正则奇点邻域 4 例92求 Legendre方程 (1 +l(l+1)y=0 在x=1邻域内的有界解 解因x=1是 Legendre方程的正则奇点,故应设 v(x)=(x-1)∑cn(x-1)y n=0 代入方程,就有 (n+p)2(x-1) 由此可以得到指标方程 p(p-1)+p=0 和递推关系 (n-1)-l(1+1) 指标方程的解是 这说明 Legendre方程在r=1点邻域内的第一解实际上是在圆域|x-1|<2内解析的 当然在x=1点有界;而笫二解则一定含有对数项,以x=1(和x=-1)为枝点,因而 在x=1(和x=-1)点发散.故只需求第一解 由递推关系,可以求出 Legendre方程在x=1点邻域内第一解的系数的通项公式 (+n)( (+n)(+1-m)(+n-1)(l+2-n) )(+n-1)(+2-m)(l (n!)2r(l-n+1)(2 取co=1,就求出了 Legendre方程的第一解 Pl(a) 1r(l+n+1) (n)2r(l-n+1) 称为l次第一类 Legendre函数 如果要继续求第二解,则应设 32(r)=gPi(r)In(r-1)+>dn(a-1)'Wu Chong-shi §9.1 ✡☛÷øùúûü ý☞✏ ✒ 4 ✓ ✟ 9.2 ❘ Legendre ✿❀ ￾ 1 − x 2
d 2y dx 2 − 2x dy dx + l(l + 1)y = 0 ▲ x = 1 ❖P ◗✼➚❍❇✾ ✵ ❁ x = 1 ❆ Legendre ✿❀✼▼◆✽✺●■✃❏ y(x) = (x − 1)ρ X∞ n=0 cn(x − 1)n . ✣✤✿❀●Ö➚ X∞ n=0 cn (n + ρ)(n + ρ + 1) − l(l + 1) (x − 1)n+1 + 2X∞ n=0 cn(n + ρ) 2 (x − 1)n = 0. ❑▲❁➬❒❇★✩✿❀ ρ(ρ − 1) + ρ = 0 ❣ ÓÔ♣Õ cn = − n(n − 1) − l(l + 1) 2n2 cn−1. ★✩✿❀✼❇❆ ρ1 = ρ2 = 0. ↕➟ ▼ Legendre ❼❽④ x = 1 ◆❖P ◗❷ ❘➝❸ ❙❚⑩❯④ ❱ P |x−1| < 2 ◗❸❲❷● å➁④ x = 1 ◆ ➢❳✄ê ❘❨❸❩➝❬è ➢é➆➩●❭ x = 1(➫ x = −1) ↔❪ ◆ ●➣ê ④ x = 1(➫ x = −1) ◆❫❴✾❵ ❛ë➐ ❘➝❸✾ ❑ÓÔ♣Õ●❁➬❘á Legendre ✿❀▲ x = 1 ✺❖P ◗❀❫❇✼Õt✼✥ ➘❜Û cn = (l + n)(l + 1 − n) 2n2 cn−1 = (l + n)(l + 1 − n) 2n2 (l + n − 1)(l + 2 − n) 2(n − 1)2 cn−2 = · · · · · · = (l + n)(l + 1 − n) 2n2 (l + n − 1)(l + 2 − n) 2(n − 1)2 · · · (l + 1)l 2 · 1 2 c0 = 1 (n!)2 Γ (l + n + 1) Γ (l − n + 1)  1 2 n c0. ❝ c0 = 1 ●Ö❘á☞ Legendre ✿❀✼❀❫❇ Pl(x) = X∞ n=0 1 (n!)2 Γ (l + n + 1) Γ (l − n + 1)  x − 1 2 n , ✆ ❑ l ❱❀❫❞ Legendre ②t✾ ❡❢à❡❢❘❀☎❇●◆✃❏ y2(x) = gPl(x) ln(x − 1) + X∞ n=0 dn(x − 1)n