第一章朴素集合论 点集拓扑学(Point-set Topology)现称一般拓扑学General Topology),它的起源与出发点都 是集合论.作为基本的点集拓扑学知识，所需的只是一些朴素集合论的预备知识.本章介绍本 书中要用到的一些集合论内容，主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选 择公理等.作为一教材，讲义对各部分内容均有较系统的论述，作为授课，我们只强调一些基 本内容，而对已有过了解的知识不提或少提 记号：乙，Z+,R,Q分别表示整数集，正整数集，实数集和有理数集 教学重点：集合的基本概念、运算，映射的概念；教学难点：选择公理 一.集合的运算 幂集P(X),交n、并U、差-（补，余A,A) 运算律：De Morgan律：(I)A-(BUC)=(A-B)⌒(A-C) (2)A-(BC)=(A-B)(A-C)A-(Bn C)=(A-B)U(A-C) 利用集合的包含关系证明(1) 类似可定义任意有限个集的交或并，如记 AUA,U.UA=(4UUA)UA。=UA,=U4A.规定0个集之并是 中，不用0个集之交 二关系 R是集合X的一个关系，即RCX×X,(x,y)∈R记为xRy,称x与y是R相关的 R称为自反的，若X∈X,xRx R称为对称的，若xRy,则yRx R称为传递的，若xRy,yRz,则xRz 等价关系：自反、对称、传递的关系」 如，△(X={(Xx)x∈X,恒同关系，它是等价关系，{Xy)川xy∈R,x<y},小于关系， 它是传递的，但不是对称的、不是自反的 设R是X上等价关系，X∈X,x的R等价类或等价类[x內R或x为y∈X|xRy}, [☒R的元称为[內R的代表元；商集XR={[R|x∈X 定理1.4.1设R是非空集合X的等价关系，则4 第一章 朴素集合论 点集拓扑学(Point-set Topology)现称一般拓扑学(General Topology), 它的起源与出发点都 是 集合论. 作为基本的点集拓扑学知识, 所需的只是一些朴素集合论的预备知识. 本章介绍本 书中 要用到的一些集合论内容, 主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选 择公理等. 作为一教材, 讲义对各部分内容均有较系统的论述 , 作为授课, 我们只强调一些基 本内容, 而对 已有过了解的知识不提或少提. 记号: Z, Z+, R, Q 分别表示整数集, 正整数集, 实数集和有理数集. 教学重点：集合的基本概念、运算，映射的概念；教学难点：选择公理 一. 集合的运算 幂集 P (X ), 交∩ 、并∪、差－(补, 余 / A , A c ). 运算律: De Morgan 律: (1) A -(B  C) = (A - B)  (A -C). (2) A -(B  C) = (A - B)  (A -C) A-(B∩ C)=(A-B)∪(A-C) 利用集合的包含关系证明(1). 类似可定义任意有限个集的交或并, 如记 i n  n i A A An A An An Ai Ai  =    =   −  = = 1 1 2 1 1 ... ( ... ) Ai. 规定 0 个集之并是  , 不用 0 个集之交. 二. 关系 R 是集合 X 的一个关系, 即 R  X  X ,(x, y)  R 记为 xRy , 称 x 与 y 是 R 相关的. R 称为自反的, 若 x  X , xRx; R 称为对称的, 若 xRy, 则 yRx; R 称为传递的, 若 xRy, yRz, 则 xRz. 等价关系: 自反、对称、传递的关系. 如, Δ(X)={(x, x )|x  X}, 恒同关系, 它是等价关系; {(x, y) | x, y  R, x  y}，小于关系, 它是传递 的, 但不是对称的、不是自反的. 设 R 是 X 上等价关系, x  X , x 的 R 等价类或等价类 R [x] 或[x]为 {y  X| xRy} , R [x] 的元称为 R [x] 的代表元; 商集 X/R = {[x]R | x  X} . 定理 1.4.1 设 R 是非空集合 X 的等价关系, 则