第四讲曲面论(一) 2001年11月2日 1曲面的标架 今天我们讲一点曲面论.微积分在曲面上应用的研究在整个数学里头是很 要紧的.这是因为在曲面论中,曲面的这些性质往往扩充到其他更广的情 形,而这些更广的情形变化到曲面的时候也有很多性质,在曲面的情形已经 发生了.那么,曲面有个优点,就是我们假定它是在3维空间里头,所以你看 得见,你可以画图,可以在看得见它上头的曲线里的性质及其他什么的 到高维以后,就看不见了.我的讲法跟书不一样,所以我想大家把这几页材 料复印一下.这个材料大概应该在普通微分几何书上找不到的,它有个优 点,就是快得很而且方法来得简单.那么什么是曲面呢?曲面就是图上 个扭曲的东西,我把它的点的坐标表为两个变数的函数,这两个变数我叫 做u,0.u,一般叫做参数( parameter),假使u,v变化的时候,这些点的轨迹 就成了一个2维的曲面x(x,)=(x2(u,),x2(u,v),x3(u,v).于是因为有u,t, 所以你可以使得一个参数的值是常数,然后使得另一个参数变化.设u是 常数,令u变化,所以就有一条曲线,它的参数是u.同样,你可以使得u不 变,而v变化因此在曲面里头,有两组曲线,它的参数一组是υ等于常数, 组u是等于常数对于这两组曲线,每一条曲线在每一点都有一条切线.所以 在一个点x,我们就有两条直线.我假定这两条直线不重合,换句话说,解析 地讲,x,x不是同一个方向,不平直(线性)相关,其中x,x,就是x的矢量分 别对u,求偏微分.或者我说,它的矢量积x1×x2≠0.假使这两个方向不重 合,所以它们就张成一个平面,这个平面我叫做曲面在这一点的切面.这个 切面在x这一点有个垂直的方向,这个方向的直线一般叫做法线.沿着法线 的方向有一个单位矢量,因此也叫做法矢量.这个法矢量有两个选择,它可 以向上走,也可以向下走,有两个方向刚好相反的选择.我选择它使得x,x2 跟法矢量是一个右手的坐标标架,是一个右手系.换句话说,我叫这个法矢➅➃❨ ▼➪❳(✘) 2001★11Û2❺ 1 ▼➪④✮✪ ➌✕➲➣❨✘➎▼➪❳. ❻è■ó▼➪Þ❛⑦④Ï➘ór➬❥➛➦❃✹✐ ✞➏④. ❨✹❖➃ó▼➪❳➙, ▼➪④❨❏✉➓⑨⑨❥ßtÙ➷❮✒④❁ ♦, ✌❨❏❮✒④❁♦★➎t▼➪④✣⑧✎❿✐õ✉➓, ó▼➪④❁♦✳➨ ✕✠ê. ￾➃, ▼➪❿➬⑨➎, Ò✹➲➣✧➼➬✹ó3➅✽✲➦❃, ➘✶✜✗ ③❉, ✜✱✶➌❈, ✱✶ó✗③❉➬Þ❃④▼✧➦④✉➓ùÙ➷✤➃④. ✘ t➦➅✶⑨, Ò✗❳❉ê. ➲④❨✛❐❱❳✘ø, ➘✶➲✳▲✛➨❨✁✏❛ î❹❭✘✆. ❨➬❛î▲➊❛➈ó✃✴❻■✁❬❱Þ■❳t④, ➬❿➬⑨ ➎, Ò✹❖③✐✌✪✵✛✉③❀❭. ￾➃✤➃✹▼➪✑? ▼➪Ò✹❈Þ✘ ➬❀▼④➚Ü, ➲➨➬④➎④✰✮✱➃Ü➬★❥④❁❥, ❨Ü➬★❥➲✇ ✮u, v. u, v✘➘✇✮❦❥(parameter), ✧✫u, v★➎④✣⑧, ❨❏➎④✛ì Ò➘ê✘➬2➅④▼➪x(u, v) = (x 1 (u, v), x2 (u, v), x3 (u, v)). ➉✹❖➃❿u, v, ➘✶✜✱✶✫③✘➬❦❥④❾✹➒❥, ❧⑨✫③☞✘➬❦❥★➎. ÷v ✹ ➒❥, ✌u ★➎, ➘✶Ò❿✘✣▼✧, ➬④❦❥✹u. ✸ø, ✜✱✶✫③u❳ ★, ✌v★➎. ❖✩ó▼➪➦❃, ❿Ü✜▼✧, ➬④❦❥✘✜✹v ⑧➉➒❥, ✘ ✜u✹⑧➉➒❥. é➉❨Ü✜▼✧, ➎✘✣▼✧ó➎✘➎Ñ❿✘✣★✧. ➘✶ ó✘➬➎x, ➲➣Ò❿Ü✣❺✧. ➲✧➼❨Ü✣❺✧❳➢❭, ➛é➏⑨, ❽Û ➃❨, xu, xv ❳✹✸✘➬✵✺, ❳➨❺(✧✉)★✞, Ù➙xu, xvÒ✹x ④✪Þ■ ✴éu, v❋➔❻■. Ý❱➲⑨, ➬④✪Þèxu × xv 6= 0. ✧✫❨Ü➬✵✺❳➢ ❭, ➘✶➬➣Ò❁➘✘➬➨➪, ❨➬➨➪➲✇✮▼➪ó❨✘➎④★➪. ❨➬ ★➪óx❨✘➎❿➬✒❺④✵✺, ❨➬✵✺④❺✧✘➘✇✮✛✧. ×ø✛✧ ④✵✺❿✘➬❭➔✪Þ, ❖✩✎✇✮✛✪Þ. ❨➬✛✪Þ❿Ü➬➔✡, ➬✱ ✶✺Þ✒, ✎✱✶✺✆✒, ❿Ü➬✵✺➛P★✬④➔✡. ➲➔✡➬✫③xu, xv ❐✛✪Þ✹✘➬➁❈④✰✮✮✪, ✹✘➬➁❈ø. ➛é➏⑨, ➲✇❨➬✛✪ 1