第四章导数的应用 ox)=/(x)、(b)-f(a) lg(x)-g(al g(b)-ga 容易验证φ(x)在在[a,b]连续,在(a,b)可导,并且满足 qp(a)=p(b)。于是由洛尔定理推出存在∈(a,b),使得q'()=0, 由此就得到定理结论 柯西中值定理是洛尔定理和拉格朗日定理的推广。在柯西中值定理 中,取g(x)=x,就可得到拉格朗日定理 41-3微分中值定理的应用举例 微分中值定理包括洛尔定理,拉格朗日定理和柯西定理。有些时 侯微分中值定理单指拉格朗日定理。 例1:若在[a,b]中,∫'(x)≡0,证明:f(x)在[a,b]中是常数 证明:x∈(a,b),f(x)-f(a)=f(5x-a)=0 例2:证明f(x)的任意两个零点之间至少存在f(x)的一个零点 证明:设∫(x1)=f(x2)=0(x1<x2),则根据洛尔定理 存在5∈(x1,x2),满足f(5)=0 推而广之有:设f(x)有n阶导数.如果存在x1<x2<…<xn<xn+1 使得f(x1)=f(x2)=f(xn)=f(xn+1),则 存在5∈(x1,xn+1),满足f("(2)=0 例3:证明:f(x)在[a,b]中有n+1个零点→ f"(x)在其上至少有一个零点 f(x)在ab]中无零点→ f(x)在其上至多有k个零点 例4求证方程ex-x2-2x-1=0恰好有三个不同实根 证明首先可检查方程至少有三个不同实根。事实上: 记f(x)=e2-x2-2x-1,计算得到 f(-2)=--1<0,f(-1)=->0, f(2)=e2-9<0,f(3)=e3-18>0 由连续函数的介值定理推出,f(x)至少有三个不同零点 其次证明因为∫"(x)=e>0,方程∫(x)=0至多有三个不 第四章导数的应用第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g x g a g b g a f b f a x f x − − −  = − 容易验证 (x) 在 在 [a, b] 连续，在 (a, b) 可导，并且满足 (a) = (b) 。于是由洛尔定理推出存在   (a, b) ，使得 ( ) = 0 ， 由此就得到定理结论。 柯西中值定理是洛尔定理和拉格朗日定理的推广。在柯西中值定理 中，取 g(x) = x ，就可得到拉格朗日定理。 4-1-3 微分中值定理的应用举例 微分中值定理包括洛尔定理，拉格朗日定理和柯西定理。有些时 侯微分中值定理单指拉格朗日定理。 例 1: 若在 [a,b] 中, f (x)  0, 证明: f (x) 在 [a,b] 中是常数. 证明：x  (a,b), f (x) − f (a) = f ( )(x − a) = 0 例 2: 证明 f (x) 的任意两个零点之间至少存在 f (x) 的一个零点. 证明: 设 ( ) ( ) 0 ( ) 1 2 1 2 f x = f x = x  x , 则根据洛尔定理, 存在 ( , ) 1 2   x x ,满足 f () = 0 . 推而广之有：设 f (x) 有 n 阶导数. 如果存在 1  2   n  n+1 x x  x x , 使得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 = 2 = n = n+1 f x f x f x f x , 则 存在 ( , )  1 n+1  x x , 满足 ( ) 0 ( )  = n f . 例 3: 证明: f (x) 在 [a,b] 中有 n +1 个零点  ( ) ( ) f x n 在其上至少有一个零点。 ( ) ( ) f x k 在 [a,b] 中无零点  f (x) 在其上至多有 k 个零点。 例 4: 求证方程 2 1 0 2 e − x − x − = x 恰好有三个不同实根. 证明: 首先可检查方程至少有三个不同实根。事实上： 记 ( ) 2 1 2 f x = e − x − x − x ，计算得到 0, 1 1 0, ( 1) 1 (−2) = −  − =  e f e f (2) 9 0 , (3) 18 0 2 3 f = e −  f = e −  . 由连续函数的介值定理推出， f (x) 至少有三个不同零点。 其次证明: 因为 ( ) =  0 x f x e , 方程 f (x) = 0 至多有三个不