·8 工程科学学报，第37卷，增刊1 表1基本板形缺陷表达式 Table 1 Functions of basic flatness pattems 基本板形模式 板形缺陷 表达式 OS(Operating side)边浪 Y1=为=x 一次基本板形模式 Ds(Driving side)边浪 y2=-=-x 中浪 二次基本板形模式 =%=76x2-) 双边浪 =-⅓=-（3x-) DS单侧肋浪加OS单边浪 三次基本板形模式 %=%=752-3别 OS单侧肋浪加DS单边浪 =%=-宁6-3刘 四分之一浪 与=4=g35x-302+3) 四次基本板形模式 边中复合浪 =-%=-g（35r-302+3) 板形模式识别结果可表示为各基本板形模式的线 性组合，如式(3)所示 [auanl+au2×100%(1=1,3,5,7), 2公1al p)=A)=12340. (3) 八1= Ianl-ae×100% (1=2,4,6,8). 式中，a为对应各基本板形模式的回归系数.通过a: 2∑1al 的正负来判断其对应基本板形模式下何种板形缺陷. (7) 2.2板形模式识别算法 最小二乘法是常用的曲线拟合与分析方法，具有 山满足名山=1的性质，同时认为在一顿板形应 简单、直观的特点，在板形控制领域也多有应用.本文 力中4，最大的板形缺陷分量为此帧板形的主要板形 采用基于最小二乘原理的勒让德正交多项式回归分析 缺陷，统计一卷带钢全部实测板形中各板形缺陷比例， 方法对超宽带钢冷连轧机带钢的板形进行模式识 以比例最大的板形缺陷为此卷带钢的主要板形缺陷. 别1-围.此过程可转换为求满足式(4)的多项式回归 系数a 3模型验证与应用 ,(x,)-p(x)]2 3.1模型验证 (4) 为了说明在超宽带钢冷连轧机板形模式识别过程 令a,a4a)=会)-p]户，并将 中引入三次基本板形模式的必要性，分别取一帧某厂 2180 mm CVC超宽带钢冷连轧机和1550 mm UCM 式(3)代入此表达式，可将此问题转换为求多元函数 (universal crown mill).普通宽带钢冷连轧机生产的宽 的极值问题。根据多元函数极值的充要条件有： 度约为1200mm带钢的板形仪检测结果，代入含三次 器=-2a-豆awwa)= 基本模式板形模式和不含三次基本板形模式的模型进 行识别，结果如图4所示，其对应各次基本板形模式的 (k=1,2,3,4) (5) 项式回归系数a,及识别结果的SSE(残差平方和)如 表2所示，对应各板形缺陷的所占比例4，如表3 令4：=月)6= ∑(x,)(x)则 所示 式(5)可转化为： 从图4和表2中，可以看出引入三次基本板形模 4 式后，超宽带钢轧机板形识别结果拟合残差SSE与不 a=c(k=1,2,34). (6) 含三次分量的识别结果相比下降了148%，且曲线形 解由式(6)构成的多元线性方程组，即可求出各 式与实际板形更为接近：而对于普通宽带钢轧机的板 基本板形模式的回归系数：为了使一帧内及多帧间 形而言，是否引入三次基本板形模式，两种方法的拟合 实测板形中的板形缺陷具有可比性，定义如式(7)所 残差SSE相差低于30%，识别结果曲线形式并没有明 示，4(1=1,2，…，8)表示8种板形缺陷(Y,Y2,…, 显变化.从表3中可以看出，对于超宽带钢轧机带钢 Y)在一帧板形应力中所占比例. 板形而言，考虑三次基本板形模式时，各板形缺陷所占工程科学学报，第 37 卷，增刊 1 表 1 基本板形缺陷表达式 Table 1 Functions of basic flatness patterns 基本板形模式 板形缺陷 表达式 一次基本板形模式 OS( Operating side) 边浪 Y1 = y1 = x DS( Driving side) 边浪 Y2 = － y1 = － x 二次基本板形模式 中浪 Y3 = y2 = 1 2 ( 3x2 － 1) 双边浪 Y4 = － y2 = － 1 2 ( 3x2 － 1) 三次基本板形模式 DS 单侧肋浪加 OS 单边浪 Y5 = y3 = 1 2 ( 5x3 － 3x) OS 单侧肋浪加 DS 单边浪 Y6 = － y3 = － 1 2 ( 5x3 － 3x) 四次基本板形模式 四分之一浪 Y7 = y4 = 1 8 ( 35x4 － 30x2 + 3) 边中复合浪 Y8 = － y4 = － 1 8 ( 35x4 － 30x2 + 3) 板形模式识别结果可表示为各基本板形模式的线 性组合，如式( 3) 所示． p( xi ) = ∑ 4 j = 1 aj yj ( xi ) ( j = 1，2，3，4) ． ( 3) 式中，aj 为对应各基本板形模式的回归系数． 通过 ai 的正负来判断其对应基本板形模式下何种板形缺陷． 2. 2 板形模式识别算法 最小二乘法是常用的曲线拟合与分析方法，具有 简单、直观的特点，在板形控制领域也多有应用． 本文 采用基于最小二乘原理的勒让德正交多项式回归分析 方法对超宽带钢冷连轧机带钢的板形进行模式识 别［11--13］． 此过程可转换为求满足式( 4) 的多项式回归 系数 aj ． min xi ∑ n i = 1 ［f( xi ) － p( xi ) ］2 ． ( 4) 令 ( a1，a2，a3，a4 ) = ∑ n i = 1 ［f( xi ) － p( xi ) ］2 ，并将 式( 3) 代入此表达式，可将此问题转换为求多元函数 的极值问题． 根据多元函数极值的充要条件有:  ak = － 2 ∑ n i = [ 1 f( xi ) － ∑ 4 j = 1 aj yj ( xi ] ) yk ( xi ) = 0 ( k = 1，2，3，4) ． ( 5) 令 bjk = ∑ n i = 1 yj ( xi ) yk ( xi ) ，ck = ∑ n i = 1 f( xi ) yk ( xi ) 则 式( 5) 可转化为: ∑ 4 j = 1 aj bjk = ck ( k = 1，2，3，4) ． ( 6) 解由式( 6) 构成的多元线性方程组，即可求出各 基本板形模式的回归系数 aj ． 为了使一帧内及多帧间 实测板形中的板形缺陷具有可比性，定义如式( 7) 所 示，μl ( l = 1，2，…，8) 表示 8 种板形缺陷( Y1，Y2，…， Y8 ) 在一帧板形应力中所占比例． μl = | a( l +1) /2 | + a( l +1) /2 2∑ 4 k = 1 | ak | × 100% ( l = 1，3，5，7) ， | al /2 | － al /2 2∑ 4 k = 1 | ak | × 100% ( l = 2，4，6，8)        ． ( 7) μl 满足 ∑ 8 l = 1 μl = 1 的性质，同时认为在一帧板形应 力中 μl 最大的板形缺陷分量为此帧板形的主要板形 缺陷，统计一卷带钢全部实测板形中各板形缺陷比例， 以比例最大的板形缺陷为此卷带钢的主要板形缺陷． 3 模型验证与应用 3. 1 模型验证 为了说明在超宽带钢冷连轧机板形模式识别过程 中引入三次基本板形模式的必要性，分别取一帧某厂 2180 mm CVC 超 宽 带 钢 冷 连 轧 机 和 1550 mm UCM ( universal crown mill) 普通宽带钢冷连轧机生产的宽 度约为 1200 mm 带钢的板形仪检测结果，代入含三次 基本模式板形模式和不含三次基本板形模式的模型进 行识别，结果如图 4 所示，其对应各次基本板形模式的 项式回归系数 aj 及识别结果的 SSE( 残差平方和) 如 表 2 所 示，对应各板形缺陷的所占比例 μl 如 表 3 所示． 从图 4 和表 2 中，可以看出引入三次基本板形模 式后，超宽带钢轧机板形识别结果拟合残差 SSE 与不 含三次分量的识别结果相比下降了 148% ，且曲线形 式与实际板形更为接近; 而对于普通宽带钢轧机的板 形而言，是否引入三次基本板形模式，两种方法的拟合 残差 SSE 相差低于 30% ，识别结果曲线形式并没有明 显变化． 从表 3 中可以看出，对于超宽带钢轧机带钢 板形而言，考虑三次基本板形模式时，各板形缺陷所占 ·8·