1r(+n+1) z6(m2r(-n+1(2 (x-1)+∑dn(x-1)n n=0 按照常微分方程级数解法的标准步骤,定出系数g(一定不为0)和dn即可 更实用的办法是根据第二解与第一解之间的关系,写出 y2(r)= gPl(a) PI(e) gP(a) P()21-52 +gPI(a) ri P()]2 容易判断右端第二项在|x-1<2内解析,因此可以将第二解设为 ()=P()l2++∑(x-1y 取g=1,并定出dn,最后就可以求出 Legendre方程的第二解 Q(x)=-P1(x) +1 2y-2(1+1)+ PFn+(1+5+…+ 1P(l+n+1) 称为l次第二类 Legendre函数,其中?是Elr数,中(2)是函数的对数微商,由于函数P(x)(延 拓到全平面后,它是以x=-1和x=∞为枝点的多值函数)和Q1(x)的多值性已有约定性的规 定,使用时需要特别注意Wu Chong-shi ￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞✌✍✎✏✑ (✄ ) ✒ 5 ✓ = g X∞ n=0 1 (n!)2 Γ (l + n + 1) Γ (l − n + 1)  x − 1 2 n ln(x − 1) + X∞ n=0 dn(x − 1)n . ❣❤s✺ñ✿❀➾ t❇✐✼✩❥❦❧●❵áÕt g(❫❵❈❑ 0) ❣ dn ✂❁✾ ♠✬Ò✼♥✐❆✹❚❀☎❇♦❀❫❇♣q✼♣Õ●rá y2(x) = gPl(x) Z x ( 1 [Pl(ξ)]2 exp "Z ξ 2ζ 1 − ζ 2 dζ #) dξ = gPl(x) Z x 1 [Pl(ξ)]2 dξ 1 − ξ 2 = gPl(x) Z x dξ 1 − ξ 2 + gPl(x) Z x  1 [Pl(ξ)]2 − 1  dξ 1 − ξ 2 , st✌✍✉❈❀☎➘▲ |x − 1| < 2 ◗❇✐●❁▲❁➬✢ ❀☎❇❏❑ y2(x) = g 2 Pl(x) ln x + 1 x − 1 + X∞ n=0 dn(x − 1)n . ❝ g = 1 ●✈❵á dn ●✇✕Ö❁➬❘á Legendre ✿❀✼❀☎❇ Ql(x) = 1 2 Pl(x)  ln x + 1 x − 1 − 2γ − 2ψ(l + 1) + X∞ n=0 1 (n!)2 Γ (l + n + 1) Γ (l − n + 1)  1 + 1 2 + · · · + 1 n  x − 1 2 n , ✆ ❑ l ❱❀☎❞ Legendre ②t●q r γ ❆ Euler t● ψ(z) ❆ Γ ②t✼✻t✺①✾❑❰②t Pl(x)(② ③❇④⑤ö✕●þ❆➬ x = −1 ❣ x = ∞ ❑■✺✼✇①②t ) ❣ Ql(x) ✼✇①✻ ✼ ➚⑥❵✻✼⑦ ❵●❐Ò❄⑧à⑨❄⑩❶✾