定理444:若i遍历态,则limP(=-;若i是周期为d的正常返态,则 lim p 证明:由于P2()=1-F()酸(1-s)()≈1-s 1-F(s两边令s→1,则左边 lim(1-s)P(s)=lir n) lim p(n) k+1 右边im1-5 =im 1-Fn(s)x→rFn(s)1 ,因此imP(m)1 定理45:若状态/是遍历的,则对任意/∈,lmP=. 定理4.4.6:若j常返且j→i,则f=1。 证明:反证,若f<1,则从出发经过有限步,不能到达j的概率为1-f>0, 由于j→i,故从j出发,将以某个正概率经过有限步不能回到j,故∫<1。矛 盾! 综上,可得: 瞬过台∑P 零常返台∑P=∞且imP”=0 i正常返∑P=∞且lmP>0定理 4.4.4：若 i 遍历态，则 i n ii n P µ 1 lim ( ) = →∞ ；若 i 是周期为 d 的正常返态，则 i nd ii n d P µ = →∞ ( ) lim 。 证明：由于 1 ( ) 1 ( ) F s P s ii ii − = ，故 1 ( ) 1 (1 ) ( ) F s s s P s ii ii − − − = ，两边令s →1− ，则左边 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) 1 0 0 ( ) 1 0 0 ( ) 1 1 lim 1 lim lim lim lim(1 ) ( ) lim lim lim n ii n k n n ii k k n n k n n n ii k s k n n k n n n ii s k n n n n n ii s ii s P k P s P s s P s s P s s P s →∞ = →∞ = = →∞ → = = → →∞ ∞ = ∞ = → → = + = = − = = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ − − − − 右边 ii i s ii s F s F s s µ 1 ( ) 1 lim 1 ( ) 1 lim 1 1 = ′ = − − → − → − ，因此 i n ii n P µ 1 lim ( ) = →∞ 。 定理 4.4.5：若状态 j 是遍历的，则对任意i ∈ S ， j n ij ij n f P µ = →∞ ( ) lim 。 定理 4.4.6：若 j 常返且 j → i ，则 fij =1。 证明：反证，若 fij <1，则从i 出发经过有限步，不能到达 j 的概率为 ， 由于 1 − fij > 0 j → i ，故从 j 出发，将以某个正概率经过有限步不能回到 j ，故 。矛 盾！ f jj <1 综上，可得： i 瞬过⇔ ∑ < ∞； ∞ =1 ( ) n n Pii i 零常返⇔ ∑ = ∞ 且 ； ∞ =1 ( ) n n Pii lim 0 ( ) = →∞ n ii n P i 正常返⇔ ∑ = ∞ 且 ； ∞ =1 ( ) n n Pii lim 0 ( ) _____ > →∞ n ii n P 8