例5.9设B为n阶正定矩阵，N为n×k的列满秩矩阵，A= B N N'0 证明()二次型f=X'AX的正负惯性指数分别为n与k;(②)A可逆， 证明()因为B为正定矩阵，所以B可逆.因为 0 B 0 合同，因此由N为列满秩及B为正定矩阵得-N'BN正 定于是(。-NBN)】 /B0 的正负惯性指数分别为m与k,从而∫=X'AX的正负惯性指数分别为n与k (②)由(1)知A可逆 例5.10设A为m阶实对称矩阵证明存在正实数c使得对任意n为实向量X有X'AX≤cXX 证明因为A为n阶实对称矩阵，所以在正交矩阵P使得PAP 其中，…，A 为A的特征值.任意n为实向量X,令y=TX,c=mar{1l,·,入.则 X'AXI=IY'T'ATYI =++...+er'Y =cX'T'TX cX'X. 例5.11设A为m阶实对称矩阵且4<0，证明存在n维向量X≠0使得X'AX<0. λ1 证明因为A<0,所以A必有特征值为负数.又存在正交矩阵P使得PAP 2 中X1,…,入n为A的特征值.不妨设入1<0.令Y=-1,0,…,0y,则VPAPY=太1<0.令X=P,因 为P可逆，所以X≠0且X'AX=Y'PAPY=A<0. 例5.12(1)设f(x1 n)=X'AX是一实二次型，若有n维实向量X1,X2使得X{AX1>0,XAX2< 0,证明存在n维实向量X≠0使得X5AX=0. 证明（山设r(= ,则存在可逆的线性替换X=CY使得XAX=d山+山+ …+d呢，其 中d为1或-1.因为有n维实向量X1,X2使得XAX1>0,X5AX2<0,所以dd2,…,d,中有1和-1.设 有p个1，q个-1，不妨设X'AX=听+…+-乐-1-…-dp+g听+ 同若p>4,令n=…=h=1购+1=…=聊=0，孙+1=…=物n=1则由X=CY得存在非零 向量Xo使得XAX0=0. 。 ·=p=p+1= …=+g=1,则同样由X=CY得存在非零向量Xo使 ()若p<g,令h=…=跏=+1=…=2p=1,2p+1=…=+g=0,则同样由X=CY得存 在非零向量X。使得XAX。=0, (2)设n元实二次型f(X)=xTAX满足条件f(X)=0当且仅当X=0,证明f(X)是正定的或负定的， 例5.13设A为n阶实对称矩阵，X1与X2为两个线性无关的n维向量，X{AX1>0,X3AX2<0,证明存 在两个与X1,X2线性相关的n维向量Xg,X4,而X,X,线性无关，且X3AX3=X4AX4=0. 证明令X=kX1+X2,因为A对称，所以X1AX2=XAX1,于是X'AX=k2X1AX1+2kX1AX2+ X5AX2=0,因为XAX1>0,X5AK2<0,所以二次方程的判别 >0，方程有两个不同的实数解1，k2.令X 1X1+X2,X=kX1+X2.因为X1,X2线性无关，所以X,X线性无关，（若相关则必有=k2矛盾），且 有XAX3=XAX4=0. 第6页 ~5.9 Bèn½› , Nèn × k˜ù› , A = B N N0 0 ! . y² (1) g.f = X0AXK.5çÍ©OènÜk; (2) Aå_. y² (1) œèBè½› ,§±Bå_. œè En 0 −N0B−1 Ek ! B N N0 0 ! En −B−1N 0 Ek ! = B 0 0 −N0BN ! , §± B N N0 0 ! Ü B 0 0 −N0BN ! ‹”, œddNè˜ù9Bè½› −N0BN ½, u¥ B 0 0 −N0BN ! K.5çÍ©OènÜk, l f = X0AXK.5çÍ©OènÜk; (2) d(1)Aå_. ~5.10 Aèn¢È°› .y²3¢Íc¶È?ønè¢ï˛XkX0AX ≤ cX0X. y² œèAèn¢È°› , §±3› P¶P 0AP =        λ1 λ2 . . . λn        , Ÿ•λ1, · · · , λn èA Aä. ?ønè¢ï˛X, -Y = T 0X, c = max{|λ1|, · · · , |λn|}. K |X0AX| = |Y 0T 0AT Y | = |λ1y 2 1 + λ2y 2 2 + · · · + λny 2 n | ≤ cY 0Y = cX0T 0T X = cX0X. ~5.11 Aèn¢È°› Ö|A| < 0, y²3nëï˛X 6= 0¶X0AX < 0. y² œè|A| < 0,§±A7kAäèKÍ. q3› P¶P 0AP =        λ1 λ2 . . . λn        , Ÿ •λ1, · · · , λn èA Aä. ÿîλ1 < 0, -Y = (−1, 0, · · · , 0)0 , KY 0P 0AP Y = λ1 < 0. -X = P Y , œ èPå_, §±X 6= 0ÖX0AX = Y 0P 0AP Y = λ1 < 0. ~5.12 (1) f(x1, · · · , xn) = X0AX¥ò¢g., eknë¢ï˛X1, X2 ¶X0 1AX1 > 0, X0 2AX2 < 0, y²3në¢ï˛X3 6= 0 ¶X0 3AX3 = 0. y² (1) r(A) = r, K3å_Ç5OÜX = CY ¶X0AX = d1y 2 1 + d2y 2 2 + · · · + dry 2 r , Ÿ •diè1½−1. œèknë¢ï˛X1, X2 ¶X0 1AX1 > 0, X0 2AX2 < 0, §±d,d2, · · · , dr•k1⁄−1.  kpá1, qá−1, ÿîX0AX = y 2 1 + · · · + y 2 p − y 2 p−1 − · · · − dp+qy 2 p+q . (i) ep > q, -y1 = · · · = yq = 1, yq+1 = · · · = yp = 0, yp+1 = · · · = yp+q = 1, KdX = CY 3ö" ï˛X0¶X0 0AX0 = 0. (ii) ep = q, -y1 = · · · = yp = yp+1 = · · · = yp+q = 1, K”dX = CY 3ö"ï˛X0¶ X0 0AX0 = 0. (iii) ep < q, -y1 = · · · = yp = yp+1 = · · · = y2p = 1, y2p+1 = · · · = yp+q = 0, K”dX = CY  3ö"ï˛X0¶X0 0AX0 = 0. (2) n¢g.f(X) = XT AX˜v^áf(X) = 0Ö=X = 0, y²f(X)¥½½K½. ~5.13 Aèn¢È°› ,X1ÜX2è¸áÇ5Ã'nëï˛, X0 1AX1 > 0, X0 2AX2 < 0, y² 3¸áÜX1, X2Ç5É'nëï˛X3, X4, X3, X4Ç5Ã',ÖX0 3AX3 = X0 4AX4 = 0. y² -X = kX1 + X2,œèAÈ°,§±X0 1AX2 = X0 2AX1,u¥X0AX = k 2X0 1AX1 + 2kX0 1AX2 + X0 2AX2=0,œèX0 1AX1 > 0, X0 2AX2 < 0,§±gêßO™> 0,êßk¸áÿ”¢Í)k1, k2.-X3 = k1X1 + X2, X4 = k2X1 + X2.œèX1, X2Ç5Ã',§±X3, X4Ç5Ã',(eÉ'K7kk1 = k2gÒ),Ö kX0 3AX3 = X0 4AX4 = 0. 1 6 ê