5求表面积为a2而体积最大的长方体的体积 解设长方体的三棱长分别为x,y,:,则问题就是在条件 0x,y)=2y+2z+2x-a 下，求函数V=z(x>0,y>0,:>0)的最大值. 解相应的Matlab程序为 >syms x y z lamda a >》L=x*y*2+1amda*(2*x*y+2*y*2+2*2*x-a2):%定义拉格朗日函数 >Lx=diff(L,x)%求L对x的偏导数 输出结果Lx=y*z+1amda*(2*y+2*z) >Ly=diff(L,y)%求L对y的偏导数 输出结果Ly=z*x+1amda*(2*x+2*z) >Lz=diff(L,z)%求L对：的偏导数 输出结果Lz=x*y+1amda*(2*y+2*x) >Llamda=diff(L,lamda)%求L对1的偏导数 输出结果Llamda=2*x*y+2*y*2+2*2*x-a^2 >》[1amda0x0y0z0]=solve(Lx,Ly,Lz,Llamda)%解方程组，求可能的极值点输出结 果 lamda0 -1/24*6(1/2)*a 1/24*6(1/2)*a x0= 1/6*6(1/2)*a -1/6*6(1/2)粗 w0= 1/6*6(1/2)*短 -1/6*6(1/2)*a z0= 1/6*6(1/2)*a -1/6*6^(1/2)*短 上述结果说明，当x=y=:-时，长方体的体积最大 0 5 例 5 求表面积为 2 a 而体积最大的长方体的体积. 解 设长方体的三棱长分别为 x ， y ， z ，则问题就是在条件 2 ( , , ) 2 2 2 x y z xy yz zx a = + + − 下，求函数 V xyz x y z =    ( 0, 0, 0) 的最大值. 解 相应的 Matlab 程序为 >> syms x y z lamda a >> L=x*y*z+lamda*(2*x*y+2*y*z+2*z*x-a^2)； %定义拉格朗日函数 >> Lx=diff(L,x) %求 L 对 x 的偏导数 输出结果 Lx =y*z+lamda*(2*y+2*z) >> Ly=diff(L,y) %求 L 对 y 的偏导数 输出结果 Ly =z*x+lamda*(2*x+2*z) >> Lz=diff(L,z) %求 L 对 z 的偏导数 输出结果 Lz =x*y+lamda*(2*y+2*x) >> Llamda=diff(L,lamda) %求 L 对  的偏导数 输出结果 Llamda =2*x*y+2*y*z+2*z*x-a^2 >> [lamda0 x0 y0 z0]=solve(Lx,Ly,Lz,Llamda) %解方程组，求可能的极值点输出结 果 lamda0 = -1/24*6^(1/2)*a 1/24*6^(1/2)*a x0 = 1/6*6^(1/2)*a -1/6*6^(1/2)*a y0 = 1/6*6^(1/2)*a -1/6*6^(1/2)*a z0 = 1/6*6^(1/2)*a -1/6*6^(1/2)*a 上述结果说明，当 6 6 x y z a = = = 时，长方体的体积最大. O E