Th1完备度量空间X的子空间M是完备度量空间分M是X中的 闭子空间. 证明设M是完备子空间,对每个x∈M,彐M中点列{n, 使xn→x.所以{xn是M中柯西点列所以它在M中收敛由极限的 唯一性,所以x∈M.所以M'cM.即M是X中的闭子空间. 反之,若{xn}m1是M中柯西点列,因X是完备度量空间,则在X中收 敛.即彐x∈X,s.t.x,→x.因为M是X中的闭子空间,所以x∈M 所以{xnm1在M中收敛于是M是完备度量空间 例2的证明由Th1只证C是/中的闭子空间即可. (5,52)∈C(要证 7-5k<E,从而x∈C), 3xn=(1,52,)∈C(n=12…),st.xn→x.所以vE>0, 丑N∈N,s.t.当n≥N时,成立 -9-5(,) 特别取n=N,则对v∈N,成立)-5|<5因为x∈C 所以当j→∞时,5收敛故N1∈N,s.t.切,k≥N1时,成立 )-|<5·所以v,k≥N时,成立 5,-45,-3+-F+ 4<=+248 333 所以加是柯西数列,因而收敛所以x=(152…)∈C.所以C是P中 的闭子空间.由Th1,C是完备度量空间.证毕 作业:P206.14.15中的S,B(22 Th 1 完备度量空间 X 的子空间 M 是完备度量空间  M 是 X 中的 闭子空间. 证明 设 M 是完备子空间，对每个 x  M  ， M 中点列    n n=1 x ， 使 x x n → . 所以    n n=1 x 是 M 中柯西点列. 所以它在 M 中收敛. 由极限的 唯一性，所以 x  M . 所以 M   M . 即 M 是 X 中的闭子空间. 反之，若    n n=1 x 是 M 中柯西点列，因 X 是完备度量空间，则在 X 中收 敛. 即  x  X ，s.t. x x n → .因为 M 是 X 中的闭子空间，所以 x  M ， 所以    n n=1 x 在 M 中收敛. 于是 M 是完备度量空间. 例 2 的证明 由 Th 1 只证 C 是  l 中的闭子空间即可.  x = ( , , )  1  2  C (要证  j − k   ，从而 x  C )，  n x = ( ) ( ) ( , , ) 1 2 n n    C ( n = 1,2,  )，s.t. x x n → . 所以   0， N ，s.t.当 n  N 时，成立 ( ) j n  j −  ( ) j n j j sup  − = d(x x) n ,  3  . 特别取 n = N ，则对 j   ，成立 ( ) j N  j −  3  .因为 N x  C , 所以当 j →  时， (N)  j 收敛. 故  N1   ，s.t. j , k  N1 时，成立 ( ) (N ) k N  j −  3  . 所以 j ,k  N1 时，成立  j − k  (N )  j − j + ( ) (N ) k N  j − + ( ) k N  k −  3  + 3  + 3  = . 所以    j=1  j 是柯西数列，因而收敛. 所以 x =( , , )  1  2  C . 所以 C 是  l 中 的闭子空间. 由 Th 1，C 是完备度量空间. 证毕. 作业： P 206. 14. 15 中的 S,B(A)