5<E 于是5(),k=1,2,…是柯西数列由于实数集或复数集按差的绝对值定义距 离是完备的故存在实或复数5,st.5→5,(n→∞)令x=(5,2…) 往证x∈l且x→x 在(2)中,令n→∞,得Vm>N时,成立 5≤E (3 因为xn=(m,51),…,5m,)∈1",所以彐Kn>0,s.tv∈N,成立 5mskm(不同的数列,界可能不样.所以与sk51-5|≤+Km 所以x∈P·由(知,m>N时,成立dm,x)=sp-5;|≤6 所以x→x.所以是完备度量空间 例2令C表示所有收敛的实或复数列的全体,Vx=(5,2…)∈C, yy=(n,n,)∈C,令以(x,y)=spk-m小·则d(x,y)≥0且x=y 时,d(x,y)=0.又k,一m)|≤spk-m=a(xy)=0→5,=7(∈N 于是d(xy)=0ex=y.20yz=(,52…)∈C,则由于对j∈N,成 立k-m|sk-s+,-ssup-5 suni -s d(x=)+d(y,).所以sup-|5d(x,=)+d(U,).即 d(x,y)≤d(x,z)+d(,z).所以d(x,y)可定义为C中y两点间的距离于 是C按距离d(x,y)成为度量空间(实际上是的一个子空间).欲证C 是完备度量空间,先证21 ( ) (n) j m  j −   (2) 于是 (k )  j ，k = 1,2,  是柯西数列. 由于实数集或复数集按差的绝对值定义距 离是完备的，故存在实或复数  j ，s.t. (n)  j → j ( n → )令 x =( , , )  1  2 ， 往证 x   l 且 m x → x . 在(2)中，令 n → ，得 m  N 时，成立 ( ) j m  j −   (3) 因为 m x = ( ) ( ) ( ) ( , ,  , , ) 1 2 m j m m      l ，所以  Km  0，s.t. j   ，成立 (m)  j  Km (不同的数列，界可能不一样). 所以 ( )  −  m  j  j  j  + Km . 所以 x   l . 由(3)知， m  N 时，成立 d(xm , x ) = ( )  −   j m j j sup . 所以 x x m → . 所以  l 是完备度量空间. 例 2 令 C 表示所有收敛的实或复数列的全体，  x =( , , )  1  2  C ，  y = ( , , ) 1 2  C ，令 d(x, y)= j j j sup  − . 则 0 1 d(x, y)  0 且 x = y 时， d(x, y) =0. 又  j − j  j j j sup  − = d(x, y) =0   j = j ( j  ). 于是 d(x, y) =0  x = y . 0 2 z =( , , ) 1 2    C ，则由于对  j  ，成 立  j − j  j j  −  + j j  −   j j j sup  − + j j j sup − = d(x,z) + d(y,z). 所以 j j j sup  −  d(x,z) + d(y,z). 即 d(x, y)  d(x,z) + d(y,z). 所以 d(x, y) 可定义为 C 中  两点间的距离. 于 是 C 按距离 d(x, y) 成为度量空间(实际上是  l 的一个子空间). 欲证 C 是完备度量空间，先证