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第四章导数的应用 同实根。 例5:设函数∫(x)在[a,b连续,在(a,b)可导,则 imf(x)=A(有限或无穷)→f(a)=A 证明:f(a)=lm f(x)-f(a)=mf(,)=4 这说明:(1)在求导数时,若lmf(x)=A(有限或无穷) 则在x0点的导数值是导函数∫(x)的极限值 (2)若导函数f(x)在(a,b)上有定义,则它不可能有 第一类间断点。 例:f(x) S 0 2xSin--COs-,x≠0 f(x)= 例6:证明:Vx∈0, 丌2 x≤snx≤x 2 证明:(1)证vx∈0,x,snx≤x,为此设辅助函数 f(x)=x-smx.则 f(0)=0;f(x)=1-cox≥0 f(x)=f(x)-f(0)='E).xsx (2)证vx∈0 x≤snx,为此设辅助函数 2 g(x)=2x-snx.则 /(0)=0:f(x)=2 cos x 22 设辅助函数h(x) 0,Vx∈0 z 第四章导数的应用第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 同实根。 例 5: 设函数 f (x) 在 [a, b] 连续,在 (a, b) 可导,则 lim f (x) A(有限或无穷) x a  = → +  f + (a) = A. 证明: x a f x f a f a x a − −  = + → + ( ) ( ) ( ) lim = lim ( ) x x a f   → + =A . 这说明:(1) 在求导数时,若 lim ( ) ( ) 0 f x A 有限或无穷 x x  = → , 则在 0 x 点的导数值是导函数 f (x) 的极限值; (2) 若导函数 f (x) 在 (a,b) 上有定义,则它不可能有 第一类间断点。 例:      =  = 0, 0 , 0 1 ( ) 2 x x x x Sin f x ,      = −   = 0, 0 , 0 1 1 2 ( ) x x x Cos x xSin f x , 例 6: 证明: x x  x  x         sin 2 , 2 0,   证明: (1) 证 x x  x         , sin 2 0,  , 为此设辅助函数: f (x) = x −sin x . 则 f (0) = 0 ; f (x) =1− cos x  0  f (x) = f (x)− f (0) = f () x  x . (2) 证 x x sin x 2 , 2 0,            , 为此设辅助函数: g(x) x sin x 2 = −  . 则 f (0) = 0 ; f (x) cos x 2  = −  . ???? 设辅助函数 ( ) x x h x 2 sin = −  . 0 2  =      h ,         2 0,  x
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