pin=P(X=jXo=i) ∑P(xn=l,Xn=儿X0=1 (=1=0x,==1 ∑P(xn=lX6=)P(Xn=儿X ≠jX1=j ∑P(n=Xo=P( 推论44.1:i→j台∫>0 定义441:若fn=1,称状态i为常返的 (recurrent;若f<1,则称状态i为瞬 过的 transien) 如果状态i为常返的,系统无穷次返回状态i的概率为1;如果状态i为瞬过, 系统无穷次返回状态i的概率为0 定理442:状态i为常返的台∑P=∞;状态为瞬过台∑<∞。 证:分别引入序列{P,n≥0和{r,n≥的形式上的母函数 P(s)= P("s”=+∑P"s",F2(s)=∑∫ 于是∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = − = = − = = = = = = = = = = = = = ≠ ≠ = = = = = = = = = = = = = = n l n l jj l ij n l ij n l n l ij n l l n l ij n ij n l ij n n n ij f P P l X i P X j X j P l X i P X j X i X j X j X j P l X i P X j l X i P l X j X i P P X j X i 1 ( ) ( ) 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) τ τ τ τ τ L 推论 4.4.1：i → j ⇔ fij > 0。 定义 4.4.1： 若 fii =1，称状态i 为常返的(recurrent)；若 fii <1，则称状态i 为瞬 过的(transient)。 如果状态i 为常返的，系统无穷次返回状态 的概率为 1；如果状态i 为瞬过， 系统无穷次返回状态i 的概率为 0。 i 定理 4.4.2：状态i 为常返的⇔ ∑ = ∞ ；状态 为瞬过 。 ∞ =1 ( ) n n Pii i ⇔ ∑ < ∞ ∞ =1 ( ) n n Pii 证：分别引入序列{ , 0} ( ) P n ≥ n ij 和{ , 1} ( ) f n ≥ n ij 的形式上的母函数 ∑ ∑ ∞ = ∞ = = = + 1 ( ) 0 ( ) ( ) n n n ij ij n n n ij ij P s P s δ P s ， ∑ ∞ = = 1 ( ) ( ) n n n ij ij F s f s 于是 6