第三节泰勒公式 教学目的:理解泰勒中值定理,掌握常见泰勒公式. 教学重点:泰勒中值定理 教学难点:泰勒中值定理和泰勒中值定理的应用 教学内容 泰勒( Tay lor)中值定理的引入 于一些较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达由于用多 项式表示的函数,只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算,便能求出它的函数值,因此我 们经常用多项式来近似表达函数 在微分的应用中已经知道,当很小时,有如下的近似等式 e’≈1+x,hn(1+x)≈x 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子但是这种近似表达式还存在着不足之处:首 先是精确度不高,这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小;其次是用它来作近似计算时,不能 具体估算出误差大小.因此,对于精确度要求较高且需要估计误差时候,就必须用高次多项式 来近似表达函数,同时给出误差公式 设函数f(x)在含有的开区间内具有直到n+1阶导数,现在我们希望做的是找出一个关 x-x6的n次多项式 2 a2(x-x0) 来近似表达f(x),要求p.(x)与几x)之差是比(x-x)高阶的无穷小,并给出误差 Rx)=(x)-2,(x)的具体表达式 我们自然希望P,(x)与f(x)在和的各阶导数(直到n+1阶导数)相等,这样就有 P2()=a0+a(x-x)+a2(x-x)+…+a、(x-x F,(x)=a1+2a2(x-x (x-x) 2,(x)=2a2+32.a1(x-x)+…+n(-1)a,(x-x)”2 Px)=3a2+43.2a(x-x)+…+m(-1(n-2)a,(x-x) (=nla 于是P,(x)=ap,(x)=a,P,(x)=2lan,p,(x)=31a1…,P.(xn)=a 按要求有(x)=P()=a,(x2)=p.(x)=a, f"(x)=P.(xn)=2a2,f"(xn)=Px)=3a f"(x)=p,(x)=r!a 从而有a,=f(x)a=f(x)吗“”), a2="(x0)4n=0 a=f() (k= 2) 于是就有 p,(xf(x)+r(x)(x-x)+1r(x)(x-x)2+…+1(x)(x-b)第三节 泰勒公式 教学目的：理解泰勒中值定理，掌握常见泰勒公式. 教学重点：泰勒中值定理. 教学难点：泰勒中值定理和泰勒中值定理的应用. 教学内容： 一、泰勒(Taylor)中值定理的引入 对于一些较复杂的函数, 为了便于研究, 往往希望用一些简单的函数来近似表达. 由于用多 项式表示的函数, 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算, 便能求出它的函数值, 因此我 们经常用多项式来近似表达函数. 在微分的应用中已经知道, 当 很小时, 有如下的近似等式: , 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子. 但是这种近似表达式还存在着不足之处: 首 先是精确度不高, 这所产生的误差仅是关于 的高阶无穷小; 其次是用它来作近似计算时, 不能 具体估算出误差大小. 因此, 对于精确度要求较高且需要估计误差时候, 就必须用 高次多项式 来近似表达函数, 同时给出误差公式. 设函数 在含有的开区间内具有直到 阶导数, 现在我们希望做的是: 找出一个关 于 的 次多项式 来 近 似 表 达 , 要 求 与 f(x) 之 差 是 比 高 阶 的 无 穷 小 , 并 给 出 误 差 的具体表达式. 我们自然希望 与 在 的各阶导数(直到 阶导数)相等, 这样就有 ……, 于是 , , , ,…, . 按要求有 , , , , × × × × ×, 从而有 , , , , …… , ， 即 ( ). 于是就有