=e sin y+2y ay 所以曲线积分与路径无关,记点B的坐标为(0),就有 R=t=(ecos y+y2)dx+(2xy-e 'sin y)dy+(e" cosy+y2)dx+(2xy-e'sinyydy ∫ea+∫(2y- esin y )dy=cosl 6.(本题共10分)求幂级数∑_,x”的和函数 解:其收敛半径R=1,收敛区间为[-1,1 2n+1 In(1-x)+In(l-x) In(1-x)+In(l-x)+ (x→>1-0) In(1-x) 24x∈-10)U(0,1 所以和函数为S(x)={0 x=0 d 4 7.(本题共10分)证明 x+2y-2+5 dxdvd<3丌 其中g:x2+y2+z2≤1。 证:由 Cauchy不等式,(x+2y-2)2≤(+4+4)(x2+y2+z2)≤9 可得 所以∫yx+2y-2=+5dtdh 423 丌>-丌 另一方面,由 Cauchy不等式,可得 +2y-22+5 dxdyd=<1 dxdyd-(x+2y-2-+5)dxdyd:=(7)25<9T4    y P x Q e y y x    sin  2  ， 所以曲线积分与路径无关，记点 B 的坐标为 (1,0) ，就有 原式      OB x x (e cos y y )dx (2xy e sin y)dy 2      BA x x (e cos y y )dx (2xy e sin y)dy 2   1 0 e dx x (2 sin ) cos1 1 0  y  e y dy  e  。 6.（本题共 10 分）求幂级数 n n x n   2  2 1 1 的和函数。 解：其收敛半径 R 1,收敛区间为 [1, 1]。 n n n n n n x n x n x n              2  2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 , [ 1,1) 2 4 1 ln(1 ) 2 1 ln(1 ) 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2                      x x x x x x x x n x n x n n n n ， 而 ( 1 0) 4 3 2 4 1 ln(1 ) 2 1 ln(1 ) 2        x   x x x x x ， 所以和函数为                  , 1 4 3 0, 0 , [ 1,0) 0,1 2 4 1 ln(1 ) 2 1 ( ) 2 x x x x x x x S x （ ） 。 7.（本题共 10 分）证明  2 2 5 3 2 3        x y z dxdydz ， 其中 : 1 2 2 2  x  y  z  。 证：由 Cauchy 不等式， ( 2 2 ) (1 4 4) 2 x  y  z    ( ) 9 2 2 2 x  y  z  ， 可得 x  2y  2z  5  2 ， 所以 4 2 3 2 2 5 3 2 x y z dxdydz          ， 另一方面，由 Cauchy 不等式，可得 2 x y z dxdydz dxdydz x y z dxdydz 2 2 5 1 ( 2 2 5)                    2 2 ) 5 9 3 4  (   