a)S-1=S,因此A=SAST是对称的。奇异值非负,因此由A=∑(A 的特征值)是非负的,知A是对称且半正定。它可能是奇异的(零矩阵是一个例 子) (b)一个投影矩阵的特征值是1或0,且它们的和是2,因此其特征值必 定为1,1,0。例如 0 01212 (c)A4=/250 因此奇异值是5和7。有 01 和 70 01 05 00 d)1.A的特征值是1,1,2,和B的特征值相同 2.A不一定可对角化。 3.A不一定是对称的 4.给定A的特征值是正的,它也不一定是对称的,因此A不一定是正定2. ✝ 40 ✞✠✟ ✝ a ✟ S −1 = S T ✜ ✩✵✫ A = SΛS T ✒✷✶✷✸✷✡✷✓✺✹✷✻✷✍✽✼✷✾ ✜ ✩✵✫✽✿ Λ = Σ(A ✡☞☛☞✌☞✍) ✒✙✼☞✾✛✡ ✜❁❀ A ✒☞✶☞✸✢☞❂☞❃✏☞✓❁❄ ✳☞✴✒☞✹☞✻☞✡❅✝❇❆☞❈✙❉✛✒☞❊☞❋☞● ❍ ✟■✓ ✝ b ✟❏❊☞❋☞❑☞▲☞❈✙❉✛✡☞☛☞✌☞✍☞✒ 1 ▼ 0 ✜◆✢❄☞❖☞✡☞P☞✒ 2 ✜ ✩✛✫✤☛☞✌☞✍☞✎ ✏☞◗ 1,1,0 ✓✕●☞❘    1 0 0 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2    ✝ c ✟ AT A = " 25 0 0 49 # ✩✛✫☞✹☞✻☞✍☞✒ 5 P 7 ✓✕✖ V = " 0 1 1 0 # P A =    0 3 5 − 4 5 0 4 5 3 5 1 0 0       7 0 0 5 0 0    " 0 1 1 0 # ✝ d ✟ 1.A ✡☞☛☞✌☞✍☞✒ 1,1,2 ✜ P B ✡☞☛☞✌☞✍☞❙✙❚✛✓ 2.A ✥ ❊☞✏✳✶✙❯✛❱☞✓ 3.A ✥ ❊☞✏☞✒☞✶☞✸☞✡☞✓ 4. ❲✦✏ A ✡✦☛✦✌✦✍✦✒❃ ✡ ✜ ❄✦❳✥ ❊✦✏✦✒✦✶✦✸✦✡ ✜ ✩✬✫ A ✥ ❊✦✏✦✒❃ ✏ ✡☞✓ 2