P(s)=+∑∑f 6+∑∑ 6+∑/(s∑P =δn+∑fms∑Psn 6+F(s)P(s) 令i=j,则P(s) 1-()故 EPim=lim P (S)=1-lim F, (S)l-fu s→1 推论42:若状态j是非常返即瞬过的,则对任意i∈S,∑P<∞,此时 lim pm)=0 对于常返态,进一步来研究它的平均常返时间:H1=E1=∑n/m 定义44.2:若1<∞,则称i为正常返( positive recurrent);若A1=∞则称i为零 常返 lull recurrent);一个正常返非周期状态称为遍历态 ergodic state)。 定理44.3:若i为常返,则i为零常返台limP=0 推论44.3:若状态j是零常返的,则对任意i∈S, lim P=0。 证明:由于P=∑fP"≤∑fPm+∑f0,于是,先固定m,令n→∞ 有∑p-0→0。由于=∑∫”sl,故再令m→∞时,∑/→0,故 limP)=0。( ) ( ) ( ) 1 0 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) F s P s f s P s f s P s f P s P s f P s ij ij jj l n n n jj l l ij ij l n l n l n l jj l l ij ij l n n l n l jj l ij ij n n n l n l jj l ij ij ij = + = + = + = + = + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = − ∞ = − ∞ = ∞ = − ∞ = = − δ δ δ δ δ 令i = j ，则 1 ( ) 1 ( ) F s P s ii ii − = 。故 ii ii s ii s n n ii F s f P P s − = − = = − − → → ∞ = ∑ 1 1 1 lim ( ) 1 lim ( ) 1 1 0 ( ) 。 推论 4.4.2：若状态 j 是非常返即瞬过的，则对任意i ∈ S ， ，此时 。 ∑ < ∞ ∞ =0 ( ) n n Pij lim 0 ( ) = →∞ n ij n P 对于常返态i ，进一步来研究它的平均常返时间： ∑ 。 ∞ = = = ⋅ 1 ( ) n n i ii ii µ Eτ n f 定义 4.4.2：若µ i < ∞，则称i 为正常返(positive recurrent)；若µ i = ∞ 则称i 为零 常返(null recurrent)；一个正常返非周期状态称为遍历态(ergodic state)。 定理 4.4.3：若i 为常返，则i 为零常返 lim 0。 ( ) ⇔ = →∞ n ii n P 推论 4.4.3：若状态 j 是零常返的，则对任意i ∈ S ，lim ( ) = 0。 →∞ n ij n P 证明：由于 ∑ ∑ ∑ ，于是，先固定 ，令 = = + − = − = ≤ + n l m l ij m l n l jj l ij n l n l jj l ij n ij P f P f P f 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) m n → ∞ 有 0。由于 1 ∑ ( ) ( ) → = − m l n l jj l fij P ∑ ∞ = = 1 ( ) n n ij ij f f ≤1，故再令 m → ∞ 时， ，故 。 0 1 ∑ ( ) → ∞ l=m+ l ij f lim 0 ( ) = →∞ n ij n P 7