第六章参数估计 、教学要求 1.理解点估计的概念 2.掌握矩估计法(一阶、二阶)和极大似然估计法 3.了解估计量的评选标准(无偏性、有效性、一致性)。 4.理解区间估计的概念。 5.会求单个正态总体的均值和方差的置信区间。 6.会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。 本章重点:未知参数的矩估计,极大似然估计及正态总体未知参数的区间估计。 教学内容 §6.1参数的点估计 611问题的提出 在实际问题中经常遇到随机变量X(即总体X的分布函数F(x;1,2,On)的形式已 知,但其中的参数O,(=12,,m)未知的情形。当得到了X的一个样本值(x1,x2,,xn)后 希望利用样本值来估计X分布中的未知参数值;或者X的分布函数形式未知,利用样本值 估计X的某些数字特征。这类问题称为参数的点估计问题。 612矩估计法 矩估计法是由英国统计学家皮尔逊(K. Pearson)在1894年提出的求参数点估计的方法。 由大数定律知道,样本矩依概率收敛于总体矩,这就是说只要样本容量n取得充分大时, 用样本矩作为总体矩的估计可以达到任意精确的程度。根据这一原理,矩估计法的基本思想 是用样本的k阶原点矩A=∑X去估计总体X的k阶原点矩E(x):用样本的k阶 中心矩B1=(-)去估计总体X的k阶中心矩E(x-E(x)y,并由此得到未知 参数的估计量 设总体X的分布函数为F(x,O2,On),O1,O2,On是m个待估计的未知参数 设an=E(Xn)存在,对任意k(k=1,2,,m) a4=E(x)=xdF(xa2,D2)=a1(0,02,On) 现用样本矩作为总体矩的估计,即令 ∑x4=a、G,02,,n)(k 这便得到含m个参数6,62,,n的m个方程组,解该方程组得 4=0,(x1,X2,Xn)第六章 参 数 估 计 一、教学要求 1．理解点估计的概念。 2．掌握矩估计法(一阶、二阶)和极大似然估计法。 3．了解估计量的评选标准(无偏性、有效性、一致性)。 4．理解区间估计的概念。 5．会求单个正态总体的均值和方差的置信区间。 6．会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。 本章重点：未知参数的矩估计，极大似然估计及正态总体未知参数的区间估计。 二、教学内容 § 6.1 参数的点估计 6.1.1 问题的提出 在实际问题中经常遇到随机变量X (即总体X)的分布函数 ( ) j m F x ;θ 1 ,θ 2 ,...,θ 的形式已 知，但其中的参数 (i m) i θ = 1,2,..., 未知的情形。当得到了 X 的一个样本值( )后， 希望利用样本值来估计 X 分布中的未知参数值；或者 X 的分布函数形式未知，利用样本值 估计 X 的某些数字特征。这类问题称为参数的点估计问题。 n x , x ,..., x 1 2 6.1.2 矩估计法 矩估计法是由英国统计学家皮尔逊（K. Pearson）在 1894 年提出的求参数点估计的方法。 由大数定律知道，样本矩依概率收敛于总体矩，这就是说只要样本容量 n 取得充分大时， 用样本矩作为总体矩的估计可以达到任意精确的程度。根据这一原理，矩估计法的基本思想 是用样本的 k 阶原点矩 ∑= = n i k k Xi n A 1 1 去估计总体 X 的 k 阶原点矩 ( ) E X k ；用样本的 k 阶 中心矩 ( k n i k i x x n B ∑= = − 1 1 ) 去估计总体 X 的 k 阶中心矩 ( ( )) k E X − E Xk ，并由此得到未知 参数的估计量 设总体 X 的分布函数为 ( ) m F x;θ 1 ,θ 2 ,...,θ ， , ,..., θ 1 θ 2 θ m 是 m 个待估计的未知参数。 设 ( m = E X m α )存在，对任意 k.( ) k = 1,2,...,m ( ) ( ) ∫ +∞ −∞ = = m k k k α E X x dF x;θ 1, θ 2 ,...,θ ( ) α k θ θ θ m , ,..., = 1 2 现用样本矩作为总体矩的估计，即令 ∑ ( ) = = n i k m k Xi n 1 1 2 ˆ ,..., ˆ , ˆ 1 α θ θ θ (k = 1,2,...,m) 这便得到含 m 个参数θ ˆ 1 ,θ ˆ 2 ,...,θ ˆ m 的 m 个方程组，解该方程组得 ( ) k k X X Xn , ,..., ˆ ˆ θ = θ 1 2 (k = 1,2,...,m) 1