310 高等数学重点难点100讲 第77讲多元函数微分法(3) 、多元微分学概念的进一步讨论 通过学习我们发现多元函数的极限与连续、微分与积分比一元函数相应的内容要复杂 得多.其原因就在于高维空间几何性质的复杂性,因此,我们无论在讨论多元函数的概念 题、计算题,还是证明题和应用题时,都要充分注意到这一点.下面通过对典型例题的剖析, 希望读者能够对多元微积分的若干重要概念有进一步深人的理解 例1如果一元函数f(xoy)在y处连续,f(x,y)在x处连续,那么二元函数f( y)在点(x,y)处是否必连续? 解未必连续,这只要注意到二元函数连续的定义是建立在二重极限的基础之上,因 此,对每一个变量连续只相当于一种特定方式的极限存在(如对x连续,相当于y=y,x x0),它不能代替所有(x,y)→(xo,y)的方式下极限都存在.因此,我们不能从f(x,y)分别 对每个变量x与y都连续而得出f(x,y)一定是连续的结论.如函数 fCr, y) ,x2+y2≠ 在点(0,0)处,仅当变量x有增量△x时,有 im[f(0+△x,0)-f(0,0)]=lin(0+4x).0 lm2xo+ax)2+02=0, 从而知函数f(x,y)在点(0,0)处对变量x是连续的 同样,f(x,y)在点(0,0)处对变量y也是连续的 但是极限imf(x,y)不存在(取路径y=kx可说明),从而f(x,y)在点(0,0)处是不连 续的 注意若二元函数z=f(x,y)在点(xo,y)处连续,则一元函数f(x,y)在x=x。处, f(x0y)在y=y处必连续;反之,不一定成立这是因为z=f(x,y)在点(x0,y)处连续, 所以点(x,y)以任意方式趋于点(x,y)时,f(x,y)都趋于f(x,y),这包括了沿平行于坐 标轴的直线趋于点(x0,y)的情形;反之,一元函数f(x,y)和f(x0,y)分别在x。和y处连 续时,只能说明点(x,y)沿平行于坐标轴的方向趋于点(x0,y)时,f(x,y)趋于f(x0,y), 不能保证当点(x,y)以任意方式趋于点(x,y)时,∫(x,y)都趋于f(xa,y0).例如,本例当 点(x,y)沿y轴趋于点(0,0)时,由于limf(x,y)=y0 limf(0,y)=lim0=0=f(0,0),所以 y·0 元函数f(0,y)在点y=0处连续但二元函数f(x,y)在点(0,0)处不连续 例2(是非题)下面解法是否正确?为什么? 已知f(x,y)=yxy,求,f2(0,0),(0,0). 由导数公式得f:(x,y) 吉√由于当x一0时,上式无意义故 fx(0,0)不存在,由对称性知f,(0,0)也不存在 解上述解法是错误的事实上,f(0,0)=limf+△x,0)=f(0.0)=im0=0