈ E , 故 P x 2 = P(Px) = Px . 于 是 P = P 2 . 其 次 , ∀ ∈ x, y H , 1 2 1 2 x = x + x , y = y + y , x1 , y1 ∈ E , x2 , y2 ⊥ E , 则 (Px, y) = ( , ) 1 1 2 x y + y = ( , ) 1 1 x y = ( , ) 1 2 1 x + x y = (x,Py) . P 自伴. (2) ⇒(3). 若 x∈ N P( ), 则 Px = 0, 若 y ∈ R(P) 则 1 ∃x ∈ H , Px1 y = . 于是 (x, y) = ( , ) Px1 x = ( , )1 Px x =0 即 N(P) ⊥ R(P) . (3) ⇒ (1). 令 E = N(I − P) , E 是 H 的闭线性子空间, 现在验证 P 是从 H 到 E 上的投影算子. 首先证明 E = R(P) , 实际上 ∀y ∈ R(P) , ∃x∈ H, y = Px P x 2 = . 从 而 (I − P)(Px) = 0 , 即 ( ) 0, I Py − = y NI P ∈ ( ). − 反 之 ∀ ∈y NI P ( ) − 则 (I − P) y = 0 ， y = Py ∈ R(P) , 故 R(P) = N(I − P) . ∀x ∈ H , 记 x = Px + (x − Px) . 显 然 Px ∈ R(P) = E . 又 P(I − P)x = P(x − Px) =0, 于是 x − Px ∈ N(P) . 由 N(P) ⊥ R(P) 得到 x − Px ⊥ R(P) = E . 所以 P 是从 H 到 E 上的投影算子. 现在设 H 是复空间. (2)⇒(4). 2 Px = (Px, Px) = ( , ) 2 P x x = (Px, x)