从这个例子还可看出,在体积一定的长方体中,以立方体的表面积为最小 二、条件极值拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法要找函数z=f(x,y)在附加条件(x,y)=0下的可能极值点,可以 F(x,y)=f(x,y)+no(x, y) 其中为某一常数求其对x与y的一阶偏导数,并使之为零,然后与方程(2)联立 f2(x,y)+2(x,y)=0 力(x,y)+(x,y)= p(x,y)=0 由这方程组解出x,y及孔,则其中x,y就是函数f(x,y)在附加条件下x,y)=0的 这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。例如,要求函数 l4=f(x,y,z2,4) 在附加条件 叭(x,y,z,)=0,v(x,y,z,)=0 下的极值,可以先构成辅助函数 F(x,y,z,)=f(x,y,2,)+1(x,y,z,)+a2(x,y,2z,D 其中马,A2均为常数,求其一阶偏导数,并使之为零,然后与(2)中的两个方程联 x、y、z、t就是函数f(x,y,z,)在附加条件(2)下的可能极值点的坐标 至于如何确定所求得的点是否极值点,在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判 例3求表面积为a“而体积为最大的长方体的体积 解设长方体的三棱长为x,y,2,则问题就是在条件 u(x,y, z, t)=2xy+2yz+2xz 下,求函数 = xz 的最大值。构成辅助函数 F(x,, z)=xyz+2(2xy+2yz+2xz-a) 求其对x、y、z的偏导数,并使之为零,得到 xz+2(x+z)=0 2(y+2)=0 再与(10)联立求解 因x、y、z都不等于零,所以由(1)可得 X y 由以上两式解得 将此代入式(10),便得 X=y=2=6从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。 二、条件极值 拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法 要找函数 在附加条件 下的可能极值点，可以 其中 为某一常数求其对 与 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联立 由这方程组解出 ， 及 ，则其中 ， 就是函数 在附加条件下 的 这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。例如，要求函数 在附加条件 ， 下的极值，可以先构成辅助函数 其中 ， 均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与(2)中的两个方程联 就是函数 在附加条件(2)下的可能极值点的坐标。 至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判 例3 求表面积为 而体积为最大的长方体的体积。 解 设长方体的三棱长为 ， 则问题就是在条件 下，求函数 的最大值。构成辅助函数 求其对 、z的偏导数，并使之为零，得到 再与(10)联立求解。 因 、 都不等于零，所以由(11)可得 ＝ ， ＝ ． 由以上两式解得 将此代入式(10)，便得 =