第七章线性变换 §1线性变换的定义 线性变换的定义 线性空间V到自身的映射称为V的一个变换 定义1线性空间的一个变换星称为线性变换,如果对于V中任意的元 素a,B和数域P中任意数k,都有 A(a+B)=A(a)+(B); 用(ka)=k(a) (1) 般用花体拉丁字母星,s,…表示V的线性变换,A(a减或Aa代表元素a在变 换下的像 定义中等式(1)所表示的性质,有时也说成线性变换保持向量的加法与数量 乘法 例1.平面上的向量构成实数域上的二维线性空间把平面围绕坐标原点按反 时钟方向旋转θ角,就是一个线性变换,用。表示如果平面上一个向量a在直 角坐标系下的坐标是(x,y),那么像9。(a)的坐标,即a旋转θ角之后的坐标 (x',y)是按照公式 0 -sin 6 sin 6 cose 来计算的.同样空间中绕轴的旋转也是一个线性变换 例2设a是几何空间中一固定非零向量,把每个向量ξ变到它在a上的内射 影的变换也是一个线性变换,以∏表示它用公式表示就是 ∏2() (a,5 aa 这里(a,5,(a,a)表示内积第七章 线性变换 §1 线性变换的定义 一、线性变换的定义 线性空间 V 到自身的映射称为 V 的一个变换. 定义 1 线性空间 V 的一个变换 A 称为线性变换，如果对于 V 中任意的元 素 ,  和数域 P 中任意数 k ，都有 A (  +  )=A (  )+A (  ); A( k )=A k (  ). （1） 一般用花体拉丁字母 A，B，…表示 V 的线性变换，A (  )或 A  代表元素  在变 换 A 下的像. 定义中等式(1)所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量 乘法. 例 1.平面上的向量构成实数域上的二维线性空间.把平面围绕坐标原点按反 时钟方向旋转  角，就是一个线性变换，用 ℐ  表示.如果平面上一个向量  在直 角坐标系下的坐标是 (x, y) ，那么像 ℐ  (  )的坐标，即  旋转  角之后的坐标 (x  , y ) 是按照公式                 − =          y x y x     sin cos cos sin . 来计算的.同样空间中绕轴的旋转也是一个线性变换. 例 2 设  是几何空间中一固定非零向量，把每个向量  变到它在  上的内射 影的变换也是一个线性变换，以  表示它.用公式表示就是        ( , ) ( , )  ( ) = . 这里 (, ),(,) 表示内积