因为矩阵C可逆,故x≠0(=12…n)且向量组x1,x2X 线性无关,又由Ax=4x知,λ,2…,n为n阶矩阵A的特 征值,x1x2…x分别为对应的特征向量.所以A有n个线 性无关的特征向量 反之,设x1x2…X为A的线性无关的特征向量,其 对应特征值分别为λ,l2…(可能有相同的),即有 构作矩阵C=(1,x2…x AC=A (AX,, A2X2,, AX因为矩阵 C 可逆, 故 (i n) xi  0 =1,2,  且向量组 x1 x2 xn , ,  , 线性无关，又由 Axi = i xi 知，   n , , , 1 2  为 n A A x1 ,x2 ,  ,xn n 阶矩阵 的特 征值， 分别为对应的特征向量．所以 有 个线 性无关的特征向量． 反之，设 x1 x2 xn , ,  , 为 A 的线性无关的特征向量，其 对应特征值分别为   n , , , 1 2  （可能有相同的），即有 A i i i x =  x (i =1,2, n). 构作矩阵 ( ) x1 x2 xn C = , ,  , ( ) x1 x2 xn AC = A , ,  , ( , , , ) = A1 x1 A2 x2  Axn