第四章导数的应用 因为,根据连续函数的最大最小值定理,存在ξ,n∈[a,b],使 得f(x)在,7分别达到它在区间上的最大值和最小值.由于 f(a)=f(b)以及f(x)不为常数,,7之中至少有一个不是 区间[a,b]的端点不妨设ξ∈(a,b)f(5)是f(x)在[a,b] 上的最大值,由于在(a,b)内部所以f(2)是f(x)的极大 值.5是f(x)的一个驻点,即f(2)=0证毕 注洛尔定理的几何意义是:假定曲线y=f(x)(a≤x≤b)两个 端点的连线AB是水平的(其中A=(a,f(a),B=(b,f(b),如过曲 线(端点可以除外)处处有切线那么至少有一点的切线是水平的 定理(拉格朗日定理)设∫(x)在闭区间[a,b连续,在开区间(a,b) 可导,则存在ξ∈(a,b),使得 f"(2)= f(b)-f(a) 6-a 证明:引进辅助函数以利用罗尔定理:令 p(x)=f(x)-(x-a) f(6-f(a 则φ(x)闭区间[ab]连续在开区间(a,b)可导, 并且φ(a)=q(b),于是由洛尔定理推出存在: 5∈(a,b)满足φ'()=0,即f(5) f(b)-f(a 注1:拉格朗日定理经常写成如下形式 f(b-f(a=((b-a) 或 f(xo +Ar)=f(xo +6Ar)Ar 其中0<6<1 注2:拉格朗日定理的几何意义是 假定曲线y=f(x)(a≤x≤b)在任意一点有切线,则存在 ∈(a,b),使得曲线在点(,f()的切线平行与曲线两个端点的连 线AB(其中A=(a,f(a)),B=(b,f(b) 定理(柯西中值定理)设函数f(x),g(x)在[a,b]连续,在(a,b) 可导,并且g(x)≠0.则存在ξ∈(a,b),使得 f(b)-f(a)f(s) g(b)-g(a)g'(5) 证明:由g(x)≠0可以推出g(b)-g(a)=g'(n)(b-a)≠0 构造辅助函数 第四章导数的应用第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 因为，根据连续函数的最大最小值定理, 存在  , [a, b] ,使 得 f (x) 在  , 分别达到它在区间上的最大值和最小值. 由于 f (a) = f (b) 以及 f (x) 不为常数,  , 之中至少有一个不是 区间 [a,b] 的端点,不妨设   (a, b). f ( ) 是 f (x) 在 [a,b] 上的最大值,由于  在 (a, b) 内部,所以 f ( ) 是 f (x) 的极大 值.  是 f (x) 的一个驻点, 即 f () = 0 .证毕. 注:洛尔定理的几何意义是: 假定曲线 y = f (x) (a  x  b) 两个 端点的连线 AB 是水平的(其中 A = (a, f (a)) , B = (b, f (b)) ,如过曲 线(端点可以除外)处处有切线,那么至少有一点的切线是水平的. 定理(拉格朗日定理) 设 f (x) 在闭区间 [a, b] 连续,在开区间 (a, b) 可导, 则存在   (a, b),使得 b a f b f a f − −  = ( ) ( ) () 证明: 引进辅助函数以利用罗尔定理：令 b a f b f a x f x x a − − = − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 则 (x) 闭区间 [a, b] 连续,在开区间 (a, b) 可导, 并且 (a) = (b),于是由洛尔定理推出存在：   (a, b),满足 ( ) = 0 ,即 0 ( ) ( ) ( ) = − −  − b a f b f a f  。 注 1: 拉格朗日定理经常写成如下形式: f (b) − f (a) = f ( )(b − a) , 或 f (x + x) = f (x + x)x 0 0  其中 0  1. 注 2: 拉格朗日定理的几何意义是: 假 定 曲 线 y = f (x) (a  x  b) 在 任 意 一 点 有 切 线 , 则存在   (a, b),使得曲线在点 ( , f ( )) 的切线平行与曲线两个端点的连 线 AB (其中 A = (a, f (a)) , B = (b, f (b)). 定理（柯西中值定理）:设函数 f (x) ，g(x) 在 [a, b] 连续，在 (a, b) 可导，并且 g (x)  0.则存在   (a, b) ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   g f g b g a f b f a   = − − 证明：由 g (x)  0 可以推出 g(b) − g(a) = g ()(b − a)  0. 构造辅助函数